提優(yōu)題型七 函數(shù)的基本性質(zhì) 復(fù)習(xí)講義（原卷版）

題型七函數(shù)的基本性質(zhì)（復(fù)習(xí)講義）【考點總結(jié)|典例分析】考點01一次函數(shù)一、正比例函數(shù)的概念一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做正比例系數(shù)．二、一次函數(shù)1.一次函數(shù)的定義一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時，y=kx（k是常數(shù)，k≠0）．這時，y叫做x的正比例函數(shù)．2.一次函數(shù)的一般形式一次函數(shù)的一般形式為y=kx+b，其中k，b為常數(shù)，k≠0．一次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：（1）k≠0，（2）x的次數(shù)是1；（3）常數(shù)b可以為任意實數(shù).3.注意（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).（2）一般情況下，一次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù).（3）判斷一個函數(shù)是不是一次函數(shù)，就是判斷它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．正比例函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象是經(jīng)過原點（0，0）的一條直線．k的符號函數(shù)圖象圖象的位置性質(zhì)k>0圖象經(jīng)過第一、三象限y隨x的增大而增大k<0圖象經(jīng)過第二、四象限y隨x的增大而減小2.一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)（1）一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是經(jīng)過點(0，b)和(-，0)的一條直線圖象關(guān)系一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平移b個單位長度；b<0，向下平移|b|個單位長度圖象確定因為一次函數(shù)的圖象是一條直線，由兩點確定一條直線可知畫一次函數(shù)圖象時，只要取兩點即可（2）一次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)字母取值圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)y=kx+b(k≠0)k>0，b>0一、二、三y隨x的增大而增大k>0，b<0一、三、四y=kx+b(k≠0)k<0，b>0一、二、四y隨x的增大而減小k<0，b<0二、三、四3.k，b的符號與直線y=kx+b（k≠0）的關(guān)系在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=-，即直線y=kx+b與x軸交于（–，0）．①當(dāng)–>0時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．②當(dāng)–=0，即b=0時，直線經(jīng)過原點．③當(dāng)–<0，即k，b同號時，直線與x軸交于負(fù)半軸．4.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：①當(dāng)k1=k2，b1≠b2，兩直線平行；②當(dāng)k1=k2，b1=b2，兩直線重合；③當(dāng)k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點；④當(dāng)k1·k2=–1時，兩直線垂直．四、待定系數(shù)法1．定義：先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得出函數(shù)解析式的方法叫做待定系數(shù)法．2．待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式為y=kx（k≠0）．（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系數(shù)k．（4）將求得的待定系數(shù)k的值代入解析式．3．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)出含有待定系數(shù)k、b的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b．（2）把兩個已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k，b的二元一次方程組．（3）解二元一次方程組，求出k，b．（4）將求得的k，b的值代入解析式．1.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝2x+2和直線y＝x+2分別交x軸于點A和點B．則下列直線中，與x軸的交點不在線段AB上的直線是（）A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=﹣x+1與x軸，y軸分別交于點A和點B，直線l2：y=kx（k≠0）與直線l1在第一象限交于點C．若∠BOC=∠BCO，則k的值為（）A． B． C． D．23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO是邊長為4的正方形，點D為AB的中點，點P為OB上的一個動點，連接DP，AP，當(dāng)點P滿足DP+AP的值最小時，直線AP的解析式為_____．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線過點且與軸交于點，把點向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到點.過點且與平行的直線交軸于點.（1）求直線的解析式；（2）直線與交于點，將直線沿方向平移，平移到經(jīng)過點的位置結(jié)束，求直線在平移過程中與軸交點的橫坐標(biāo)的取值范圍.考點02反比例函數(shù)一、反比例函數(shù)的概念1．反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)．2．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍自變量x和函數(shù)值y的取值范圍都是不等于0的任意實數(shù)．二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．（2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大2．反比例函數(shù)圖象的對稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x，對稱中心為原點．3．注意（1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點，描點越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時，要注意用平滑的曲線連接各點．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永不與坐標(biāo)軸相交，因為反比例函數(shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時，y隨x的增大而減?。瑯?，當(dāng)k<0時，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．三、反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．四、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．1.反比例函數(shù)經(jīng)過點，則下列說法錯誤的是（）A． B．函數(shù)圖象分布在第一、三象限C．當(dāng)時，隨的增大而增大 D．當(dāng)時，隨的增大而減小2.一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A．B．C．D．3.如圖，平行四邊形的頂點在軸的正半軸上，點在對角線上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點．已知平行四邊形的面積是，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4.如圖，點，點都在反比例函數(shù)的圖象上，過點分別向軸、軸作垂線，垂足分別為點，．連接，，．若四邊形的面積記作，的面積記作，則（）A． B． C． D．5.如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，已知點A的坐標(biāo)為，的面積為8．（1）填空：反比例函數(shù)的關(guān)系式為_________________；（2）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（3）動點P在y軸上運動，當(dāng)線段與之差最大時，求點P的坐標(biāo)．6.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）直線交軸于點，點是軸上的點，若的面積是，求點的坐標(biāo)．考點03二次函數(shù)一、二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．二、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)，a≠0．三、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對稱軸x=–頂點（–，）a的符號a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時，y最小值=當(dāng)x=–時，y最大值=最點拋物線有最低點拋物線有最高點增減性當(dāng)x<–時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時，y隨x的增大而減小2.二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系字母的符號圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸ab>0（a與b同號）對稱軸在y軸左側(cè)ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側(cè)cc=0經(jīng)過原點c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交四、拋物線的平移1．將拋物線解析式化成頂點式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點坐標(biāo)為（h，k）．2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：3．注意二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據(jù)頂點之間的平移求出變化后的解析式．五、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．（1）b2–4ac>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；（3）b2–4ac<0?方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點．1.如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，下列結(jié)論：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m為任意實數(shù)，則有a﹣bm≤am2+b；④若圖象經(jīng)過點（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的兩根為x1，x2（|x1|＜|x2|），則2x1﹣x2＝5．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2.如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點B（0，﹣2），點A（﹣1，m）在拋物線上，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．a(chǎn)b＜0B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正實數(shù)根在2和3之間C．a(chǎn)＝D．點P1（t，y1），P2（t+1，y2）在拋物線上，當(dāng)實數(shù)t＞時，y1＜y23.二次函數(shù)y=x2的圖象平移后經(jīng)過點（2，0），則下列平移方法正確的是（）A．向左平移2個單位，向下平移2個單位B．向左平移1個單位，向上平移2個單位C．向右平移1個單位，向下平移1個單位D．向右平移2個單位，向上平移1個單位4.下列關(guān)于二次函數(shù)（為常數(shù)）的結(jié)論，①該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象