等腰三角形的性質(zhì)與判定(解析版)

考點(diǎn)05等腰三角形的性質(zhì)與判定1.（2020·湖南·期末試卷）等腰三角形的兩邊長分別為3cm，6cm，則該三角形的周長為（

）A.12cm B.15cm C.12cm或【答案】B【解析】當(dāng)相等的兩邊是3時(shí)，3+3=6，不能組成三角形，應(yīng)舍去；

當(dāng)相等的兩邊是6時(shí)，能夠組成三角形，此時(shí)周長是6+6+3=15．

2.（2020·河南·期中試卷）等腰三角形的一個(gè)角是70°，則它的底角是(

)A.70° B.40° C.55°或70°【答案】C【解析】當(dāng)70°為頂角時(shí)，底角為：(180°-70°)÷2=55°．70°為底角時(shí)，70°+70°<180°，故成立．

3.（2020·山東·月考試卷）在等腰△ABC中，A.9 B.13 C.9或13 D.10或12【答案】C【解析】題中給出了周長關(guān)系，要求底邊長，首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題中的等量關(guān)系，列方程求解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證答案．4.（2020·湖南·月考試卷）如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MD交AC于點(diǎn)D、交AB于點(diǎn)M．下列結(jié)論：①BD是∠ABC的平分線；②△BCD是等腰三角形；③△ABC～△BCD；④△AMD?△A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】解：∵AB的中垂線MD交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)M，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=36°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72°，

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD是∠ABC的平分線；故①正確；

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，

∴∠BDC=∠C=72°，

∴△BCD是等腰三角形，故②正確；

∵∠CA.315° B.240° C.135【答案】B【解析】解：如圖，

∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°.

∵∠BDE+∠BED=6.（2020·山東·期末試卷）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB延長線上，連接AD．下列結(jié)論一定正確的是(

)

A.∠ABD=∠E B.∠CBE【答案】C【解析】解：∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE，

∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠DAB=60°，

∴∠DAB=∠CBE，

∴AD?//?BC，

7.（2020·廣西·月考試卷）如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE、CD，AE交BD于點(diǎn)P，CD交BE于點(diǎn)N，AE與CD交于點(diǎn)F，連接PNA.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】B【解析】解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，

∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，

∴∠ABE=∠DBC，∠PBN=60°，

在△ABE和△DBC中，

∵AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC，

∴△ABE?△DBC(SAS)，

∴①正確；

∵△ABE?△DBC，

∴∠BAE=∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD=180°-60°【答案】11或13【解析】解：(1)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為5時(shí)，

3，3，5能夠組成三角形，此時(shí)周長為3+3+5=11．

(2)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為3時(shí)，

3，5，5能夠組成三角形，此時(shí)周長為5+5+3=13．

則這個(gè)等腰三角形的周長是11或13．

9.（2020·四川·月考試卷）等腰三角形的一個(gè)底角為50°，則它的頂角的度數(shù)為________.【答案】80°【解析】解：因?yàn)槠涞捉菫?0°，所以其頂角=180°-50°×2=80°．

10.（2020·江蘇·期中試卷）如果實(shí)數(shù)a、b滿足|a-2|+b-4【答案】10【解析】解：∵|a-2|+b-42=0，

∴a-2=0，b-4=0，

∴a=2，b=4，

當(dāng)a=2為腰時(shí)，三邊分別為2，2，4,

∵2+2=4，

∴不能構(gòu)成三角形，舍去；

當(dāng)b=4為腰時(shí)，三邊分別為2，4，4，周長為10.

11.（2020·江蘇·【答案】50°【解析】解：∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD.

∵∠DBC=15°，

∴∠ABC=∠A+15°.

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC=∠A+15°，

∴∠A+∠A+15°+∠A+15°【答案】52°【解析】解：∵AC=AD=DB，

∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，

設(shè)∠ADC=α，

∴∠B=∠BAD=α2，

∵∠BAC=102°，

∴∠DAC=102°-α2，

在△ADC中，

∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，

∴2α+102°-α2=【答案】50【解析】解：∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏西45°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西15°方向上，

∴∠ABC=45°+15°=60°.

∵AB=BC=50，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=50.

14.（2019-2020·湖南·期末試卷）如圖，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=3(1)求△EBC(2)求∠EBC【解析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：(1)∵DE是AB的垂直平分線，

∴EA=EB，

∴△BEC(2)∵AB=AC，∠A=20°，

∴∠ABC=1215.（2020·江蘇·月考試卷）(1)如圖①，在△ABC中，BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作ED//BC.指出圖中的等腰三角形，并說明理由．(2)如圖②，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF//BC【解答】解：(1)△BED為等腰三角形.

理由：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD.

∵DE//BC，

∴∠CBD=∠EDB，

∴∠ABD(2)∵BD平分∠ABC，

∴∠EBO=∠OBC.

∵EF//BC，

∴∠OBC=∠EOB，

∴∠EBO=∠16.（2020·江蘇·月考試卷）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE分別交AB，AC于D，E.

(1)若AC=12，BC=10，求(2)若∠A=40°【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∴△EBC的周長為：BC+CE+(2)∵AB的垂直平分線DE交AB，AC于D，E，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=40°.

∵17.（2020·福建·期中試卷）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC上，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=100°，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，求∠【解析】首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADE=∠E=50°，∠【解答】解：當(dāng)DE⊥AC時(shí)，

∵AD=AE，∠DAE=100°，

∴∠ADE=∠E=40°，∠DAF=∠EAF=50°，

18.（2020·江西·期末試卷）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC?△ADC，∠OCD＝60°（1）求證：△OCD（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD【解析】（1）根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；

（2）根據(jù)全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；

（【解答】∵△BOC?△ADC，

∴OC＝DC，

∵∠OCD＝60△AOD是直角三角形．

理由如下：

∵△OCD是等邊三角形，

∴∠ODC＝60°，

∵△BOC?△ADC，α＝150°，

∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，

∴∵△OCD是等邊三角形，

∴∠COD＝∠ODC＝60°．

∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，

∴∠AOD＝360°-∠AOB-∠BOC-∠COD＝360°-110°-α-60°＝190°-α，

∠ADO＝∠ADC-∠ODC＝α-60°，

∴∠OAD＝180°-∠AOD-∠ADO＝180°-(190°-α)-(α-60°)＝50°．

①當(dāng)10.（2020·重慶·中考模擬）如圖1，點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD，△AEC都是等邊三角形，BE交AD于點(diǎn)M，CD交AE于N．

（1）求證：BE＝DC；（2）求證：△AMN（3）將△ACE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，其它條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷（1）、（【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，則∠DAC＝∠BAE，根據(jù)“SAS”可判斷△ABE?△ADC，則BE＝DC；

（2）由△ABE?△ADC得到∠ABE＝∠ADC，根據(jù)“AAS”可判斷△ABM?△ADN(ASA)，則AM＝AN；∠DAE＝60°，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△AMN是等邊三角形．

（3）判定結(jié)論1是否正確，也是通過證明△ABE?△ADC求得．這兩個(gè)三角形中AB＝AD，AE＝AC【解答】∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAC＝∠BAE，

在△ABE和△ADC中，A