專題03直線的方程九個重難點歸類（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重難點歸類及真題訓(xùn)練 （人教A版2019）

第第頁專題03直線的方程九個重難點歸類一、直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角（1）定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為．（2）范圍：直線l傾斜角的范圍是2．斜率公式（1）若直線l的傾斜角90°，則斜率．（2）在直線l上，且，則直線l的斜率．二、直線的方程方程適用范圍點斜式：不包含直線斜截式：不包含垂直于x軸的直線兩點式：不包含直線（當時）和直線（當時）截距式：不包含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式：不全為平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用三、兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系與與相交垂直平行且或重合且注意：（1）當兩條直線平行時，容易遺漏斜率不存在時的情況；（2）當兩條直線垂直時，容易遺漏一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況．四、距離問題條件距離公式點之間的距離點到直線的距離兩條平行線與的距離五、對稱問題（1）中心對稱：點為點與的中點，中點坐標公式為；（2）軸對稱：若點關(guān)于直線l的對稱點為，則．【重難點一直線的傾斜角與斜率】例1．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系分析求解.【詳解】當時，方程為，傾斜角為當時，直線的斜率，因為，則，所以；綜上所述：線的傾斜角的范圍是.故選：C．例2．已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且的斜率為，則的斜率為（

）A．3或 B．3 C．或 D．【答案】B【分析】利用傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)的傾斜角為，由，即，解得或，因為，所以，所以，易得的傾斜角為銳角，所以的斜率為3．故選:B.（1）（1）求直線的傾斜角，關(guān)鍵是依據(jù)平面幾何的知識判斷直線向上方向與軸正向之間所成的角，同時應(yīng)明確傾斜角的范圍：；（2）解決斜率問題的方法①由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)，利用定義式解決．②由兩點坐標求斜率，運用兩點斜率公式求解．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．若直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知直線斜率可以求得，再根據(jù)二倍角公式可以求得.【詳解】由直線可知，，，則.故選：C練習(xí)2．如圖所示，直線，，的斜率分別為，，的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷.【詳解】由，結(jié)合的函數(shù)圖像，直線對應(yīng)的傾斜角為鈍角，則直線與都為銳角，且的傾斜角大于的傾斜角，則，故.故選：C

練習(xí)3．直線l經(jīng)過，兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用斜率的定義得到，根據(jù)傾斜角，求出答案.【詳解】因為兩點橫坐標不同，故傾斜角不為，由題意得，因為，所以.故選：B練習(xí)4．若經(jīng)過和的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的值可能為（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線的斜率與夾角的關(guān)系求解；【詳解】由題意知，，解得：.故選：A.【重難點二斜率公式的應(yīng)用】例3．若直線過定點，且與以為端點的線段相交（包括端點），則其傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合斜率公式，求得或，進而求得直線的傾斜角的范圍.【詳解】如圖所示，因為直線過定點，且與以為端點的線段相交，可得，，所以直線的斜率不存在或滿足或，所以直線的傾斜角的范圍為.故選：D.例4．點在函數(shù)的圖象上，當，則的取值范圍為.【答案】【分析】把轉(zhuǎn)化為與點所成直線的斜率，作出函數(shù)在部分圖象上的動點，結(jié)合斜率公式，即可求解.【詳解】由表示與點所成直線的斜率，又由是在部分圖象上的動點，如圖所示：可得，則，所以，即的取值范圍為.故答案為：.

求形如求形如的最值，利用的幾何意義：連接定點與動點的直線的斜率，借助圖形，將求最值問題轉(zhuǎn)化為求斜率的取值范圍問題，簡化運算過程．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知點，，，若點是線段上的一點，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圖像結(jié)合直線的斜率范圍求解即可.【詳解】由斜率公式可得，得，由圖像可知，當介于之間時，直線斜率的取值范圍為，當介于之間時，直線斜率的取值范圍為，所以直線的斜率的取值范圍為，故選：D．練習(xí)2．已知線段的端點，，直線：與線段相交，則的取值范圍是．【答案】【分析】將直線方程化為點斜式，畫出圖形，由題中的幾何關(guān)系結(jié)合兩點斜率公式求解即可.【詳解】

由已知，直線：，∴直線過定點，且斜率為，由已知，直線的斜率，直線的斜率，∵直線與線段相交，∴直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.練習(xí)3．已知三點共線，則實數(shù)m的值為．【答案】0【分析】根據(jù)A，B，C三點共線可得，然后利用兩點間的斜率公式代入求解即可.【詳解】由三點共線可得，即，解得.故答案為：0.練習(xí)4．設(shè)，比較的大?。敬鸢浮俊痉治觥繕?gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)上的點到點的斜率的大小比較，從而結(jié)合圖象即可得解.【詳解】令，而可統(tǒng)一成格式，表示函數(shù)上的點到點的斜率，

結(jié)合圖象與條件，則構(gòu)造的斜率都是正數(shù)，所以圖象的傾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得.【重難點三直線的平行和垂直】例5．設(shè)為實數(shù)，若直線垂直于直線，則（

）A．0或-3 B．0 C．-3 D．3【答案】C【分析】根據(jù)直線一般方程的垂直關(guān)系可得，求解并檢驗即可.【詳解】因為直線垂直于直線，所以，解得或.當時，直線為，不符合題意，舍去.當時，直線為，直線為，符合題意.所以.故選：C.例6．（多選）已知直線：和直線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在實數(shù)k，使得直線的傾斜角為B．對任意的實數(shù)k，直線與直線都有公共點C．對任意的實數(shù)k，直線與直線都不重合D．對任意的實數(shù)k，直線與直線都不垂直【答案】ABD【分析】舉例即可說明A、C；分以及，得出直線與直線的關(guān)系，即可得出B項；根據(jù)直線垂直列出方程，求解方程，即可說明D項.【詳解】對于A項，當時，直線的方程為，此時直線的傾斜角為，故A項正確；對于B項，當時，直線的方程為，與重合，此時兩直線有公共點；當時，有，即一定相交.綜上所述，對任意的實數(shù)k，直線與直線都有公共點，故B項正確；對于C項，由B可知，當時，直線與重合，故C項錯誤；對于D項，要使直線與直線垂直，則應(yīng)有，該方程無解，所以對任意的實數(shù)k，直線與直線都不垂直，故D項正確.故選：ABD.（一）已知直線（一）已知直線與直線,則①,且；②.（二）已知直線,直線,則①且(或)；②.【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．“”是“直線：與：平行”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由兩條直線的一般式方程平行的判定，結(jié)合充要條件的定義，對選項進行驗證.【詳解】時，直線：即，與直線：平行，充分性成立；直線：與：平行，有，解得或，其中時，兩直線重合，舍去，故，必要性成立.“”是“直線：與：平行”的充要條件.故選：A.練習(xí)2．（多選）已知直線，則（

）A．在軸上的截距為2 B．C．的交點坐標為 D．之間的距離為【答案】BC【分析】選項A：令，求在軸上的截距；選項B：根據(jù)直線垂直對應(yīng)系數(shù)關(guān)系求解；選項C：解方程組求解；選項D：根據(jù)兩平行線間距離求解；【詳解】令，易得在軸上的截距為，A錯誤．由，得，B正確．由得所以的交點坐標為，C正確．易得，則之間的距離為，D錯誤．故選：BC.練習(xí)3．直線與，若，則實數(shù)．【答案】或【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】因為直線與垂直，所以，解得或.故答案為：或練習(xí)4．已知集合、，若，則．【答案】1【分析】即兩圖像沒有交點，即兩直線平行.【詳解】依題知兩直線平行，則，解得，經(jīng)驗證時，兩直線不重合，所以.故答案為：1【重難點四求直線的方程】例7．（多選）直線過點且在x軸、y軸上的截距的絕對值相等，則該直線方程（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】當直線經(jīng)過原點時，斜率為，可得要求的直線方程．當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)要求的直線方程為，再把點代入求得k的值，可得要求的直線方程，綜合可得結(jié)論．【詳解】當直線經(jīng)過原點時，斜率為，要求的直線方程為，即．當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)要求的直線方程為，再把點代入可得，或，求得或，故要求的直線方程為或．綜上可得，要求的直線方程為，或.故選：ABC例8．已知的頂點為，，，求：(1)邊AC上的中線所在直線的方程；(2)邊AC上的高所在直線的方程；(3)邊AC的垂直平分線的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)中點坐標公式得到，然后根據(jù)點斜式求直線方程即可；（2）根據(jù)兩直線垂直時斜率相乘為-1得到邊上高的斜率為-2，然后寫直線方程即可；（3）由（1）（2）得的垂直平分線的斜率為-2，過點，然后寫直線方程即可.【詳解】（1）設(shè)中點為，所以，即，所以，直線：，即，所以邊上的中線所在的直線方程為.（2）由題意得，所以邊上高的斜率為-2，所以邊上高所在直線的方程為：，即.（3）由（2）得的垂直平分線的斜率為-2，由（1）得的垂直平分線過點，所以的垂直平分線的方程為：，即.一般情況下，①已知點和斜率，選擇點斜式方程；②已知兩點坐標，選擇兩點式方程；一般情況下，①已知點和斜率，選擇點斜式方程；②已知兩點坐標，選擇兩點式方程；③已知斜率和軸截距，選擇斜截式方程；④已知兩軸截距，選擇截距式方程【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．過點且在軸，軸上截距相等的直線方程為【答案】和【分析】根據(jù)斜率是否為0，分兩種情況，結(jié)合直線的截距式方程即可求解.【詳解】當直線經(jīng)過原點時，此時直線方程為，且在軸，軸的距離均為0，符合題意，當直線在軸，軸均不為0時，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線方程為，故答案為：和練習(xí)2．已知三個頂點的坐標：．(1)求過點B且與直線AC平行的直線方程；(2)求中AB邊上的高所在的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩直線平行與斜率的關(guān)系以及點斜式方程求解；（2）利用兩直線垂直與斜率的關(guān)系以及點斜式方程求解.【詳解】（1）由題可得，，所以過點B且與直線AC平行的直線方程為.（2）因為,所以中AB邊上的高所在的直線斜率為，又因為中AB邊上的高所在的直線經(jīng)過點，所以由點斜式可得，，即.練習(xí)3．已知的三個頂點分別是，求：(1)邊所在直線的一般式方程；(2)邊的垂直平分線所在直線的斜截式方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線的兩點式方程和一般式方程的概念求解；（2）利用直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系以及點斜式、斜截式方程概念求解.【詳解】（1）由直線方程的兩點式，得，所以直線的一般式方程為．（2）邊的中點坐標為．因為邊所在直線的斜率為，所以直線的斜率為．所以直線的方程為，即．練習(xí)4．（1）求過點，且與直線平行的直線的一般式方程；（2）求過點，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線的斜率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系設(shè)出直線方程，利用過點的坐標可得答案；（2）先利用點斜式設(shè)出方程，利用截距的關(guān)系求出方程.【詳解】（1）依題意可設(shè)所求直線的方程為，將點的坐標代入得，解得，故所求直線的方程為．（2）依題意可設(shè)所求直線的方程為．令，得；令，得．依題意可得，解得．【重難點五直線的定點問題】例9．若直線恒過定點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線方程變形得，從而得解.【詳解】由，可得，令，得，且，所以直線恒過定點．故選：A.例10．已知直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】整理直線知過定點，求出，由數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】直線，過定點，則，直線和以為端點的線段相交，由圖可知，或，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.若直線方程含參數(shù)若直線方程含參數(shù)，將其化成:的形式，則方程組的解就是直線所過定點【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．無論實數(shù)λ取何值，直線恒過定點.【答案】【分析】將直線方程化為，進而分析求解.【詳解】由，可得，令，解得，所以直線恒過定點.故答案為：.練習(xí)2．要使直線不通過第二象限，則的取值范圍是．【答案】【分析】把方程展開，提取后聯(lián)立方程組求得直線過第一象限的定點；由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式求解．【詳解】由，得，即，聯(lián)立，解得，直線經(jīng)過定點，經(jīng)過第一象限；①當時，直線不經(jīng)過第二象限，②當時，直線方程化為：，要使直線不經(jīng)過第二象限，由于,則，解得：．綜上，要使直線不經(jīng)過第二象限，則．故答案為：練習(xí)3．已知直線在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是．【答案】或.【分析】先求出直線l所過的定點，再根據(jù)條件求解.【詳解】由直線得：，令，解得，所以直線l過點，由題知，在x軸上的截距取值范圍是，如圖：所以端點處直線的斜率分別為，

所以或；故答案為：或.練習(xí)4．已知直線.(1)若直線的斜率，求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：對任意實數(shù)，直線都經(jīng)過一個確定的點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將直線方程轉(zhuǎn)化成斜截式，再利用條件建立不等關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）將直線方程變形成，再利用，得到，從而可證明直線過定點.【詳解】（1）因為，由題知，所以，所以，又因為，所以，即，即，由，得到或，由，得到或，所以或.（2）由，變形得到，令，得到，當，恒成立，所以，不論取何值，恒過定點，結(jié)論成立.【重難點六直線與坐標軸圍成的三角形問題】例11．直線，若直線分別與x軸，y軸的負半軸交于A、B兩點，求三角形AOB面積的最小時的直線的方程.【答案】【分析】由題可得直線所過定點為，則設(shè)直線為，其中，則問題轉(zhuǎn)化為已知，，求的最小值，利用基本不等式可得答案.【詳解】，即直線所過定點為.由題設(shè)直線方程為：，其中，則,.由基本不等式，，面積的最小值為4，當且僅當，即時取等號.則三角形AOB面積最小時直線方程為故答案為：例12．已知直線過點，根據(jù)下列條件分別求出直線的方程．(1)在軸、軸上的截距互為相反數(shù)；(2)與兩條坐標軸在第一象限所圍成的三角形面積最小．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）分直線過原點和不過原點兩種情況求直線方程；（2）寫出直線的截距式方程，代入點得，利用不等式即可求解取最值時的，．【詳解】（1）①當直線經(jīng)過原點時，在軸、軸上的截距互為相反數(shù)都等于0，此時直線的方程為，②當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的方程為在直線上，，，即．綜上所述直線的方程為或（2）由題意可知直線與兩坐標軸均交于正半軸，故設(shè)直線方程為，將代入可得，故，故，當且僅當，即時等號成立，故此時面積最小為,故直線方程為，即由于直線與由于直線與軸、軸圍成的是一個直角三角形,故求出直線在兩坐標軸上的截距的絕對值，即可用三角形的面積公式求解【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知直線，給出以下命題：①直線的一個法向量是；②直線的斜率是；③對任意，直線都不過原點；④存在，使直線與坐標軸圍成的三角形面積小于1，所有正確命題的序號是．【答案】③【分析】①根據(jù)直線方程即可得出法向量；②根據(jù)直線方程即可得出斜率；③將代入直線方程，得出等式不成立，即可得出結(jié)論；④求出三角形的面積表達式，即可得出面積的范圍.【詳解】由題意，在直線中，直線的方向向量為，法向量為，①錯誤；當時，，而不存在，故②錯誤；當時，代入直線方程得，，顯然不存在，故對任意，直線都不過原點，③正確；當直線和兩坐標軸都相交時，交點為，它和坐標軸圍成的三角形的面積為，∴不存在，使直線與坐標軸圍成的三角形面積小于1，④錯誤故答案為：③.練習(xí)2．設(shè)，則直線與圍成的三角形的面積的最大值為．【答案】2【分析】由直線方程確定直線，且直線過定點，直線過定點，定點都在直線上，這樣設(shè)直線交于，得出三條直線圍成直角，利用基本不等式可得的最大值，從而得三角形面積最大值．【詳解】由題知直線，且直線過定點，直線過定點，點在直線上．設(shè)直線交于，則三條直線圍成的三角形為，且，所以．因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，所以．故答案為：2.練習(xí)3．已知直線的橫截距為m，且在x軸，y軸上的截距之和為4．(1)若直線的斜率為2，求實數(shù)m的值；(2)若直線分別與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O是坐標原點，求面積的最大值及此時直線的方程．【答案】(1)(2)面積的最大值為2，直線方程為【分析】（1）由題意可得直線在x，y軸上的截距都存在且不為0，設(shè)直線的方程為（且），再結(jié)合斜率公式即可得解；（2）設(shè)直線的方程為（且），由題意可得，求出的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)求出三角形面積的最大值及此時的值即可得解.【詳解】（1）依題意知，直線在x，y軸上的截距都存在且不為0，設(shè)直線的方程為（且），令，可得，令，可得，即直線經(jīng)過點，，所以直線的斜率為，解得；（2）設(shè)直線的方程為（且），由直線分別與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，可得，解得，又由，，可得，當時，取得最大值2，此時直線方程為，即.練習(xí)4．已知直線過點．(1)若直線在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，求直線的方程；(2)若直線的斜率，當與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小時，求直線的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）當直線過原點時，直線的方程為，當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，把點代入直線的方程求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，，根據(jù)三角形的面積公式和基本不等式即可求出最值，進而得到直線方程．【詳解】（1）當直線過原點時,直線的方程為：，當直線不過原點時，設(shè)直線的方程為：，直線過點，則，此時的方程為：，故的方程：或.（2）設(shè)直線的方程為，．令，則，令，則，∴直線與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積．當且僅當，即時，三角形面積最?。藭r的方程為．【重難點七距離公式的簡單應(yīng)用】例13．已知定點和直線，則點到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得直線所過定點，然后根據(jù)兩點間的距離公式求得正確答案.【詳解】直線，即，由解得，所以直線過定點，所以的最大值為.故選：B例14．已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩條直線平行的條件、平行直線的距離公式運算即可得解.【詳解】解：∵直線與直線平行，∴，解得，∴直線，又∵直線可化為，∴兩平行線之間的距離．故選：C．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．在平面直角坐標系中，已知．(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)若點在直線上，且，求點到直線的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）計算直線的斜率為，確定高所在直線的斜率為1，得到直線方程.（2）計算直線方程，的垂直平分線方程，聯(lián)立得到，計算距離即可.【詳解】（1）直線，即，直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為1，所以邊上的高所在的直線方程為，整理得；（2）直線，即，的中點為，所以的垂直平分線所在的直線方程為，因為為垂直平分線與直線的交點，所以，解得，所以到直線的距離為．練習(xí)2．已知直線，．(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求之間的距離．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）由兩線垂直的判定列方程求參數(shù)即可；（2）由兩線平行的判定列方程求參數(shù)，注意驗證是否存在重合情況，再應(yīng)用平行線距離公式求距離.【詳解】（1）由，則，即，所以，可得或.（2）由，則，可得，故或，當，則，，此時滿足平行，且之間的距離為；當，則，，此時兩線重合，舍；綜上，時之間的距離為.練習(xí)3．已知，，.(1)求的面積；(2)若，，求點的坐標.【答案】(1)(2)【分析】（1）中，兩點間距離公式求，以邊為底，點到直線的距離為高，求的面積；（2）由平行和垂直的關(guān)系，求出直線和直線的方程，聯(lián)立方程組求點的坐標.【詳解】（1）由題得直線的斜率：，所以直線的方程為：，即，點到直線的距離為，，所以.（2）因為，則直線的斜率：，所以直線的方程為：，直線的斜率，因為，所以，直線的方程為：，即，聯(lián)立方程組，解得：.練習(xí)4．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l經(jīng)過點和點.(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且m與l間的距離為，求直線m的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）法一，已知兩點求斜率，再由點斜式方程可得，法二，由兩點式方程可得；（2）設(shè)出直線方程，由直線平行得斜率，再由兩平行直線間的距離公式可求.【詳解】（1）法一：由題意得直線l的斜率，故直線l的方程為，即；法二：由兩點式方程可得，，化簡得.（2）可設(shè)直線m的方程為，由題意得，解得或，故直線m的方程為或.【重難點八對稱問題】例15．將一張坐標紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，點(7，3)與點(m，n)重合，則m+n=（

）A． B．10 C． D．5【答案】A【解析】由題意求出點(0，2)與點(4，0)所確定是垂直平分線l的方程，再由點(7，3)與點(m，n)關(guān)于l對稱，列式求解出m、n，即可求出m+n【詳解】解：若將一張坐標紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，則坐標紙折疊一次的折痕是點(0，2)與點(4，0)連線的垂直平分線，∵點(0，2)與點(4，0)中點為(2，1)，兩點連線的斜率為k=，∴其垂直平分線的斜率為2，則其垂直平分線方程為：y﹣1=2(x﹣2)，即y=2x﹣3，它也是點(7，3)與點(m，n)連線的垂直平分線，則，解得.∴m+n=.故選：A.【點睛】對稱問題：（1）點A、B關(guān)于點O對稱，是中心對稱，用中點坐標公式（2）點A、B關(guān)于直線l對稱，則l是線段AB的垂直平分線，可以利用垂直和平分分別列方程：和在直線l上.例16．的一個內(nèi)角的平分線所在直線方程是，若，則點的坐標為．【答案】【分析】由題可知是角的平分線所在的直線，求得點關(guān)于角平分線對稱點，即可得在直線上，寫出直線的方程并求出與平分線的交點即可得出點的坐標.【詳解】根據(jù)以及角平分線可知，都不在直線上，所以是角的平分線所在的直線，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，線段的中點坐標為，所以可得，解得，即；因為直線是角的平分線所在的直線，所以應(yīng)在直線上，即三點共線，如下圖所示;

易知，可得直線方程為，即可知既在上，又在角平分線上，聯(lián)立，解得，所以點的坐標為.故答案為：若若點關(guān)于直線l的對稱點為，則．【跟蹤練習(xí)】練習(xí)1．已知，從點射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射到點，則光線所經(jīng)過的路程為（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】利用點關(guān)于直線的對稱點的求法，以及數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】直線的方程為，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，則，得，即點關(guān)于軸的對稱點為，

由題意可知，如圖，點都在光線上，并且利用對稱性可知，，，所以光線經(jīng)過的路程.故選：C練習(xí)2．已知兩定點，，動點在直線上，則的最小值為.【答案】【分析】推導(dǎo)出點，在直線同側(cè)，求出點關(guān)于直線的對稱點為，的最小值為，由此能求出結(jié)果．【詳解】兩定點，，動點在直線上，點，在直線同側(cè)，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，，，的最小值為．故答案為：練習(xí)3．直線分別交軸和于點，，為直線上一點，則的最大值是．【答案】.【分析】根據(jù)題意，得到，求得關(guān)于直線的對稱點為，結(jié)合，結(jié)合當且僅當三點共線時，等號成立，即可求解.【詳解】由直線分別交軸和于點，可得，如圖所示，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，又由，即，則，當且僅當三點共線時，等號成立，即的最大值為，即的最大值為.故答案為：.

練習(xí)4．已知直線l：，點．(1)若點P到直線l的距離為d，求d的最大值及此時l的直線方程；(2)當時，過點P的一條入射光線經(jīng)過直線l反射，其反射光線經(jīng)過原點，求反射光線的直線方程．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出直線所過定點，當時最大，且，據(jù)此求直線方程；（2）求關(guān)于直線l的對稱點，根據(jù)在反射直線上求解即可.【詳解】（1）因為直線l：可得，所以由解得，即直線過定點，所以到直線l的距離，此時，即，所以直線l的方程為，即.（2）時，直線l：，設(shè)關(guān)于直線l：的對稱點，則，解得，，即，又在反射直線上且反射直線過原點，所以反射直線的斜率為，故反射直線的方程為，即.【重難點九最值問題】例17．直線與直線相交于點P，對任意實數(shù)m，直線,分別恒過定點A，B，則的最大值為(

)A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】首先求點的坐標，并判斷兩條直線的位置關(guān)系，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】直線，當，得，即點，直線，當，得，即點，且兩條直線滿足，所以，即，，，當時，等號成立，所以的最大值為4.故選：A例18．已知光線通過點，經(jīng)直線反射，其反射光線通過點，(1)在直線上求一點，使；(2)若點在直線上運動，求的最小值．【答案】(1)P點坐標為(2)【分析】（1）首先求出線段的垂直