經(jīng)濟數(shù)學（第三版） 課件 第7、8章 最優(yōu)配置與最佳效果分析、概率計算成果因素分析

第七章

最優(yōu)配置與最佳效果分析目

錄CONTENTS1安排生產(chǎn)問題及解決方案ArrangeproductionproblemsandSolutions2使用EXCEL討論線性規(guī)劃問題UsingExceltodiscusslinearprogramming3進一步學習的數(shù)學知識：單純形法Furthermathematicsknowledge:Simplexmethod安排生產(chǎn)問題及解決方案ArrangeproductionproblemsandSolutions1一、問題的引入問題分析:這是一個最優(yōu)化問題，應先設(shè)出目標變量和關(guān)鍵變量并建立目標函數(shù)，然后根據(jù)目標函數(shù)的類型，選擇合適的方法求最值。

引例某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要用3種不同的原料A、B、C．

從工藝資料可知：每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品，需耗用3種原料分別為1，1，0單位；生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品，需耗用3種原料分別為1，2，1單位．每天原料供應的能力分別為6，8，3單位．

又知道每生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品，企業(yè)的利潤收入為300元，每生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品，企業(yè)利潤收入為400元．那么該企業(yè)應該如何安排生產(chǎn)計劃，使一天的總利潤最大呢？一、問題的引入設(shè)企業(yè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品為噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品為噸，稱，為決策變量，他們不能任意取值，要受到可供利用的原料資源數(shù)量的限制．又因為產(chǎn)品的產(chǎn)量一般是一個非負數(shù)，所以有，，稱為非負約束．

解決方案

上面得到的3種原料的線性不等式是決策變量，取值所必須滿足的條件，它們約束了決策變量，不能取任意值，稱它們?yōu)榧s束條件．數(shù)學模型由三部分組成的：

①決策變量；

②線性的目標函數(shù)；③線性的約束條件．線性規(guī)劃問題的三要素．一、問題的引入生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品企業(yè)的利潤收入為300元，生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品企業(yè)的利潤收入為400元．于是甲、乙兩種產(chǎn)品的總利潤為：它是決策變量的線性函數(shù)，并稱此函數(shù)為目標函數(shù).綜上所述，得到描述原問題的數(shù)學模型如下：二、線性規(guī)劃模型的相關(guān)概念

在線性規(guī)劃問題中，滿足約束條件的解稱為可行解，所有可行解的集合稱為可行集；使目標函數(shù)取值最大或最小的可行解稱為最優(yōu)解，對應于最優(yōu)解的目標函數(shù)值稱為最優(yōu)值．

目標函數(shù)和約束條件均為線性關(guān)系的最優(yōu)化問題稱為線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型一般形式如下：三、圖解法例1

利用圖解法求解線性規(guī)劃問題

學習圖解法的主要目的在于幫助理解線性規(guī)劃問題解的性質(zhì).下面首先通過一個具體實例來說明圖解法的原理和步驟.三、圖解法解

(1)建立平面直角坐標系，根據(jù)約束條件畫出可行域.圖中陰影部分即為線性規(guī)劃問題的可行域，可行域內(nèi)任意一點的坐標都是該線性規(guī)劃問題的可行解.(2)繪制目標函數(shù)等值線.

在幾何上，目標函數(shù)代表平面上的一族平行直線，其中一條直線對應一個Z值.落在同一條直線上的點，如果又落在可行域上，那么這樣的點就是具有相同目標函數(shù)值的可行解，所以平行直線族中的每一條直線又稱為等值線.三、圖解法(3)確定最優(yōu)解最優(yōu)解必須是滿足約束條件，并使目標函數(shù)達到最優(yōu)值的解，故的值只能在可行域中去尋找.當?shù)戎稻€由原點開始向右上方移動時，Z的值逐漸增大，于是，當移動到與可行域相切時，切點就是代表最優(yōu)解的點.本例中等值線與可行域的切點為C點當時最優(yōu)解為：19三、圖解法例2某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，面食每100g含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100g含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學校要求給學生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉.問：應如何配制盒飯，才既科學又費用最少?模型建立決策變量：設(shè)每盒盒飯需要面食（百克），米食（百克）目標函數(shù)：使費用最少，即約束條件：營養(yǎng)需求約束：非負約束：三、圖解法綜上所述，得藥品生產(chǎn)問題的數(shù)學規(guī)劃模型為：三、圖解法模型求解：

(1)建立平面直角坐標系，根據(jù)約束條件畫出可行域.(2)繪制目標函數(shù)等值線.目標函數(shù)代表平面上的一族平行直線，如圖中虛線所示.(3)確定最優(yōu)解本例中等值線與可行域的切點為A，此時目標函數(shù)取得最小值.當時最優(yōu)解為：四、線性規(guī)劃問題解的性質(zhì)一般地，含兩個變量的線性規(guī)劃問題的解有下面四種情況：

（1）有可行解且有唯一最優(yōu)解；

（2）有可行解且有無窮多最優(yōu)解；

（3）有可行解但無最優(yōu)解；

（4）無可行解.

同時，若線性規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，它一定在可行域的某個頂點得到，若在兩個頂點同時得到最優(yōu)解，則它們連線段上的任意一點都是最優(yōu)解，即有無窮多最優(yōu)解.性質(zhì)1求解線性規(guī)劃問題時，解的情況有：唯一最優(yōu)解、無窮多最優(yōu)解、無界解、無可行解.性質(zhì)2若線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解存在，則最優(yōu)解或最優(yōu)解之一（如果有無窮多最優(yōu)解）一定可以在基可行解(頂點)中找到.使用Excel討論線性規(guī)劃問題UsingExceltodiscusslinearprogramming2一、使用EXCEL求解線性規(guī)劃

Excel具有強大的規(guī)劃求解功能，可以解決最多有200個變量，100個外在約束和400個簡單約束（決策變量整數(shù)約束的上下邊界）的線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃問題．因此，可通過Excel的規(guī)劃求解功能實現(xiàn)問題的求解。第一步：在Excel工作表中輸入目標函數(shù)的系數(shù)、約束條件的系數(shù)矩陣和右端常數(shù)項（每一個單元格輸入一個數(shù)據(jù)）；第二步：選定一個單元格存儲目標函數(shù)，用定義公式的方式在這個目標單元格內(nèi)定義目標函數(shù)；第三步：選定與決策變量個數(shù)相同的單元格（稱為可變單元格），用以存儲決策變量；再選擇與約束條件個數(shù)相同的單元格，用定義公式的方式在每一個單元格內(nèi)計算出相應的約束函數(shù)（稱為約束函數(shù)單元格）；第四步：點擊規(guī)劃求解按鈕，打開規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)定對話框，添加約束條件，完成規(guī)劃模型的設(shè)定.使用規(guī)劃求解加載宏求解數(shù)學規(guī)劃的步驟：二、典型案例典型問題1某奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)兩種奶制品，1桶牛奶可以在設(shè)備甲，或者在設(shè)備乙上用8小時加工成4公斤．根據(jù)市場全部能售出，且每公斤獲利24元，每公斤加工廠每天能得到50桶牛奶的供應，每天正式工人總的勞動時間為480小時，并且設(shè)，設(shè)備乙的加工能力沒有限制．請為該廠制定一個生產(chǎn)上用12小時加工成3公斤需求，生產(chǎn)的獲利16元.現(xiàn)在備甲每天至多能加工100公斤計劃，使得工廠每天獲利最大．解決方案1.模型建立決策變量：設(shè)每天用桶牛奶生產(chǎn)設(shè)每天用桶牛奶生產(chǎn)目標函數(shù)：每天獲利，使獲利最大，即約束條件：原料供應：勞動時間：設(shè)備能力：非負約束：綜上所述，數(shù)學規(guī)劃模型為：二、典型案例2.模型求解第一步：建立表格.在工作表中的A1，A2，A3，D2，E2，A8單元格中分別輸入“目標函數(shù)系數(shù)”，“決策變量”，“約束條件系數(shù)”，“目標函數(shù)值”，“約

束條件左端的值”，“約束條件右端的值”；在B1，C1單元格中輸入目標函數(shù)的系數(shù)72，64，在B3，C3單元格中輸入第一個約束條件的系數(shù)1，1；同理，在相應單元格中輸入其他約束條件的系數(shù)與約束條件右端的值，如下圖所示：二、典型案例第二步：計算約束條件左端的值和目標函數(shù)值．在D3單元格中輸入公式“=B3*$B$2+C3*$C$2”，并使用句柄填充拖曳至D7單元格.目標函數(shù)的值等于目標函數(shù)系數(shù)乘以決策變量，從而在B8單元格中輸入公式“=B1*B2+C1*C2”，如下圖所示．二、典型案例第三步：輸入各項參數(shù)

單擊【數(shù)據(jù)】菜單中的【規(guī)劃求解】命令，在彈出的規(guī)劃求解對話框中輸入各項參數(shù)．（1）設(shè)置目標單元格和可變單元格在“規(guī)劃求解參數(shù)”對話框中選中“最大值”前的單選按鈕，設(shè)置目標單元格為“$D$10”，可變單元格為“$B$2:$D$2”

，如右圖所示．（2）添加約束條件單擊【添加】按鈕，打開【添加約束】對話框，單擊單元格引用位置文本框，然后選定工作表中的D3至D5單元格，則在文本框中顯示“$D$3:$D$5”，選擇“<=”約束條件；單擊約束值文本框，然后選定工作表中的E3至E5單元格，如圖所示．二、典型案例第四步：在【規(guī)劃求解結(jié)果】對話框中，單擊【確定】按鈕，工作表中就顯示出規(guī)劃求解的結(jié)果，如圖所示．

如果要生成運算結(jié)果報告，可在【規(guī)劃求解】對話框中選擇【報告】列表框中的【運算結(jié)果報告】．單擊【確定】按鈕，則產(chǎn)生運算結(jié)果報告表.二、典型案例飼料配料問題在現(xiàn)代化的大型畜牧業(yè)中，經(jīng)常使用工業(yè)生產(chǎn)的飼料.設(shè)某種飼料由四種原料混合而成，要求它含有三種成份（如維生素、抗菌素等）的數(shù)量分別不少于25、36、40個單位，各種原料的每百公斤重含三種成份的數(shù)量及各種原料的單價如表所示.問：應如何配料，使合成飼料（產(chǎn)品）既含有足夠的所需成份，又使成本最低?二、典型案例二、典型案例1.模型建立目標函數(shù)：要使得成本最低，即決策變量：百公斤.設(shè)合成飼料中原料

的含量分別為

解決方案

在生產(chǎn)過程中，要使合成飼料含有足夠的所需成份也就是說合成飼料中所含三種成份的總量要大于等于每種成份的需要量.同時，總成本最低，也就是使得合成飼料過程中四種原料的含量總成本最低.二、典型案例約束條件：需求量約束：合成飼料中成份

的含量需要大于等于需要量，即非負約束：綜上所述，得數(shù)學規(guī)劃模型為：二、典型案例2.模型求解第一步：在Excel工作表中建立線性規(guī)劃模型，并計算約束條件左端的值和目標函數(shù)值，如圖所示：第二步：單擊【數(shù)據(jù)】菜單下的【規(guī)劃求解】選項，在彈出的規(guī)劃求解對話框中輸入各項參數(shù)，如圖7-11所示．二、典型案例第三步：單擊【求解】按鈕，彈出【規(guī)劃求解結(jié)果】對話框，同時結(jié)果顯示在工作表中，如圖7-12所示．即在生產(chǎn)合成飼料的過程只需要用原料：7200公斤，最小生產(chǎn)成本為79.2元.二、典型案例藥品生產(chǎn)問題

某藥品生產(chǎn)企業(yè)準備投入生產(chǎn)六種藥品，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)每種藥品所需要消耗的勞動力、原材料、每種藥品的單位利潤、需求量以及現(xiàn)有可

用的勞動力和原材料具體數(shù)據(jù)如下表所示：

產(chǎn)品1產(chǎn)品2產(chǎn)品3產(chǎn)品4產(chǎn)品5產(chǎn)品6現(xiàn)有勞動力（小時）65432.51.54500原料（磅）3.22.61.50.80.70.31600單位利潤（元）65.35.44.23.81.8

需求量（磅）960928104197710841055

問：該藥品生產(chǎn)企業(yè)該如何安排生產(chǎn)，使得總獲利最大？二、典型案例

解決方案1.模型建立目標函數(shù)：要使得獲利最大，即決策變量：設(shè)該藥品生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)藥品1～6的產(chǎn)量分別為

藥品生產(chǎn)企業(yè)通常需要確定每月（或每周）生產(chǎn)計劃，列出每種產(chǎn)品必須生產(chǎn)的數(shù)量.具體來說就是，產(chǎn)品組合問題就是要確定公司每月應該生產(chǎn)的每種產(chǎn)品的數(shù)量以使利潤最大化.產(chǎn)品組合通常必須滿足以下約束：

（1）產(chǎn)品組合使用的資源不能超標.

（2）對每種產(chǎn)品的需求都是有限的.我們每月生產(chǎn)的產(chǎn)品不能超過需求的數(shù)量，因為生產(chǎn)過剩就是浪費（例如，易變質(zhì)的藥品）.二、典型案例約束條件：資源約束：生產(chǎn)藥品所消耗的勞動力用時不能超過總的可用勞動力時，即同理，生產(chǎn)藥品所消耗的原材料不能超過總的可用原材料量.需求量約束：每種藥品的生產(chǎn)量不能超過需求量，從而可得非負約束：二、典型案例綜上所述，得藥品生產(chǎn)問題的數(shù)學規(guī)劃模型為：二、典型案例2.模型求解第一步：在Excel工作表中建立線性規(guī)劃模型，并計算約束條件左端的值和目標函數(shù)值，如圖所示：二、典型案例第二步：單擊【數(shù)據(jù)】菜單下的【規(guī)劃求解】選項，在彈出的規(guī)劃求解對話框中輸入各項參數(shù)，如圖所示．二、典型案例第三步：單擊【求解】按鈕，彈出【規(guī)劃求解結(jié)果】對話框，同時結(jié)果顯示在工作表中，如圖7-15所示．即生產(chǎn)產(chǎn)品4：597.6667磅，生產(chǎn)產(chǎn)品5：1084磅，可獲得最大利潤為6625.2元．二、典型案例

自來水運送問題(運輸問題)

某市有甲、乙、丙、丁四個居民區(qū)，自來水由三個水庫供應，四個區(qū)每天必須得到保證的基本生活用水量分別為30，70，10，10千噸，但由于水源緊張，三個水庫每天最多只能供應50，60，50千噸自來水．由于地理位置的差別，自來水公司從各水庫向各區(qū)送水所付出的引水管理費不同.其他管理費都是450元/千噸．根據(jù)公司規(guī)定，各區(qū)用戶按照統(tǒng)一標準900元/千噸收費．此外，四個區(qū)都向公司申請了額外用水量，分別為每天50，70，20，40千噸．該公司如何分配供水量，才能獲利最多？引水管理費（元/千噸）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230二、典型案例決策變量：

假設(shè)三個水庫

分別向甲、乙、丙、丁四區(qū)的供水量為由于水庫與丁之間沒有輸水管道，即，因此只有11個決策變量．

1.模型建立

目標函數(shù)：問題的目標可以從獲利最多轉(zhuǎn)化為引水管理費最少，于是有二、典型案例

約束條件：約束條件有兩類：一類是水庫的供應量限制，另一類是各區(qū)的需求

量限制．由于供應量總能賣出并獲利，水庫的供應量限制可以表示為：考慮到各區(qū)的基本生活用水與額外用水量，需求量限制可以表示為：二、典型案例綜上所述，自來水運送問題的數(shù)學規(guī)劃模型為：二、典型案例2.模型求解

第一步：在Excel工作表中建立線性規(guī)劃模型，并計算約束條件左端的值和目標函

數(shù)值．本例中決策變量有12個，在Excel工作表中B2至M2單元格，分別表示決策變量，然后輸入各個約束條件（包括非負條件）的系數(shù)，同時計算約束條件左端的值和目標函數(shù)的值，如圖所示．二、典型案例

第二步：在彈出的【規(guī)劃求解參數(shù)】對話框中輸入?yún)?shù)．單擊【求解】按鈕，得到

圖所示結(jié)果．因此，最佳送水方案為：水庫向乙區(qū)供應50千噸，

水庫向乙、丁區(qū)分別供應50，水庫向甲、丙區(qū)分別供應40，10千噸．10千噸，進一步學習的數(shù)學知識：單純形法Furthermathematicsknowledge:Simplexmethod3

線性規(guī)劃問題的標準型主要是針對線性規(guī)劃問題的約束條件而言的，具體表現(xiàn)形式為：其中皆非負．

一、線性規(guī)劃問題的標準型一、線性規(guī)劃問題的標準型在解決實際問題時，根據(jù)實際問題建立的模型常常不是標準型，那么如何把一個線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標準型呢？

(2)若約束條件中含有線性不等式約束，則需要引進新的非負變量，把線性不等式約束化為線性等式約束，這樣引進的新非負變量稱為松弛變量．(1)若求目標函數(shù)

的最小值，則引進新的目標函數(shù)

(a)當約束條件是時，在不等式左端加上松弛變量，將不等式約束化為等式約束．

(b)當約束條件是

時，在不等式左端減去松弛變量，將不等式約束化為等式約束．(3)若約束條件中線性等式約束的常數(shù)項為負值，則將該約束條件兩端同時乘以，使得常數(shù)項為正值．(4)若對某一變量無約束，可令

作變量替換,使得對全部變量皆有非負限制．

一、線性規(guī)劃問題的標準型一、線性規(guī)劃問題的標準型例3將如下線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標準型解

因為目標函數(shù)為最小值，所以引進新的目標函數(shù)又因為約束條件為兩個不等式約束，故引進松弛變量一、線性規(guī)劃問題的標準型從而線性規(guī)劃問題化為：上式第一個約束等式右端的常數(shù)為負值，因而在該約束條件兩端同時乘以-1，得到所給線性規(guī)劃問題的標準形式為：二、單純形法的原理與步驟例4

運用單純形法求解線性規(guī)劃問題二、單純形法的原理與步驟第一步：引進松弛變量將所給線性規(guī)劃問題化為標準型：

第二步：用非基變量表示基變量和目標函數(shù)求出一個基本可行解．由標準型可知：，令各非基變量等于0,即，得到基變量，它們構(gòu)成初始基本可行解．

二、單純形法的原理與步驟第三步：最優(yōu)性檢驗最優(yōu)性檢驗：判斷基本可行解是否是最優(yōu)解．

檢驗數(shù)：用非基變量表示的目標函數(shù)中的各非基變量的系數(shù)

最優(yōu)解判定定理：

在極大化問題中，對于某個基本可行解，所有檢驗數(shù)，則這個基本可行解是最優(yōu)解．二、單純形法的原理與步驟第四步：確定換入變量

在決定哪個變量從非基本變量轉(zhuǎn)化為基本變量時，當存在時，

選擇作為換入變量.若檢驗數(shù)大于0的非基變量不止一個，則可以任選其中一個作為換入本例選擇作為換入變量.變量．第五步：確定換出變量在決定出基變量時，按最小比值規(guī)則進行．在本例中，因為要從基變量

中換出一個，基變量的系數(shù)是1，

的系數(shù)是1，從而有

因此，選取作為換出變量．二、單純形法的原理與步驟第六步：回到第三步進行新的基本可行解的最優(yōu)性檢驗．用非基變量表示目標函數(shù)有因為非基變量的檢驗數(shù)

，由最優(yōu)解判定定理可知，

基本可行解還不是最有解．第七步：確定新的換入變量、換出變量在目標函數(shù)

中，只有非基變量

的檢驗數(shù)大于0，因此我們選取作為換入變量,作為換出變量．令非基變量,得到基變量第三組基本可行解．二、單純形法的原理與步驟第八步：回到第三步

判斷第三組基本可行解是否是最有解．用非基變量表示目標函數(shù)有非基變量的檢驗數(shù)，非基變量的檢驗數(shù)由最優(yōu)性判定定理，我們可知，此時的基本可行解就是最優(yōu)解.

最優(yōu)解

應用單純形解法求解線性規(guī)劃問題，相當于從可行解集的一個極點跳總結(jié)到另一個極點，逐步接近最優(yōu)解，并最后到達最優(yōu)解．三、對偶單純形法的原理與步驟

線性規(guī)劃的對偶單純形法是根據(jù)對偶問題求解的特點和對稱性設(shè)計出的一種解法.對偶單純形法和單純形法的主要區(qū)別：單純形法在整個迭代過程中，始終保持原問題的可行性，即常數(shù)列大于等于0；

對偶單純形法則是在整個迭代過程中，始終保持對偶問題的可行性，即全部檢驗數(shù)大于等于0.在運用對偶單純形法求解線性規(guī)劃問題時，不需要引進人工變量，但是必須先給定原問題的一個對偶可行的基本解.三、對偶單純形法的原理與步驟例5

利用對偶單純形法求解下列規(guī)劃模型第一步：給定一個初始對偶可行的基本解把原問題引入附加變量化為標準型.為了得到對偶可行的基本解，不需要引入人工變量，只要將每個約束方程兩端同時乘以-1即可，并實現(xiàn)所有檢驗數(shù)大于等于0，但常數(shù)列中含有負元素.三、對偶單純形法的原理與步驟把原問題化為標準型，得然后分別將每個約束方程兩端同乘以-1，得到：三、對偶單純形法的原理與步驟從而可得下表第二步：最優(yōu)性檢驗若線性常數(shù)列，則停止計算，現(xiàn)行對偶可行的基本解即是最優(yōu)解.否則，，從而線性對偶可行的基本解不是最優(yōu)轉(zhuǎn)下一步.從上表可知，解.三、對偶單純形法的原理與步驟第三步：確定換出變量將現(xiàn)行常數(shù)列中最小的負元素所在行的基變量換出，即第行約束式的基變量為換出變量.從表中我們知道，故為換出變量.三、對偶單純形法的原理與步驟第四步：確定換入變量在換出變量所在的第行約束式中，找出各非基變量列中系數(shù)為負的那些元素，用相應的檢驗數(shù)分別除以這些負元素，所得個負比值中最大者所在列即為換入列.令由第3步可知，第2行為換出變量所在行，即所在列為換入變量列，故為換入變量.三、對偶單純形法的原理與步驟在對偶單純形法中，確定換入變量的規(guī)則稱為最大負比值規(guī)則.選取新的基變量為.令各非基變量等于0，可以得到一個新的基本可行解(0,5,0,-2,0)，如下表從上表可知，，從而線性對偶可行的基本解不是最優(yōu)解，需進行第二次迭代.三、對偶單純形法的原理與步驟根據(jù)換入變量，換出變量原則，選定為換出變量，為換入變量.見下表上表中的，根據(jù)最優(yōu)性檢驗條件，停止迭代，此時的對偶可行基本解即是最優(yōu)解.三、對偶單純形法的原理與步驟單純形法與對偶單純形法對比注：對偶單純形法的實質(zhì)就是對原問題的對偶問題運用單純形法求解.長沙民政職業(yè)技術(shù)學院通識教育中心本章結(jié)束THANKS第八章

概率計算與成果因素分析目

錄CONTENTS1彩票設(shè)計問題及解決方案2使用Excel討論概率計算問題3進一步學習的數(shù)學知識：概率初步LotteryDesignProblemsandSolutionsUsingExceltoDiscussProbabilityCalculationsFurtherMathematicsKnowledge:PreliminaryProbability彩票設(shè)計問題及解決方案LotteryDesignProblemsandSolutions1一、彩票設(shè)計問題引例：近年來，“彩票颶風”席卷中華大地，巨額獎金的誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型?！皞鹘y(tǒng)型”彩票采用“10選6+1”方案：先從6組0～9號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然后從0～4號球中搖出一個特別號碼，構(gòu)成中獎號碼。投注者從0～9中任選6個基本號碼（可重復），從0～4中任選1個特別號碼，構(gòu)成一注。根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少及順序確定中獎等級。以中獎號碼“abcdef+g”為例說明中獎等級，如表8-1所示（X表示未選中的號碼）。中獎等級10選6+1（6+1/10）基本號碼特別號碼說明一等獎abcdefg選7中6+1二等獎abcdef

選7中6三等獎abcdeX

Xbcdef

選7中5四等獎abcdXX

XbcdeX

XXcdef

選7中4五等獎abcXXX

XbcdXX

XXcdeX

XXXdef

選7中3六等獎abXXXX

XbcXXX

XXcdXX

XXXdeX

XXXXef

選7中2表8-1傳統(tǒng)型中獎等級情況表一、彩票設(shè)計問題又如“36選6+1”的方案：先從01～36號碼球中一個一個地搖出6個基本號，再從剩下的30個號碼球中搖出一個特別號碼。從01～36號碼中任選7個組成一注（不可重復），根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應的中獎等級，不考慮號碼順序。這兩種方案的中獎等級如表8-2所示。

“樂透型”有多種不同的玩法，比如“33選7”的方案：先從01～33號碼球中一個一個地搖出7個基本號，再從剩余的26個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從01～33號碼中任選7個組成一注（不可重復），根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應的中獎等級，不考慮號碼順序。一、彩票設(shè)計問題中獎33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）等級基本號碼特別號碼說明基本號碼特別號碼說明一等獎●●●●●●●選7中7●●●●●●★選7中6+1二等獎●●●●●●○★選7中6+1●●●●●●選7中6三等獎●●●●●●○選7中6●●●●●○★選7中5+1四等獎●●●●●○○★選7中5+1●●●●●○選7中5五等獎●●●●●○○選7中5●●●●○○★選7中4+1六等獎●●●●○○○★選7中4+1●●●●○○選7中4七等獎●●●●○○○選7中4●●●○○○★選7中3+1表8-2樂透型彩票中獎等級情況表一、彩票設(shè)計問題[(當期銷售總額×總獎金比例)-低項獎總額]×單項獎比例

以上兩種類型的總獎金比例一般為銷售總額的50%，投注者單注金額為2元，單注若已得到高級別的獎就不再兼得低級別的獎.現(xiàn)在常見的銷售規(guī)則及相應的獎金設(shè)置方案如表8-3，其中一、二、三等獎為高項獎，后面的為低項獎.低項獎獎金固定，高項獎按比例分配，但一等獎單注保底金額60萬元，封頂金額500萬元。一、彩票設(shè)計問題

各高項獎獎金的計算方法為：

一、彩票設(shè)計問題

一、彩票設(shè)計問題(5)假定各個不同方案均是在公正公平的原則下實施，而且彩民購買和對獎的方便程度相同。問題分析與假設(shè)：(1)“傳統(tǒng)型”要求基本號碼是連號，如‘xbcdxf’表示與基本號碼相符合的是‘bcd’，首尾相連的情況視為不連續(xù)，如‘a(chǎn)xxxxf’視為無獎；(2)“傳統(tǒng)型”的抽獎號碼可以重復，而“樂透型”中不管是“7/33”還是“6+1/36”的形式，投注者的抽取號碼不允許重復；(3)單注投注金額為兩元，總獎金為當期銷售總額的50％，且此比例固定不變；(4)低項獎單注獎金固定，高項獎金額按比例分配為浮動值，但一等獎單注保

底金額60萬元，封頂金額500萬元；一、彩票設(shè)計問題“傳統(tǒng)型”彩票中獎概率：記pi為各個獎項的中獎概率，經(jīng)過對表8-1的分析，利用古典概率的相關(guān)知識，很容易就可以求出各獎項出現(xiàn)的概率，見表8-4。解決方案：一、彩票設(shè)計問題

“樂透型”彩票中獎概率：記pi為各個獎項的中獎概率，經(jīng)過對表8-2的分析（這里只計算“33選7”及“36選6+1”兩種情形），利用古典概率的相關(guān)知識，可以求出各獎項出現(xiàn)的概率，見表8-5。一、彩票設(shè)計問題一、彩票設(shè)計問題二、隨機事件的概率隨機試驗：一般地，稱滿足下述三個條件的實驗為一個隨機試驗，記作E。(1)試驗可以在相同的情形下重復進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。1.隨機事件及其概率隨機試驗的每一個可能結(jié)果，稱為基本事件(樣本點)。它們的全體，稱作基本空間(樣本空間)，常用表示基本事件，用表示樣本空間。從集合角度看，基本事件又是樣本空間的一個元素，可記作。

由若干個基本事件組成的事件稱為復雜事件。無論基本事件還是復雜事件，它們在試驗中發(fā)生與否，都帶有隨機性，所以都叫做隨機事件或簡稱為事件，記作大寫字母A，B…。2.基本事件和樣本空間：w

{}wW=

W二、隨機事件的概率3.必然事件與不可能事件例如：一個盒子中有十個完全相同的球，分別標以號碼1，2，…10，從中任取一球，令

，則二、隨機事件的概率

二、隨機事件的概率定義8.5事件A的頻率的極限，我們稱之為事件A的概率。概率的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3注意：概率的定義刻畫了事件發(fā)生可能性的大?。划斣囼灤螖?shù)足夠大時，可以把頻率作為概率的近似值。4.概率的統(tǒng)計定義二、隨機事件的概率設(shè)事件A中所含樣本點個數(shù)為r，樣本空間

中樣本點總數(shù)為n，則有古典概型

滿足下列兩條件的試驗模型稱為古典概型。古典概率的計算（1）所有基本事件是有限個；（2）各基本事件發(fā)生的可能性相同5.概率的古典定義二、隨機事件的概率二、隨機事件的概率二等獎獎項(6個紅色號碼完全一致，藍色號碼不一致)中獎概率為三等獎獎項（5個紅色號碼相同和1個藍色號碼一致）中獎概率為二、隨機事件的概率6.事件的關(guān)系與運算二、隨機事件的概率

思考：如何借助集合運算的韋恩圖來理解上述公式？二、隨機事件的概率加法公式

一般形式特殊形式

二、隨機事件的概率例8.2某設(shè)備由甲、乙兩個部件組成，超負荷時，甲出故障的概率為0.90，乙出故障的概率分0.85，甲、乙兩部件同時出故障的概率為0.80，求超負荷時至少有一個部件出故障的概率.于是即超負荷時，至少有一個部件出故障的概率是0.95.

二、隨機事件的概率例8.3某廠出產(chǎn)的一批乒乓球中含有一、二等品及廢品三種，若一、二等品率分別為80%和18%，求該批乒乓球的合格率和廢品率.三、事件的獨立性與貝努力概型若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互獨立,簡稱A,B獨立。定義8.7相關(guān)性質(zhì)

甲、乙兩人考大學，甲考上本科的概率是0.5，乙考上本科的概率是0.4，問：（1）甲、乙兩人都考上本科的概率是多少？（2）甲、乙兩人至少一人考上本科的概率是多少？

例8.4解

三、事件的獨立性與貝努力概型某藥廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.1，假定各道工序互不影響，試求該產(chǎn)品的合格品率.例8.5解

三、事件的獨立性與貝努力概型三、事件的獨立性與貝努力概型貝努里試驗是指滿足下列兩個條件的隨機試驗：定義8.8重要公式

貝努里試驗又稱之為n次獨立重復試驗，對應的概率模型稱為貝努里概型。

三、事件的獨立性與貝努力概型例8.6例8.7一種藥品對某疾病的治愈率為60%，今用該藥治療患者10例，問恰好治愈2例的概率是多少？

某射手每次擊中目標的概率是0.6，如果射擊5次，試求至少擊中2次的概率.

解：治療10例患者相當于做了10次貝努里試驗，設(shè)A={治愈2個患者}，則四、二項分布與正態(tài)分布1.隨機變量引例①拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的點數(shù)有幾種情況？③拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有幾種情況？②喬丹罰球2次有可能得到的分數(shù)有幾種情況？??????

?①②正面向上，反面向上隨機變量的定義這種變量的結(jié)果是隨機出現(xiàn)的，我們把這樣的變量稱之為隨機變量，常用X、Y、x、h來表示。所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。所有取值是整個數(shù)軸或數(shù)軸上的某些區(qū)間，稱為連續(xù)型隨機變量。思考：能否把擲硬幣的結(jié)果也用數(shù)字來表示呢？定義8.11

四、二項分布與正態(tài)分布1.隨機變量四、二項分布與正態(tài)分布1.隨機變量例8.8

四、二項分布與正態(tài)分布2.二項分布隨機變量X服從二項分布

補充

四、二項分布與正態(tài)分布2.二項分布小明是一名學生，正在學習一門統(tǒng)計課程.不幸的是，小明不是一名優(yōu)秀的學生，課前不看教科書，課后不做家庭作業(yè)，還經(jīng)常缺課，他想靠運氣通過下次小測驗.小測驗包括10道選擇題，每個問題有5個答案，其中只有1個是正確的，小明對于每個問題都是猜測答案.問：例8.9解(1)小明1道題目都沒答對的概率是多少?(2)小明猜對2道題的答案的概率是多少?

連續(xù)型隨機變量的定義若隨機變量可以取某個區(qū)間內(nèi)的一切值，那么這樣的隨機變量稱之為連續(xù)型隨機變量。回顧：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。隨機變量取在區(qū)間內(nèi)的任意值時，所對應的概率都為0。正態(tài)分布也稱為高斯分布——應用最廣泛的連續(xù)型隨機變量分布。四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布問題分析

下表給出了100位調(diào)查對象的初婚年齡統(tǒng)計情況。區(qū)間頻次頻率18.5—20.550.0520.5—22.5100.1022.5—24.5200.2024.5—26.5300.3026.5—28.5200.2028.5—30.5100.1030.5—32.550.05四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布

定義8.13

四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布曲線位于x軸上方，與x軸不相交01

02

03曲線與x軸圍成的面積等于104

05

06四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布演示圖均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布演示圖

四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布

四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布

四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布例8.10解B的作案嫌疑大一些某兇殺案有兩個嫌疑人，從各自住處到兇殺現(xiàn)場所需時間(min)服從正態(tài)分布.A所用的時間X滿足

，B所用的時間Y滿足

.如果僅有65min可以被利用，問誰的作案嫌疑較大？A在65min內(nèi)從住處到兇殺現(xiàn)場的概率為B在65min內(nèi)從住處到兇殺現(xiàn)場的概率為

四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布例8.11解

可以保證生產(chǎn)連續(xù)進行

已知某車間工人完成某道工序的時間X服從正態(tài)分布

（1）從該車間工人中任選一人，其完成該道工序的時間不超過7分鐘的概率；問：（2）為了保證生產(chǎn)連續(xù)進行，要求以95%的概率保證該道工序上工人完成工作時間不多于15分鐘，這一要求能否得到保證？

的正態(tài)分布.被告提供的供詞表明，他在孩子出生時的前300天出國，在孩子出生前240天才回來.請問被告能否根據(jù)這些證詞為自己辯護？4.正態(tài)分布概率計算例8.12解結(jié)論：可以辯護某人被控告是一個新生兒的父親.此案鑒定人作證時指出，母親懷孕期的天數(shù)近似服從參數(shù)為

設(shè)X為母親懷孕期的天數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求

四、二項分布與正態(tài)分布3.正態(tài)分布

使用Excel討論概率計算UsingExceltoDiscussProbabilityCalculations二一、彩票中獎概率問題典型問題1試問：買一張彩票，中一、二、三等獎的概率各是多少?

某地發(fā)行福利彩票，每張彩票的號碼是7個數(shù)字的無序數(shù)組，開獎時，用一個搖獎機，里面裝有分別寫上01,02,…，35的35個小球。充分攪拌這些小球一分鐘，從出口處掉出一個小球，記下小球上的數(shù)字。搖出的小球不放回搖獎機中，重復剛才的做法，一直到產(chǎn)生一個7個數(shù)字的無序數(shù)組，記作a，設(shè)有一、二、三等獎。

規(guī)定：彩票號碼與a完全一樣時，得一等獎；彩票號碼與a有6個數(shù)字一樣時，得二等獎；有5個數(shù)字一樣時，得三等獎。一、彩票中獎概率問題

根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為一個袋子中有35個彩球，其中紅球7個，白球28個，每次隨機的取出一只，第一次取到的球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球，共取7次，求取到7球中全是紅球、有6個紅球和有5個紅球的概率。

問題分析經(jīng)過轉(zhuǎn)換，問題變?yōu)闊o放回的隨機抽樣(超幾何分布)，根據(jù)其概率分布（詳見本章第三節(jié)）即可計算出相應的概率值。一、彩票中獎概率問題解決方案第一步：新建工作表，輸入表頭“應用超幾何分布函數(shù)HYPGEOMDIST求概率”。第二步：分別單擊C2、E2、C3和E3單元格，輸入?yún)?shù):N=35，M=7，n=7，x=7。第三步：運用HYPGEOMDIST求7個球中全為紅球的概率，在B5單元格輸入“=HYPGEOMDIST(E3，C3，E2，C2)”，結(jié)果如圖所示。一、彩票中獎概率問題其中sample_s為樣本中成功的次數(shù)，number_sample為樣本容量，population_s為樣本總體中成功的次數(shù)，number_population為樣本總體的容量.利用相同的原理可求得x=6及x=5的概率值.說明:HYPGEOMDIST函數(shù)返回超幾何分布.給定樣本容量、樣本總體容量和樣本總體中成功的次數(shù)，HYPGEOMDIST函數(shù)返回樣本取得給定成功次數(shù)的概率.其語法為：HYPGEOMDIST(sample_s,number_sample,population_s,number_population)一、彩票中獎概率問題第四步：求不同的x對應的概率.單擊C6單元格，輸入"=HYPGEOMDIST（B6，$C$3,$E$2，$C$2）”，再次單擊C6單元格，將鼠標至于C6單元格右下角，當光標變?yōu)樾『谑謺r拖曳至C13單元格，求出其他x對應的概率值，如圖8-7所示.各種情況下中獎概率的求解過程：第一步：新建Excel工作表，輸入“超幾何分布函數(shù)概率分布圖”.第二步：分別單擊C2、E2和C3單元格，輸入己知參數(shù)N=35，M=7，n=8.第三步：設(shè)定樣本中中獎的號碼個數(shù)x序列.在B6—B13單元格輸入x為0，1，…，7的取值.一、彩票中獎概率問題

圖8-7超幾何分布概率分布圖

二、車床故障維修問題

某車間有160臺同型號的自動車床獨立工作，每臺車床發(fā)生故障的概率都是0.01，假設(shè)發(fā)生故障時每臺車床必須由一名技師處理。若由一名技師負責維修20臺車床，求車床發(fā)生故障時不能及時維修的概率。若由3名技師共同負責維修80臺，求車床發(fā)生故障時不能及時維修的概率。典型問題2二、車床故障維修問題

的二項分布，車床發(fā)生故障時不能及時維修即同時有4臺或4臺以上發(fā)生故障。

問題分析用X表示同一時刻發(fā)生故障的車床數(shù)。第一種情形，X服從

的二項分布，車床發(fā)生故障時不能及時維修即同時有2臺或2臺以上發(fā)生故障；根據(jù)二項分布的概率分布，可分別計算兩種情況下車床發(fā)生故障時，不能及時維修的概率。第二種情形，X服從二、車床故障維修問題第三步：車床發(fā)生故障時不能及時維修的概率。先求同時出現(xiàn)故障臺數(shù)小于等于1的概率，在C5中輸入“=BINOMDIST(C4,C2,C3,1)”，再求1個技師時發(fā)生故障不能及時維修的概率，單擊C6，輸入“=1-C5”即可求得，用同樣的方法可求得3個技師時發(fā)生故障不能及時維修的概率，計算結(jié)果如圖所示。

解決方案第一步：新建Excel工作表，輸入標題“應用二項分布BINOMDIST函數(shù)求概率”；第二步：分別單擊C2，C3，C4，輸入已知參數(shù)值：應用二項分布求概率

二、車床故障維修問題二、車床故障維修問題其語法為：

BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)，其中為number_s為試驗成功的次數(shù)，trials為獨立試驗的次數(shù)，probability_s為每次試臉中成功的概率，cumulative含義同前.

說明:BINOMDIST函數(shù)返回二項式分布的概率值.三、合理的訂貨量問題

根據(jù)題意，打印機每周的銷售量服從

典型問題3

一個零售商銷售和計算機有關(guān)的產(chǎn)品。他最熱賣的一種商品就是惠普激光打印機，平均每周需要200臺，從向廠家訂貨到貨物運抵所需時間為1周，因為每周的需求是隨機變量，且以往的數(shù)據(jù)表明周需求標準差為30臺。如果商品缺貨，那么他會失去這筆生意以及其他可能相關(guān)的買賣，他希望每周缺貨的概率不超過6%，那么每次應該訂多少貨?問題分析

的正態(tài)分布，問題需要求出每周的缺貨概率不超過6%對應的訂貨量臨界值，即94%概率下對應的臨界值。

解決方案第一步：新建Excel工作表，輸入標題“正態(tài)分布函數(shù)”；第二步：分別單擊單元格C2、E2，輸入己知數(shù)

第三步：計算不超過6%對應的訂貨量臨界值（即94%概率下對應的臨界值），在單元格C3中輸入“=NORMINV(0.94,C2,E2)”，結(jié)果如圖8-9所示。圖8-9正態(tài)分布臨界值三、合理的訂貨量問題三、合理的訂貨量問題語法為:

NORMINV（probability，mean，standard_dev）其中probability為正態(tài)分布的概率值，mean為正態(tài)分布的算術(shù)平均值，standard_dev為正態(tài)分布的標準偏差.

說明:NORMINV函數(shù)返回指定平均值和標準差的正態(tài)累積分布的反函數(shù).進一步學習的數(shù)學知識：概率初步FurtherMathematicsKnowledge:PreliminaryProbability三一、條件概率條件概率

則，在條件B發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率，稱之為條件概率，記為對任意兩個事件A、B,并且

注意:

仍然是事件A發(fā)生的概率，只是在原來的基礎(chǔ)上，又增加了一個限制條件B的發(fā)生。計算公式對任意兩個事件A、B,并且，則在條件B發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的條件概率

一、條件概率例8.13某種電子元件用滿6000小時未壞的概率是0.75，用滿10000小時未壞的概率為0.5，現(xiàn)有一個這樣的電子元件，已經(jīng)用滿6000小時未壞，問它再用4000小時也未壞的概率？

一、條件概率乘法公式注意:乘法公式還可以推廣到多個事件相交的情況.由上式可知，對任意兩個事件A、B,如果條件概率與概率有以下關(guān)系

則有

二、全概率公式和貝葉斯公式全概率公式貝葉斯公式例8.15設(shè)某批產(chǎn)品中甲、乙、丙三個廠家的產(chǎn)量分別占45%，35%，20%，各廠產(chǎn)品中次品率分別為4%，2%和5%.現(xiàn)從中任取一件，求取到的恰好是次品的概率？

二、全概率公式和貝葉斯公式例8.161981年3月30號，美國一所大學的退學學生JohnW.Hinckley企圖對里根總統(tǒng)行刺，他打傷了里根、里根的新聞秘書以及兩名保鏢.

在1982年審判時，Hinckley以他患有精神病為理由對自己進行無罪辯護，辯護律師也試圖拿他的CAT掃描作為證據(jù)，辯護人爭辯說因為Hinckley的CAT掃描顯示了腦萎縮，因而Hinckley患有精神分裂癥的可能性更大些.在美國精神分裂癥的發(fā)病率大約為1.5%，下面從概率的角度對Hinckley是否患有精神分裂癥進行可能性分析.

以往的臨床資料表明，精神分裂癥患者掃描結(jié)果為腦萎縮的概率約為30%，而健康