等腰三角形-2021年中考數(shù)學一輪復習精講+熱考題型（解析版）

專題22等腰三角形

【知識要點】

等腰三角形概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形性質(zhì)：

1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）

2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）

等腰三角形的判定：

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊“）.

等邊三角形概念：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形。它是特殊的等腰三角形。

等邊三角形性質(zhì)和判定：

（1）等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°。

（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。

（3）有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

（-4）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

（補充：

（1）三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離等。

（2）三角形三個邊的中垂線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

（3）常用輔助線：①三線合一；②過中點做平行線

【考查題型】

考查題型一等腰三角形的定義

【解題思路】考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情

況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵.

典例1.（2020?貴州黔南布依族苗族自治州?中考真題）已知等腰三角形的一邊長等于4,一邊長等于9,則

它的周長為（）

A.9B.17或22C.17D.22

【答案】D

【提示】分類討論腰為4和腰為9,再應用三角形的三邊關系進行取舍即可.

【詳解】解：分兩種情況：

當腰為4時，4+4<9,所以不能構(gòu)成三角形；

當腰為9時，9+9>4,9-9<4,所以能構(gòu)成三角形，周長是：9+9+4=22.

故選：D.

變式1-1.（2020?廣西玉林市?中考真題）如圖是A,B,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東35度方

向，B島在A島的北偏東80度方向，C島在B島的北偏西55度方向，則A,B,C三島組成一個（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【提示】先根據(jù)方位角的定義分別可求出NC4￡>=35o,NBAZ）=80o,NCBE=55。，再根據(jù)角的和差、

平行線的性質(zhì)可得N5AC=45。，ZAB￡=1OO°,從而可得NABC=45。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定

理可得NC=90°,最后根據(jù)等腰直角三角形的定義即可得.

【詳解】由方位角的定義得：ZC4D=35°,ABAD=80°,Z.CBE=55°

ABAC=NBAD-ACAD=80°-35°=45°

由題意得：AD//BE

ZABE=180?！狽BAD=180?！?0。=100°

ZABC=ZABE-ZCBE=100°-55°=45°

NBAC=NABC=45°

由三角形的內(nèi)角和定理得：ZC=180°-ABAC-ZABC=90°

：OABC是等腰直角三角形

即A,B,C三島組成?個等腰直角三角形

故選：A.

變式1-2.（2020?青海中考真題）等腰三角形的一個內(nèi)角為70。，則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是（）

A.55°,55°B.70°,40?；?0°,55°

C.70°,40°D.55°,55°或70°,40°

【答案】D

【提示】先根據(jù)等腰三角形的定義，分70。的內(nèi)角為頂角和70°的內(nèi)角為底角兩種情況，再分別根據(jù)三角

形的內(nèi)角和定理即可得.

【詳解】（1）當70°的內(nèi)角為這個等腰三角形的頂角

iono_7仆＞

則另外兩個內(nèi)角均為底角，它們的度數(shù)為^小。

（2）當70。的內(nèi)角為這個等腰三角形的底角

則另兩個內(nèi)角一個為底角，一個為頂角

底角為70°,頂角為180P—7（r-7（r=40°

綜上，另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是55°,55。或70。,40°

故選：D.

變式1-3.（2020?湖南張家界市?中考真題）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程/一6X+8=0

的兩根，則該等腰三角形的底邊長為（）

A.2B.4C.8D.2或4

【答案】A【提示】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論邊

長，即可得出答案.

【詳解】解：X2—6x+8=0

（x—4）（x—2）=0

解得：x=4或x=2,

當?shù)妊切蔚娜厼?,2,4時，不符合三角形三邊關系定理，此時不能組成三角形；

當?shù)妊切蔚娜厼?,4,4時，符合三角形三邊關系定理，此時能組成三角形，

所以三角形的底邊長為2,故選：A.

考查題型二根據(jù)等邊對等角求角度

典例2.（2020?廣西中考真題）如圖，是□。的弦，/C與I。相切于點力,連接。4,OB,若NO=

130°,則/歷1C的度數(shù)是（）

C

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【提示】利用切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出/O/C及/0/8即可解決問題.

【詳解】解：???「c與。。相切于點a

J.ACLOA,

.../O4C=90。，

"：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA.

VZ0=130°,

180°—NO

：.ZOAB==25°,

2

.,.N8/C=NO/C-/048=90。-25。=65。.故選：B.

變式2-1.（2020?甘肅蘭州市?中考真題）如圖，ABUCD,AD=CD,Nl=65。，則N2的度數(shù)是

（）

A.50°B.60°C.65°D.70°

【答案】A【提示】利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出/CAD,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

Z2.

【詳解】解：；AB〃CD,.,.Z1=ZACD=65O,

VAD=CD,.*.ZDCA=ZCAD=65°,

.,./2=180。-65。-65。=50。.故選：A.

變式2-2.（2020?山東臨沂市?中考真題）如圖，在DABC中，AB=AC,乙4=40°，CD//AB,則

NBCD=()

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【提示】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NBCD.

【詳解】解：VAB=AC,ZA=40a,AZB=ZACB=70°,

VCD//AB,AZBCD=ZB=70°,故選D.

變式2-3.（2020?浙江溫州市?中考真題）如圖，在AABC中，ZA=40°,AB=AC,點D在AC邊上，以

CB,CD為邊作nBCDE,則NE的度數(shù)為（）

【答案】D【提示】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出NC的度數(shù)，再根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：?.?N/=40°,AB=AC,

:.NABC=NC=70。,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

NE=NC=70°.

故選：D.

考查題型三根據(jù)三線合一求解

典例3.（2020?廣東深圳市?中考真題）如圖，已知BC=6,尺規(guī)作圖痕跡可求出8Q=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B【提示】根據(jù)尺規(guī)作圖的方法步驟判斷即可.

【詳解】由作圖痕跡可知AD為ZBAC的角平分線，而AB=AC,

由等腰三角形的三線合一知D為BC重點，」.BD=3,故選B

變式3-1.（2020?銅仁市?中考真題）已知等邊三角形一邊上的高為2后，則它的邊長為（）

A.2B.3C.4D.4石

【答案】C【提示】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三線合一，利用勾股定理可求解即可.

【詳解】根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)：

設它的邊長為X,可得：X2--+（2逐）2,

解得：x=4,x=-4（舍去），

故選：C.

變式3-2.（2020?四川中考真題）已知：等腰直角三角形/8C的腰長為4,點〃在斜邊48上，點尸為該

平面內(nèi)一動點，且滿足PC=2,則PW的最小值為（）

A.2B.20-2C.272+2D.272

【答案】B【提示】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到斜邊/8=4&.由已知條件得到點P在以C為圓

心，PC為半徑的圓上，當點尸在斜邊的中線上時，的值最小，于是得到結(jié)論.

【詳解】解：???等腰宜角三角形/8C的腰長為4,

斜邊48=4拉，

,??點尸為該平面內(nèi)一動點，且滿足PC=2,

.?.點尸在以C為圓心，尸C為半徑的圓上，

當點尸在斜邊的中線上時，尸加的值最小，

???△/8C是等腰直角三角形，

：.CM=^-AB=2yf2

'：PC=2,

:.PM=CM-CP=2顯-2,

考查題型四格點中畫等腰三角形

典例4在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有48兩個格點，試取格點C,使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格

點C的個數(shù)是（）

【答案】C【提示】分ZB是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與N、8頂點相對的頂點，連接即

可得到等腰三角形，是底邊時、根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，垂直平分線

上的格點都可以作為點C,然后相加即可得解.

【詳解】

分情況討論：

①48為等腰△/8C的底邊時，符合條件的C點有4個；

②AB為等腰ZS/BC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個.

故選C.

變式4-1.（2020?山東棗莊市一模）如圖，A、B是4x5網(wǎng)格中的格點，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是

1,圖中使以A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形的格點C有（）

【答案】B【詳解】解：A、B是4x5網(wǎng)格中的格點,

AB=722+32=A^3，

同理可得，AC=BD=AC=V13-

所求三角形有：［ABD,OABC,CABE.如圖:

故選B.

變式4-2.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1.已知A、B是兩格點，若DABC為等腰三角

形，且SAABC=L5,則滿足條件的格點C有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B【解析】試題提示：如下圖，ABC為等腰三角形，點C的位置一共有6種可能，其中滿足面

積為1.5的，只有C5和C6.

考查題型五根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形

典例5.要使得AABC是等腰三角形，則需要滿足下列條件中的（）

A.ZA=50°,ZB=60°B.ZA=50°,ZB=100°C.ZA+ZB=90°D.ZA+-ZB=90°

2

【答案】D【提示】根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180。結(jié)合選項中的條件能夠證得有兩個角相等即為等腰三角

形.

【詳解】解：A、71=50°,8=60。,

匚匚C=180°-匚2=70°,

所以口/彳B/C,

所以△/BC不是等腰三角形；

B、口口/=50。，05=100°,

口匚C=180°-L]/-C]8=30°,

所以□/丹瓊」C,

所以△/8C不是等腰三角形；

C、/+口8=90。不能判定A/BC是等腰三角形；

1

D、A+-8=90°,

2

則2U+OS=180°,

□□J+D5+nC=180°,

A=C,

所以A/BC是等腰三角形.

故選D.

變式5-1.（2020?無錫市模擬）下列能斷定AABC為等腰三角形的是（）

A.ZA=40°,ZB=50°B.ZA=2ZB=70°

C.ZA=40°,ZB=70°D.AB=3,BC=6,周長為14

【答案】C【提示】根據(jù)三角形內(nèi)角和計算角的度數(shù)，判斷三角形中是否有相等的角；根據(jù)三角形的周長

計算是否有相等的邊即可判斷.

【詳解】A./?=180。-4（）。-50。=90。，沒有相等的角，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

B、,."ZA=2ZB=70°,

ZB=35°,

AZC=75°,沒有相等的角，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

C、ZC=180°-400-70°=700,有相等的角，則是等腰三角形，本選項正確；

D、VAB=3,BC=6,周長為14,

.?.AC=14-6-3=5,沒有相等的邊，則不是等腰三角形，本選項錯誤；

故選C.

變式5-2.如圖，在AABC中，AB=AC,BO、CO分別平分/ABC、ZACB,DE經(jīng)過點O,且

DE〃BC,DE分別交AB、AC于D、E,則圖中等腰三角形的個數(shù)為（）

A

A.2B.3C.4D.5

【答案】D【提示】根據(jù)等腰三角形的判定定理，即可得到答案.

【詳解】：在△ABC中，AB=AC,

.?.△ABC是等腰三角形，ZABC=UACB,

VDE/7BC,

ADE=ZABC,ZAED=ACB

二ADE=ZAED,

.?.△ADE是等腰三角形，

?.?BO、CO分別平分NABC、ZACB,

11

.\ZOBC=-ABCOCB=-ACB

22

.\ZOBC=EOCB]

.?.△OBC是等腰三角形，

：DE〃BC,BO、CO分別平分NABC、ZACB,

，ZDBO=riOBC=ZDOBnnECO=llOCB=EOC

AADBO,ZiECO是等腰三角形，

，圖中由5個等腰三角形，

故選D.

考查題型六根據(jù)等角對等邊求邊長

典例6.（2020?山東青島市?中考真題）如圖，將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合，折痕為EF,EF

與AC交于點。若AE=5,3/=3,則AO的長為（）

_3__

A.亞B.C.2舊D.4正

【答案】C【提示】先證明AE=AF，再求解A5,AC,利用軸對稱可得答案.

【詳解】解：由對折可得：ZAFO=NCFO,AF=CF,

???矩形A83

:.AD//BC,ZB=90°,

:.ZCFO=ZAEO,

ZAFO^ZAEO,

AE=AF=5=CF,

;BF=3,

AB=^AF2-BF2=4,BC=8

AC=VAB2+BC2=J16+64=4石，

由對折得：QA=0C='AC=26.

2

故選C.

變式6-1.（2020?山東濟寧市?中考真題）一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北航行，2小時后

到達海島B處.燈塔C在海島在海島A的北偏西42。方向上，在海島B的北偏西84。方向上.則海島B到

燈塔C的距離是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

【答案】C

【提示】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NC=NCAB=42。，根據(jù)等角對等邊得出BC=AB,

求出AB即可.

【詳解】解：：根據(jù)題意得：ZCBD=84°,ZCAB=42°,

:.ZC=ZCBD-ZCAB=42°=ZCAB,

；.BC=AB,

VAB=15海里/時x2時=30海里，

二BC=30海里，

即海島B到燈塔C的距離是30海里.

故選c.

變式6?2.（2020?河北九年級其他模擬）如圖，在日ABCD中，AB=8,BC=5,以點A為圓心，以任意長

為半徑作弧，分別交AD、AB于點P、Q,再分別以P、。為圓心，以大于;P0的長為半徑作弧，兩弧在

ND48內(nèi)交于點連接力〃并延長交CC于點E,則CE的長為（）

A.3B.5C.2D.6.5

【答案】A

【提示】根據(jù)作圖過程可得得AE平分NDAB；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可證明

ZDAE=ZDEA,證出AD=DE=5,即可得出CE的長.

【詳解】解：根據(jù)作圖的方法得：AE平分NDAB,

AZDAE=ZEAB,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

ADC//AB,AD=BC=5,

AZDEA=ZEAB,

AZDAE=ZDEA,

/.AD=DE=5,

.?.CE=DC-DE=8-5=3；

故選A.

考查題型七等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合

典例7.（2020?浙江紹興市?中考真題）問題：如圖，在中，BA=BD.在8。的延長線上取點E,

C,作△/EC,使E/=EC,若N8/E=90°,/8=45。，求ND4C的度數(shù).

答案：□DACC450

思考：(1)如果把以上“問題”中的條件“22=45°”去掉，其余條件不變，那么/D4c的度數(shù)會改變

嗎？說明理由；

(2)如果把以上“問題”中的條件“N8=45°”去掉，再將"NB4E=9Q°”改為“NBAE=〃?！?其

余條件不變，求/D4c的度數(shù).

【答案】(1)NO4c的度數(shù)不會改變，值為45°；(2).

【提示】

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/ZED=2NC,①求得/D4E=90°-/BAD=90°-(45°+ZC)=

45°-ZC,②由①，②即可得到結(jié)論；

(2)設,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：(1)/D4c的度數(shù)不會改變；

"：EA=EC,

：.ZXE￡)=2ZC,J

VZBAE=90°,

：.ZBAD=^-[180°-(90°-2ZC)]=45°+ZC,

；.ND4E=90°-ZBAD^90a-(45°+ZC)=45°-ZC,□

由「，口得，ZDAC^ZDAE+ZCAE=45'>；

(2)設N/8C="?°,

則(180°-m°)=90°-—m°,ZAEB=18OQ-n°-m°,

22

AZDAE=na-ZBAD=n°-90°+—m°,

2

,:EA=EC,

：.ZCAE=—ZAEB=90°-—n°-—mQ,

222

/.ZDAC=ZDAE+ZCAE=nQ-90°+—m°+90°-—n°-—m°=—n°.

2222

變式7-1.（2020?江蘇淮安市?中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為A、B、C，測得

NCA6=30。，NABC=45。，AC=8千米，求A、8兩點間的距離.（參考數(shù)據(jù)：0al.4，

上=1.7，結(jié)果精確到1千米）.

【答案】A、B兩點間的距離約為11千米.

【提示】

如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可求出CD、AD的長，再根據(jù)等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)可得BD的長，然后根據(jù)線段的和差即可得.

【詳解】

如圖，過點C作。于點D

?.?在對△ACO中，ZCAD=3Q°,AC=8千米

.-.CD=1AC=|X8=4（千米），AD=」AC2-CD2=荷-4?=4后（千米）

?.?在出口3。。中，ZDBC=45°

RtQBCD是等腰直角三角形

I3D=8=4千米

=A￡>+50=473+4?4xl.7+4=10.8?ll（千米）

答：A、8兩點間的距離約為11千米.

變式7-2.（2020?遼寧鞍山市?中考真題）圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，MN

為立柱的一部分，燈臂AC,支架BC與立柱MN分別交于/,8兩點，燈臂AC與支架交于點C,

已知/MAC=60。，ZACB=15°,AC=40cm,求支架BC的長.（結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù):

>/2?l,414.石。1.732，76?2.449）

【答案】49cm

【提示】

過點C作CD_LMN,垂足為D,分別解4ACD和ABCD,即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：過點C作CDLMN,垂足為D,

VZMAC=60°,ZACB=15°,

AZABC=60o-15°=45°,ZACD=30°,

.".△BCD是等腰直角三角形，

*.*AC=40cm,

A在RtAACD中，AD=-AC=20cm,

2

?*-CD=V402-202=2()6cm,

在RtABCD中，BC=y/2CD=2076?49cm,

支架BC的長為49cm.

N

圖2

考查題型八等邊三角形的性質(zhì)

典例8.（2020?福建中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形ABC中，。，笈口分別是4臺，BC,CA

的中點，則AD斯的面積是（）

234

【答案】D

【提示】根據(jù)題意可以判斷四個小三角形是全等三角形，即可判斷一個的面積是

4

【詳解】；瓦尸分別是AB,BC,CA的中點，且AABC是等邊三角形，

AADF^ADBE^AFEC^ADFE,

...△DEF的面積是

4

故選D.

變式8-1.（2020?山西中考真題）中國美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤造型也會讓美食錦上添花.圖①中的

擺盤，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測量得到

AC=BD=12cm,C，。兩點之間的距離為4c〃?，圓心角為60°,則圖中擺盤的面積是（）

圖①圖②

22

A.80/rcmB.40/rcmC.24兀dD.2^cm2

【答案】B

【提示】先證明△COD是等邊三角形，求解OC,。。，利用擺盤的面積等于兩個扇形面積的差可得答

案.

【詳解】解：如圖，連接CD，

OC=OD,ZCOD=6Q°,

.?□COD是等邊三角形，

???CO=4,

/.oc=OD=4,

?.?AC=5。=12,

.?.04=03=16,

所以則圖中擺盤的面積S扇疇。廠S扇形詡=嗤產(chǎn)-端￡=40萬加.

故選B.

變式8?2.（2019?甘肅天水市?中考真題）如圖，等邊口。43的邊長為2,則點3的坐標為（）

A.（1,1）B.（1,73）C.（73,1）D.（布,邪）

【答案】B

【提示】過點B作于”點，由勾股定理求出BH的長，即可求出點B的坐標.

【詳解】過點8作于"點，口045是等邊三角形，

OH=\,8/7=5/22/2=5

點8的坐標為（1,、8）.

故選B.

考查題型九等邊三角形的性質(zhì)與判定的綜合

典例9.(2020?內(nèi)蒙古中考真題)如圖，一個人騎自行車由/地到C地途經(jīng)8地當他由Z地出發(fā)時，發(fā)現(xiàn)

他的北偏東45。方向有一電視塔尸，他由力地向正北方向騎行了30km到達8地，發(fā)現(xiàn)電視塔尸在他北

偏東75。方向，然后他由8地向北偏東15。方向騎行了6km到達C地.

北

二》

A

(1)求力地與電視塔尸的距離；

(2)求C地與電視塔P的距離.

【答案】⑴AP=3+36;⑵6

【提示】

(1)由題意知：匚A=45。，□NBC=15°,NBP=75°,過點B作BELAP于點E,求出AE=BE=3；

(2)先利用三角函數(shù)求出BP=6,繼而根據(jù)方位角求得□CBP=60。，結(jié)合BC=6,即可證得BCP是等邊三

角形，從而求得答案.

【詳解】

(1)由題意知：A=45°,NBC=15°,NBP=75°,

過點B作BEAP于點E,如圖，

在RtCJABE中，匚ABE=90°-45°=45°,

AE=BE,

AB=3近，

AE=BE=3,

在Rt匚BEP中，EBP=1800-ABE-nNBP=60°,

PE=BEtan60°=36，

AP=AE+PE=3+3B

（2）BE=3,ZBEP=90°,EBP=60°,

BE/

BP=----------=6,

cos60°

XDCCBP=QNBP-DNBC=75°-15°=60°,BC=6,

匚匚BCP是等邊三角形，

□CP=BP=6.

變式9-1.（2020?內(nèi)蒙古鄂爾多斯市?中考真題）（1）（操作發(fā)現(xiàn)）

如圖1,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，口A6c的三個頂點均在格點上.

①請按要求畫圖：將口48。繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，點B的對應點為點8',點C的對應點為點

C.連接53';

②在①中所畫圖形中，ZAB'B=°.

（2）（問題解決）

如圖2,在R/DA6C中，BC=1,/C=90。，延長CA到D,使CD=1,將斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

90。到AE,連接DE,求NADE的度數(shù).

（3）（拓展延伸）

如圖3,在四邊形ABCD中，AE1BC,垂足為E,NBAE=/ADC,BE=CE=1,CD=3,AD=kAB（k

為常數(shù)），求BD的長（用含k的式子表示）.

圖1圖2圖3

【答案】(1)①見解析，②45；(2)135°；(3),4&2+9

【提示】

(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫出圖形即可.

②只要證明AABB，是等腰直角三角形即可.

(2)如圖2,過點E作EHLCD交CD的延長線于H.證明△ABC^^EAH(AAS)即可解決問題.

(3)如圖3中，由AELBC,BE=EC,推出AB=AC,將4ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AACG,連接

DG.則BD=CG,只要證明NGDC=90。，可得CG=后了二7"，由此即可解決問題.

【詳解】

解：(1)①如圖，aABC即為所求.

圖1

②由作圖可知，AABB，是等腰直角三角形,

,NAB'B=45°,

故答案為45.

(2)如圖2中，過點E作EHLCD交CD的延長線于H.

圖2

ZC=ZBAE=ZH=90°,

/.ZB+ZCAB=90°,ZCAB+ZEAH=90°,

.?.NB=/EAH,

,.?AB=AE,

AAABC^AEAH(AAS),

ABC=AH,EH=AC,

VBC=CD,

???CD=AH,

???DH=AC=EH,

???NEDH=45。，

.\ZADE=135O.

(3)如圖③中，VAE1BC,BE=EC,

???AB=AC,將AABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AACG,連接DG.則BD=CG,

G

圖③

\'ZBAD=ZCAG,

AZBAC=ZDAG,

VAB=AC,AD=AG,

JNABC=NACB=NADG=NAGD,

AAABC^AADG,

?.,AD=kAB,

；?DG=kBC=2k,

VZBAE+ZABC