二次函數(shù)幾何方面的應(yīng)用2021

一、選擇題

10.（2021?資陽）已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為（3,-4）、（0,-2）,線段4B上有一動點M（m,〃），過點M

作x軸的平行線交拋物線y=a（x-1）2+2于P（xi，力）、Q（短，”）兩點.若?WJQ,則a的取值范圍

為（）

A.-4W〃V—2B.2C.-2<〃<0D.-2<^zV0

c【解析】如圖，由題意，拋物線的開口向下，4Vo.

當(dāng)拋物線y=a（X-1）2+2經(jīng)過點A（3,-4）時，-4=4a+2,：.a=-|,

觀察圖象可知，當(dāng)拋物線與線段AB沒有交點或經(jīng)過點A時，滿足條件，.??-|sa<0.

10.（2021?廣東）設(shè)。為坐標(biāo)原點，點4,8為拋物線y=7上的兩個動點，且OALOB.連接點A,B,過。作

OCLAB于點C,則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）

1V2V3

A.—B.—C.—D.1

222

A解析：如圖，分別作AE,BF垂直于x軸于點E、F,設(shè)OE=a,OF=b,由拋物線解析式為y=f,則4E=/,

BF=序,作于”，交），軸于點G,連接AB交），軸于點。，設(shè)點。（3m）,,：DG〃BH,：.AADG?AABH,

DGAG?m-a2a,,一八一

二一=—,即一;~~7=——.化簡得：m=ab.；NA08=90°,AZAOE+ZBOF=90°,又N4OE+NE4O

BHAHb2-a2a+b

AEEOQ2Q

=90°,；.NBOF=NEAO,又NAEO=NBFO=90°,；.△AEO?△0F8.二一=一,即一=和，化簡得

OFBFbb2

ab=\.則,”="=1,說明直線AB過定點O,。點坐標(biāo)為（0,1）.???NOCO=90°,。。=1,...點C是在以。。

為直徑的圓上運動，當(dāng)點C到），軸距離等于此圓半徑1時，點C到y(tǒng)軸距離的最大，因此本題選A.

二、填空題

15.（2021?湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（3,4）,例是拋物線y=o?+bx+2（存0）對稱

軸上的一個動點.小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)T的值確定時，拋物線的對稱軸上能使△AOM為直角三角形的點M的

個數(shù)也隨之確定，若拋物線>=以2+云+2（#0）的對稱軸上存在3個不同的點M,使△AOM為直角三角形,

貝上的值是

a

2或-8【解析】VA40M是直角三角形，

.??一定存在兩個以4O為直角頂點的直角三角形，且點M在對稱軸上的直角三角形，

.??當(dāng)以O(shè)A為直徑的圓與拋物線的對稱軸》=-餐相切時，對稱軸上存在1個以M為直角頂點的直角三角形,

此時對稱軸上存在3個不同的點使aAOM為直角三角形（如圖所示）.

觀察圖象可知，一?=一1或4,.d=2或-8,故答案為：2或-8.

2aa

14.（2021.長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2,4）在拋物線>=/上，過點A作）,軸的垂線，交拋物

線于另一點3,點C、。在線段AB上，分別過點C、。作x軸的垂線交拋物線于E、F兩點.當(dāng)四邊形CDFE

為正方形時，線段C￡>的長為.

275-2

｛解析｝由點A(2,4)在拋物線丫=一上，易求。=1,則y=/,可設(shè)A("?,"),B(-m,n),n=m2,E(x,

y),F(-XJy),y—x^9EF—CD—DF—CE—2x,

C(x,y+2x),D(—x,y+2x)fCDEF為正方形建立等量關(guān)系即可求解.

20.（2021?包頭20題）已知拋物線y=/-2x-3與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左側(cè)）與y軸交于點C,

點。（4,y）在拋物線上，E是該拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)BE+OE的值最小時，^ACE的面積為.

21.（答案｝4

【解析】如圖，：點A、8關(guān)于對稱軸對稱，，E4=E8,...BE+￡>E=AE+O￡,...當(dāng)A、E、D在同一條直線上時，

AE+DE最小,即BE+OE最小.在y=7-2x-3中，當(dāng)x=0時，y=-3；當(dāng)x=4時，y=5；當(dāng)y=0時，，0=7-2r-3,

解得xi=-l,X2=3,：.C（0,-3）,D（4,5）,A（-1,0）,B（3,0）.設(shè)直線AO的函數(shù)關(guān)系式為（原0）,

fo：=-k+b,

把A(-1,0),D(4,5)代入得《解得〃=1,b=l,.?.直線AO的函數(shù)關(guān)系式為y=x+l.(-1,

\5=4k+h,

0),B(3,0),點E的橫坐標(biāo)為1.在y=x+l中，當(dāng)x=l時，y=2,(1,2),即當(dāng)E坐標(biāo)為(1,2)時，

BE+DE最小.設(shè)直線49與y軸交于點F.在y=x+l中，當(dāng)x=0時，y=l,：.F(0,1),：.CF=4.：.SACE=

11…+

Sm+ScFE^~x4xl+-x4xl=4,故填:4.

18.(2021?北部經(jīng)濟(jì)區(qū))如圖,已知點A(3,0),B(l,0),兩點C(—3,9),D(2,4)在拋物線y=/上，向左或

向右平移拋物線后，C,D的對應(yīng)點分別為C',D'.當(dāng)四邊形ABC'O的周長最小時.，拋物線的解析式為

｛答案｝y=(x—m25)2【解析】將拋物線向右平移m個單位，則C'(a—3,9),D(a+2,4),平移后的拋物線的解

析式為y=(x—?02.在四邊形ABCD中，AB和S的長度都是定值，要想四邊形ABC'。'的周長最短，只需

4)'+3C’最短即可，此時將點。關(guān)于x軸對稱得點M,則4M=AZ7,過點8作且用V=AM,當(dāng)且

僅當(dāng)點N、B、C'三點共線時，+最短.過點3作直線EFLx軸交直線CC'、分別于點E、F,則FN

C'EBE4-m925

=m-1,EC'=^~m,BE=9,BF=4,由ABFNsABEC',得——=—,即-----=一，解得，*=一，經(jīng)

NFBFm-\413

檢驗m=曾25是原方程的根，從而平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=(x-y215)2.故答案為y=(x—25

三、解答題

26.(2021.包頭26題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-7+4x經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸正半軸交于點4,

點"(m,n)是拋物線上一動點.

(1)如圖1,當(dāng)，〃>0,〃>0,且"=3〃?時，

①求點M的坐標(biāo)；

②若點B(弓，丫)在該拋物線上，連接OM,BM,C是線段上一動點(點C與點M,B不重合)，過點C

作C￡>〃MO,交x軸于點。，線段。。與是否相等？請說明理由；

7

(2)如圖2,該拋物線的對稱軸交x軸于點K,點E(x,§)在對稱軸上，當(dāng)機(jī)>2,n>0,且直線EM交x軸

18

的負(fù)半軸于點尸時，過點A作x軸的垂線，交直線EM于點N,G為y軸上一點，點G的坐標(biāo)為(0,y),連

接若EF+NF=2MF,求證:射線尸E平分/4FG.

解：(1)①??“=3m：.M(m,3m).

2

二?點M是拋物線y=-7+4x上一動點，3m=-m+4mf解得m=1或0.

V/n>0,??.加=1,：.M(1,3).

三E一口4,15」15,15151515

②MC=OO,理由是:在、=?y9+4元中，當(dāng)工=工時，y=-(—)2+4x—=—,：.B(—,77).

44416416

15153=k+b,3

設(shè)直線M3的函數(shù)關(guān)系式為)=京+〃(原0),把M(1,3),3(二，77)代入得<1515解得左=?：，力

416—=—x+b,4

1164

=?，,直線MB的函數(shù)關(guān)系式為5=--

315315

如圖，設(shè)直線M2交x軸于點P.在)，=-：x+丁中，當(dāng)y=0時，0--X+—,解得x=5,二。(5,0),二0尸=

4444

5.過點M作軸于點兒

VM(1,3),MH=3.:.HP=OP-OH=5八=4.

在RtM/ZP中，由勾股定理得J"”？+HP?=J32+，=5.：.MP=OP.

MCOD

'：CD//OM,,"：MP=OP,：.MC=OD.

MPOP

4

(2)證明:如圖，；y=-/+4x,.?.拋物線的對稱軸為直線X=-T1；=2.

2x(-1)

77

:點EG,§)在對稱軸上，(2,-).在y=-f+4x中，當(dāng)y=0時，0=-7+4x,解得x=0或4,...A(4,

0).軸，.?.點N的橫坐標(biāo)為4

2+4

■:EF+NF=2MF,：.MF-ME+MF+MN=2MF,：.ME=MN,即點M是EN的中點，，點M的橫坐標(biāo)為一三一=3.在

y=-f+4x中，當(dāng)x=3時，y=-32+4x3=3,.,.M(3,3).

73=34+b、,

設(shè)直線EM的函數(shù)關(guān)系式為)，=心工+加(木卻)，將y軸于點Q,把M(3,3)、E(2,3)代入得7解

3匕=2尤+4，

22

得k=§，"=匕，直線“加的函數(shù)關(guān)系式為

2233

在y=-x+\中，當(dāng)x=0時，y=1；當(dāng)y=0時，0=-x+1,解得x=--,二。(0,1),F(--,0).，。。=1,

3

OF=-.

2

/18181813

VG(0,y),：.OG=—fAQG=OG-OQ=y-1=y.

在RtOFG中，由勾股定理得FG=4OF-+OG-=J(|)?+(守=M過點。作QTAG于點T.

111391133““

VS=-FGQT=~QGOF,：.-x—xQT=-x-x-,解得QT=1,.?.QT=OQ.

rce匕乙乙<1j乙

又,：QTLFG,OQ_Lx軸，.,.點。在NOFG的平分線上，即FQ平分NOFG,

二射線fE平分/A尸G.

24.(2021?荊門)如圖，拋物線丫=62+以+<：交x軸于A(—1,0),8(3,0)兩點，交y軸于C(0-3),點。為線

段BC上的動點.

⑴求拋物線的解析式；

⑵求\QO\+\QA\的最小值：

(3)過點。作PQ〃AC交拋物線的第四象限部分于點P,連接叫，PB,記△以。與△PBQ的面積分別為多,S2,

設(shè)S=S+S2,求點P坐標(biāo)，使得S最大，并求此最大值.

解：(1)..?拋物線經(jīng)過A,B兩點，二設(shè)解析式為y=a(x+l)(x-3).將C(0,—3)代入求得“=1....解析式為y

=(x+l)(x—3),即了=?—

(2)如圖1,；O8=OC=3,...△O8C是等腰直角三角形.，點0(0,0)關(guān)于BC的對稱點。的坐標(biāo)為(3,-3).設(shè)

直線AO交BC于點Q',則當(dāng)點。與點Q重合時，\QO\+\QA\的值最小，最小值=\Q'O\+\Q'A\=\

Q'O'\+\Q'A\=\AO'\=J(3+l>+(-3尸=5.

--------X-----------------------?--------X-------------------->

(3)如圖2,過點P作尸軸于點E,交BC于點、D.

VB(3,0),C(0,一3),.?.直線8C的解析式為y=x-3.

設(shè)點P的橫坐標(biāo)為加，則PE=-(W2—2〃I—3),DE=-(m-3),

PD=PE~DE——(/n2—2w—3)+(w—3)=~m2+3ni.

-：PQ//AC,S尸SAPCQ.

S=SI+S2=SAPCQ+S2=SAPBC

=[PD.08=:(一〃戶+3附=一。(加一提)2+§.

ZLZZo

當(dāng)加時，s最大，最大值=%.

Zo

當(dāng)時，y=(1)2-2x|-3=-^.

...點P的坐標(biāo)為(=,一與)，S的最大值為年.

Z4o

23.(2021?龍東)如圖，拋物線？=0+公+3(厚0)與x軸交于點A(l,0)和點8(—3,0),與y軸交于點C,連

接BC,與拋物線的對稱軸交于點E,頂點為點D

(1)求拋物線的解析式；

⑵求ABOC的面積.

0=a+b+3,a=-1,

解：⑴把點A(l,0)和點8(—3,0)代入尸6+法+3,得＜“解得人、

0=9a-38+3.[b=-2.

所以拋物線的解析式y(tǒng)=-/—2Y+3.

(2)由題意得8(—3,0),C(0,3),：.OB=OC=3,

119

(3).?.△8OC的面積=-08?OC=-X3X3=-.

222

26.(2021?柳州26題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y=ax2+6x+c交x軸于A(-1,0),B(3,

3

0)兩點，與y軸交于點C(0,

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,點￡＞為第四象限拋物線上一點，連接?！辏?過點8作BE,OC,垂足為E,若BE=2OE,

求點D的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點M為第四象限拋物線上一動點，連接AM,交BC于點、N,連接記的面積為

q

Si，△4BN的面程為S2，求一L的最大值.

S,

解：(I)...拋物線y=4u2+6x+c交x軸于A(-1,0),H(3,0)兩點，

二山題意可令拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x+l)(x-3).

331

又：拋物線與y軸交于點C(0,.'.-y=0(0+1)(0-3).:^=~-

113

，所求拋物線的函數(shù)解析式為y=5(x+l)(x—3),即y=萬/—x——.

(2)如答圖1,過點E作M_LO8于點片令BE=2OE=2m,由勾股定理，得加?十(2⑼2=32,

3-*6亞

解得山=之叵，于是OE=2叵，BE=還,由三角形的面積橋法可得EF=W----^—=~,

55535

從而0尸=,(苧)2—g)2=],從而E(|,-1).易求直線0E的解析式y(tǒng)=一

y=_2x(x=\{x=-3

由《123，解得《?一否，12一(不合題意，舍去)，-2).

XX

[y^2~~2[X=-2[y2=6

(3)如答圖2,過點4作4FJ_0B交直線BC于點凡過點M作MOJ_08于點3交直線8c于點E.

33113

設(shè)直線8c的解析式為——,則3人一——0,k=—?從而BC：y——x——,

當(dāng)x=-l時，y=-2,于是F(—1,-2),故AF=2.

設(shè)M(，"，—m2~m---),則E(?z,--m—~).

2222

；.EM=-m————)=——————)2H—.

222222228

139

——<0,二當(dāng)zn=一時，EMM>；(?=—.

228

9

MNEMS3口…MNEM?9

'：FA//ME,：./A\EMNs叢AFAN,：.——=---,二一1■的最大值=——=——=*=一

ANAFS?ANAF216

23.（2021?山西23題）綜合與探究

如圖，拋物線y=；/+2x-6與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左側(cè)），與），軸交于點C,連接AC,BC.

（1）求A、B,C三點的坐標(biāo)并直接寫出直線AC,BC的函數(shù)表達(dá)式.

（2）點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，過點P作8c的平行線/,交線段AC于點。.

①試探究：在直線/上是否存在點￡使得以點。C,B,E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E的

坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

②設(shè)拋物線的對稱軸與直線/交于點M,與直線AC交于點N.當(dāng)5ADMN=SAAOC時，請直接寫出DM的長.

解：(1)當(dāng)y=。時，!.?+2%-6=0,解得xi=-6,X2=2,

.??A(-6,0),B(2,0),當(dāng)x=0時，y=-6,

AC(0,-6),

YA(-6,0),C(0,-6),.?.直線4c的函數(shù)表達(dá)式為y=-x-6,

,:B(2,0),C(0,-6),.?.直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=3x-6；

(2)①存在：設(shè)點。的坐標(biāo)為(in,--6),其中-6＜膽＜0,

?：B(2.0),C(0,-6),

BD2=("7-2)~+(m+6)2,BC2=22+62=40,DC2=nr+(-/??-6+6)2=2m1,

'：DE//BC,...當(dāng)DE=8C時，以點。，C,B,E為頂點的四邊形為平行四邊形，

分兩種情況：

如圖，當(dāng)8c時，四邊形8DEC為菱形,

：.BD2=BC2,(m-2)2+("7+6)2=40,

解得：mi=-4,加2=0(舍去)，

.??點。的坐標(biāo)為(-4,-2)....點E的坐標(biāo)為(-6,-8)；

如圖，當(dāng)CD=CB時，四邊形C8E。為菱形,

：.CD2=CB2,.-.2W2=40,解得：加1=-2遙，布2=2遍（舍去），

二點。的坐標(biāo)為(-2的，2V5-6),

二點E的坐標(biāo)為(2-2V5,2V5)；

綜上，存在點E,使得以點。，C,B,E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標(biāo)為(-6,-8)或(2-2V5,

2V5)；

②設(shè)點。的坐標(biāo)為(，"，-w-6),其中-6<〃?<0,

VA(-6,0),B(2,0),...拋物線的對稱軸為直線x=-2,

?直線8c的函數(shù)表達(dá)式為j=3x-6,直線/〃8C,

設(shè)直線BC的解析式為y=3k+b,

：點。的坐標(biāo)｛m,-m-6),'.b=-4m-6,

：.M(-2,-4m-12),

?拋物線的對稱軸與與直線AC交于點N.(-2,-4),

MN=-4m-12+4=-4/7?-8,

S&DMN=SAAOC、-8)(-2-/n)=x6x6,

2乙

整理得：/+4,”5=0,解得：加=-5,加2=1(舍去),

..?點。的坐標(biāo)為(-5,-1),...點M的坐標(biāo)為(-2,8),

：.DM=J(-2+5產(chǎn)+(8+1尸=3710,

答：DM的長為3g.

25.(2021?廣東)已知二次函數(shù)丫:一+歷什。的圖象過點(-1,0),且對任意實數(shù)x,都有4x-

2x-8x+6.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)若(1)中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為A,與y軸交點為C；點M是(1)中二次函數(shù)圖象上的

動點.問在x軸上是否存在點N,使得以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求出所有滿

足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：(1)不妨令4x-12=2岸-8x+6,解得：X\=X2=3,

當(dāng)尤=3時，4x-12=2?-8x+6=0.

.,.y=ajr+bx+c(3>0),

Xy=ax1+hx+cJS(-1,0).

?,?仁”：=°n.解得『=一翁

19Q+3b+c=0lc=-3a

，了二以2-lax-3〃，

又?「ar2-lax-3〃24/-12,

Aar2-lax-3a-4r+1220,

整理得a?-2ax-4x+12-3〃N0,，心。且△<（）,

???（267+4）2-4a（12-3。）<0，/.（〃一I）2<0,

.??a=l,b=-2,c=-3.

???該二次函數(shù)解析式為y=？-2x-3.

（2）令y=/-2x-3中y=0,得x=3,則A點坐標(biāo)為（3,0）；

令x=0,得y=-3,則點C坐標(biāo)為（0,-3）.

設(shè)點M坐標(biāo)為（〃?，m2-2m-3）,N（/?,0）,

根據(jù)平行四邊對角線性質(zhì)以及中點坐標(biāo)公式可得：

①當(dāng)AC為對角線時,

即已+?=巾2+\=n，解得：如=0（舍去），皿=2,

10-3=加一2m—3+0

An=l,即M（1,0）.

②當(dāng)AM為對角線時,莊::，

1%十y”一y。十y/v

即｛注62=1+nQ二八，解得：㈣=。（舍去），小=2,

10+-2m-3=-3+0

An=5,B|JN2（5,0）.

③當(dāng)AN為對角線時，｛”？：：《北

即m：一2o-s,解得：，“1=1+。W2=I—/7.

；.“=77-2或-2-V7,

:.N3（V7-2,0）,N4（-2-V7,0）.

綜上所述，N點坐標(biāo)為（1,0）或（5,0）或（位一2,0）或（-2-近，0）.

28.（2021?宿遷）如圖，拋物線）=—1r2+fev+c與x軸交于A（-1,0）,B（4,0）,與y軸交于點C.連接AC,

BC,點P在拋物線上運動.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖①，若點尸在第四象限，點。在用的延長線上，當(dāng)NCAQ=/CBA+45°時，求點尸的坐標(biāo)；

（3）如圖②，若點P在第一象限，直線AP交8c于點F,過點P作x軸的垂線交BC于點”，當(dāng)APFH為

等腰三角形時，求線段PH的長.

【解答】解：⑴:4(-1,0),8(4,0)是拋物線y=-#+bx+c,與x軸的兩個交點，且二次項系數(shù)

11Q

根據(jù)拋物線的兩點式知，y=-2(%+1)(%—4)=—+之無+2.

(2)根據(jù)拋物線表達(dá)式可求C(0,2),即OC=2.

OCOB

??_?___—___―_4o，

OAOC

VZAOC=ZCOB=90Q,

???△AOC?/XCOB,

J/ACO=NCBO,

：.ZQAB=ZQAC+ZCAO=ZCBA+45°+ZCAO=ZACO+ZCAO+450=135°,

：.ZBAP=\S00-ZQAB=45°,

設(shè)尸(m,〃)，且過點尸作尸OLr軸于。，則△%￡＞「是等腰直角三角形，

：.AD=PDf即m+1=-〃，

又TP在拋物線上，

]

/.n=—(——3m—4),

聯(lián)立兩式，解得m=6(-1舍去)，此時n=-7,

.,?點尸的坐標(biāo)是(6,-7).

1Q

(3)設(shè)PH與x軸的交點為Q,P(a,+|a+2),

11

則H(a,-加+2),PH=-^a2+2a,

若FP=FH,則NFPH=NFHP=NBHQ=NBCO,

1

tanZAPQ=tanZBCO=分

：.AQ=2PQ,

ia

即〃+l=2(—2Q2+]Q+2),

解得。=3（~1舍去）,此時PH=方.

若PF=PH,過點尸作軸于點M.

工NPFH=/PHF,

?：NCFA=NPFH,/QHB=/PHF,

:?/C磁=NQHB,

又???N4CF=N3QH=90。,

Z\AC/?△8。"

：.CF=^AC=^,

1

在RtZ\CMF中，M產(chǎn)=1,CM=p

3

F（1,-）,

2

33

/.AF：y=4%+［，

聯(lián)立拋物線解析式，解得后稅（-1舍去），此時祟

若HF=HP,過點C作C￡〃A8交AP于點E

VZCAF+ZCM=90°,

NB4Q+N”尸產(chǎn)=90°,

ZCFA=/HFP=/HPF,

：.ZCAF=ZPAQ9

即AP平分NCA8,

：.CE=CA=V5,

：.E（V5,2）,

..底―I,店―I

??ArE：y=—2—x4----g—，

聯(lián)立拋物線解析式，解得x=5-b（-I舍去）.

此時PH=3V5-5.

:.當(dāng)FP=FH時,PH=*；

1C

當(dāng)PF=PH時,PH=恃;

當(dāng)HF=4P時，PH=3V5-5.

24.（2021?懷化）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,且OA=2,OB=4,OC=8,拋

物線的對稱軸與直線BC交于點與x軸交于點N.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點

P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由;

（3）。為CO的中點，一個動點G從。點出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點E,再走到拋物線對稱軸上的點F,最后

返回到點C要使動點G走過的路程最短，請找出點E、尸的位置，寫出坐標(biāo)，并求出最短路程.

（4）點。是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上,是否存在以點Q為直角頂點的等腰RtACQR?

若存在，求出點。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

解：（1）由題意得，點A,B,C的坐標(biāo)分別為（-2,0）、（4,0)、(0,8),

(4a—2b+c=0(a=-1

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y^ax2+bx+c,則16a+4b+c=0，解得b=2

r=8(c=8

故拋物線的表達(dá)式為y=-/+2V+8.

（2）存在，理由：

則以P、C、M為頂點的三角形與相似時，則P'C〃x軸，則點P'的坐標(biāo)為（1,8）；

當(dāng)/PCM為直角時,

o21

在RtZ\08C中，設(shè)NCBO=a,貝ijtan/C80=潴=]=2=tana,則sina=忑，cosa=專,

在Rt/\NMB中，NB=4-1=3,則BM=磔?=375,

同理可得，MN=6,

由點B,C的坐標(biāo)得，BC=V82+42=4V5,則CM=BC=MB=V5,

在RtZ\PCM中，NCPM=Z.OBC=a,則PM="=卓=?,

店

c1717

則PN=MN+PM=6+2=￥，故點P的坐標(biāo)為(1,—),

222

17

故點P的坐標(biāo)為(1,8)或(1,一).

2

(3)為CO的中點，則點0(0,4),

作點C關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點C'(2,8),作點。關(guān)于x軸的對稱點。(0,-4),

連接C'D1交x軸于點E,交函數(shù)的對稱軸于點尸，則點E、尸為所求點，

理由：G走過的路程=￡)E+EF+FC=。'E+EF+FC=CD'為最短,

由點C'、D'的坐標(biāo)得，直線C'D'的表達(dá)式為y=6x-4,

9

對于y=6x-4,當(dāng)y=6x-4=0時，解得x=g,當(dāng)x=l時，y=2,

2

故點E、尸的坐標(biāo)分別為.，0)、(1,2)；

G走過的最短路程為C'D'=J(2—0)2+(8+4(=2懵;

(4)存在，理由：

①當(dāng)點。在)，軸的右側(cè)時，

設(shè)點。的坐標(biāo)為(x,-/+2x+8),

故點。作y軸的平行線交x軸于點N,交過點C與x軸的平行線于點M,

y

1

圖3

:NMQC+NRQN=90°,NRQN+NQRN=90°,:./MQC=NQRE,

VZANQ=ZQMC=90°,QR=QC,

：.AANQ^/\QMC（AAS）,

：.QN=CM,即x=-/+2x+8,解得）=唱至（不合題意的值已舍去），

故點Q的坐標(biāo)為（11歲，11歲）；

②當(dāng)點。在y軸的左側(cè)時，

3—，41V41—3

同理可得，點。的坐標(biāo)為（一^一，-y—）,

-,3-V41V41-331+V33

綜上，點。的坐標(biāo)為（一^―，上了一）或（一一，—1+yV3—3）.

28.（2021?常州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y=匕6:#0）和二次函數(shù)y=+兒；+3的

圖象都經(jīng)過點A（4,3）和點B,過點A作OA的垂線交x軸于點C.D是線段AB上一點（點D與點A、0、B

不重合），E是射線AC上一點，且AE=OD,連接DE,過點D作x軸的垂線交拋物線于點E以DE、DF邊鄰

邊作口DEGF.

（1）填空：k=___,h=____；

（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)是f（r>0）,連接EF,若NFGE=NDFE,求f的值:

（3）過點F作AB的垂線交線段DE于點P,若S^FP=1S平行四邊形DEGF，

求OD的長.

ATT

7?

圖1

3

｛答案｝解：（1）k=~,b=l；

（2）如圖，由題可得/FGE=/DFE=/FDE,則DE=EF；設(shè)直線DF、GE分別交x軸于點M、N,作EHJ_DF

31,1,3

于點H,則FH=DH,即DF=2DH；由題得D(f,-t)F(t>---廠+f+3),則DF=--1~+/+3--t—

4444

--t12+-t+3；又易得0A=5,AC=-OA=—,AE=OD=-Z,則CE=AC-AE=—--1,EN=-C￡=3-t,

44444445

c3c7v121c工7)A”,啟15+V177

DH=MH-DM=EN-DM=3—t一一t=3一一t,故一一t2+-Z+3=23一一tJ，解得/,=---

4444I4

身二叵，因為。＜「＜4,所以"身二?;

22

12DP2

（3）①情形一：當(dāng)點D在線段0A上時，如圖3,由題可得、9松=-S平行四邊形=-SMFE，則----=一；又易得

33DE3

,DPDK2

PK//AE,故——=----

DEDA3

3DF

3552DF25

如圖4,作ATJ_DF于點T,易得DK=—DF,DA=—AT,則(W——=-即--=——

545AT3AT18

4

圖3圖4

1,11,1,

由(2)可知DF=一一r+-t+3,AT=4-1,故18(一一廠+-t+3)=25(4-/),即9廣一597+92=0,即

4444

23,5115

（，一4）（9f—23）=0,解得4=4（舍去），t2—,故此時OD=—t=--

9436

p235DF25

②當(dāng)點D在線段OB上時，如圖，同上作相關(guān)輔助線，同理可得=----=—，DK——DF>DA=-AT,則——

DEDA354AT18

1J1>123

又DF=--廣H—，+3,AT=4-1，故18（---廠H—Z+3）=25（4-，），同」二解得Z.=4（舍去），=—（舍去）,

4444,29

故此種情形不存在。

27.（2021.無錫）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線y=-x+3與x軸交于點B,與y軸交于點C,二次

函數(shù)yu4V+Zx+c的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A,點M為線段08上的一個動點，過點M作

直線I平行于y軸交BC于點F,交二次函數(shù)y=o?+2r+c的圖象于點E.

（I）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)以C、E、尸為頂點的三角形與△ABC相似時，求線段EF的長度；

（3）已知點N是y軸上的點，若點N、/關(guān)于直線EC對稱，求點N的坐標(biāo).

（圖1）

(1)???直線y=-x+3,：.B(3,0),C(0,3),

19。+6+c=0

代入拋物線y=4/+2x+a得1—3，

[a——\

解得z,

[c=3

???二次函數(shù)的表達(dá)式為尸?/+2x+3；

(2)令產(chǎn)0,則-/+21+3=0,解得加=JX2=3,

???A(-1,0),：.AB=4,BC=3近；

VOB=OC,：.ZOBC=45°t

*：FMA_OB,：.ZCFE=ZMFB=45°t

：.ZCFE=ZABC；

設(shè)E(m,-m2+2w4-3),

2

F(TH,-〃?+3),/.