高數(shù)期末專業(yè)考試題

林居高等熬考期終考題匯編

2009-01-12

解答下列各題(6*10分)：

1.求極限limxln(l+er).

x7(r

2,設(shè)y=xjx?+.2+〃2In(x+Jx2+4?),求dy,

3.設(shè)卜=2-2求去

[y=3-3

4.判定級(jí)數(shù)去如4坐/>0）的斂散性.

n=l

5.求反常積分J；

6.求Jxarctanxdr.

8.將“工）=2在［-肛%］上展為以2%為周期的付里葉級(jí)數(shù)，并指出收斂于/Q）的區(qū)

I畤斗區(qū)乃

間.

9.求微分方程ydx+（x2-4_r）dy=0的解.

10.求曲線孫=1與直線x=l,x=2,y=0所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

二.（8分）將f（x）=ln（4x-5）展開為x-2的基級(jí)數(shù)，并指出其收斂域.

三.（9分）在曲線y=sinY（0&x41）上取點(diǎn)A（a,sin/）（o?°?i）,過點(diǎn)A作平行于ox軸的直線L,

由直線L,oy軸及曲線丫=疝/（04X4〃）所圍成的圖形記為跖，由直線L,直線x=l及曲線

V=sind（041）所圍成的圖形面積記為％，問a為何值時(shí)，S=S{+S2取得最小值.

四.（9分）冷卻定律指出，物體在空氣中冷卻的速度與物體和空氣溫度之差成正比，已知空氣溫度

為30℃時(shí),物體由100℃經(jīng)15分鐘冷卻至70℃,問該物體冷卻至40℃需要多少時(shí)間？

五.（8分）（學(xué)習(xí)《工科數(shù)學(xué)分析》的做（1）,其余的做（2））

（1）證明級(jí)數(shù)在口―）上一致收斂.

〃=0

（2）求》級(jí)數(shù)三（T）：￡"-1）X2"-2的收斂域及和函數(shù).

?7=12

2008.1.15

解答下列各題（6*10分）:

e'(x-2)+x+2

1.計(jì)算極限lim

x^Osin3x

兀

2.設(shè)y=-xlog2x+arctan?,求dy.

x=lncosz,(萬(wàn)、d2y

3.設(shè)《b=sin/-/coj0<r<l)^

2

dr冗

t=—

3

opa”

4.判定級(jí)數(shù)￡1的斂散性.

念〃2"

5.計(jì)算反常積分J：竽氏.

2xsinx,

6.計(jì)算不定積分J-------ax.

cosx

7.計(jì)算定積分工（dx

J+/)2

I：?：；在Ml上展成以4為周期的正弦級(jí)數(shù).

8.求函數(shù)/(x)=<

9.求微分方程（1+y）dx+（x+V+V母，=o的通解.

10.求由曲線y=/+7及y=3/+5所圍成的圖形繞。x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

—.（9分）證明：當(dāng)x?。時(shí),有

（1+x）?[21n（l+x）-1]+1>4xarctanx-21n（l+x2）.

三.（9分）設(shè)拋物線y=a/+8乂。<0）通過點(diǎn)MQ,3）,為了使此拋物線與直線y=2x所圍成

的平面圖形的面積最小,試確定。和人的值.

四.（8分）設(shè)一車間空間容積為10000立方米,空氣中含有0.12%的二氧化碳（以容積計(jì)算），現(xiàn)將

含二氧化碳0.04%的新鮮空氣以1000立方米每分鐘的流量輸入該車間，同時(shí)按1000立方米的流

量抽出混合氣體，問輸入新鮮空氣10分鐘后，車間內(nèi)二氧化碳的濃度降到多少？

五.（8分）求募級(jí)數(shù)￡——x"的收斂域及其和函數(shù).

w2"〃！

六.（6分）設(shè)函數(shù)/（x）在x=0的鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且lim幽=。（a>0）,

?1°X

4（_1廣0條件收斂.

證明:

2007年1月

一.計(jì)算下列各題(6*10分)：

1.計(jì)算極限lim，+ln(/)1

x-arctanx

2.設(shè)y=arcsinjl-，，求dy.

x=[e~udu.dv

3.設(shè)｛Jo求.

eysinZ-y+1=0.口-v=0

4,判定級(jí)數(shù)8工一17^的斂散性.

占4+3"

5.計(jì)算反常積分廠/黑廣.

(l+x)Vx

6設(shè)ln(x+d7刁為/(x)的原函數(shù)，求J礦⑹氏.

八冗

1,0<x<-;

2

7.將/（x）={展開成以2乃為周期的傅立葉正弦級(jí)數(shù)，并求此級(jí)數(shù)分別

0,—<X<7T,

2

35

在x=-%和X=-71兩點(diǎn)的收斂值.

22

8.將函數(shù)/（x）=lnx展開為％-2的基級(jí)數(shù)，并指出其收斂域.

9求微分方程（x+l）y'—2y=（x+1》的通解.

10.求拋物線x=5y2與x=i+y2所圍圖形的面積

二.（9分）若函數(shù)/（x）=十一，XH°；在x=。點(diǎn)可導(dǎo).求a和/'（0）.

a,x=0.

三.（9分）在曲線y=eT（xZ0）上求一點(diǎn)00，/“"），使得過該點(diǎn)的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍

平面圖形的面積最大，并求出此最大面積.

四（8分）半徑為R的半球形水池充滿水，將水從池中抽出，當(dāng)抽出的水所作的功為將水全部

抽出所作的功的一半時(shí)，試問此時(shí)水面下降的深度H為多少？

五.（8分）求哥級(jí)數(shù)￡〃（〃+1*的和函數(shù)并求出級(jí)數(shù)￡〃（〃+1）］的和.

〃=i〃=12

六.（6分）已知函數(shù)/（x）在［0,”）上可導(dǎo)，且/（0）=1并滿足等式

r(x)+/(x)--^￡/(f>=0,求r(x)并證明(GO)

2006年1月

一.計(jì)算下列各題(6*10分)：

「tanx-sinx

1.lim---；------

-0/

2.i^y=arctan^—tanj,求dy.

3.設(shè)用求。(”一如

4.判定級(jí)數(shù)的斂散性.

5.設(shè)y=y(x)由方程y=tan(x+y)所確定，求y'.

6.計(jì)算不定積分j害!

dr.

7.將/（%）=2+國(guó)，xw[—乃，萬(wàn)]展成以2萬(wàn)為周期的傅立葉級(jí)數(shù).

8.將函數(shù)/（X）=F~!——展成（x+4）的幕級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間.

x+3x+2

9.求微分方程盯'-3y=//的通解.

10.設(shè)曲線y=a/（。>0,》20）與〉=1——交于點(diǎn)人，過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A的直

線與曲線y=a/圍成一個(gè)平面圖形問：當(dāng)。為何值時(shí)，該圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)

生的旋轉(zhuǎn)體體積最大？

二.（8分）證明不等式：當(dāng)x>0時(shí)，xa-ax<\-a,（0<<z<l）.

三.（9分）.設(shè)/（x）=J：e''dt,求￡4（x）dx.

四.（9分）.一物體在某一介質(zhì)中按％=。3作直線運(yùn)動(dòng)，已知介質(zhì)的阻力與物體速度的

平方成正比，計(jì)算物體由x=0移動(dòng)到x=。時(shí)克服阻力所作的功.

五.（9分）求級(jí)數(shù)1的和.

六.（5分）.設(shè)/"（x）>0,xe[a,h],證明：

2005年1月15日

一.解答下列各題(6X10分)

田皿“口xsinx-x(x4-l)

1.計(jì)算極限hme---------——』

Xx-sinx

2.設(shè))，=]Jx，+1+gln(x+Jx'+1),求dy.

*2

3.設(shè)/(x)="'在x°處可導(dǎo)，求常數(shù)。和從

ax-vb,x>x0

4.判定級(jí)數(shù)夕GO」的斂散性.若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？

n=\D

5.設(shè)y=>(尤)由方程y=1—ln(x+y)+/所確定，求/.

6.設(shè)/(x)連續(xù),且滿足「一,/(力，=》.求/(26)=?.

7.求/(x)=2d—3/-12x+l的極值.

8.計(jì)算不定積分f/丁.

xV4-ln2x

9.計(jì)算定積分工arctanJiir.

10.求由曲線y=/+i,直線y=o,x=o,尤=1所圍成的平面圖形繞>軸旋轉(zhuǎn)一周所

產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積.

二.(8分).試證明不等式xe[0,彳)時(shí)，tanx>x+.

三.(9分)將函數(shù)/(x)=^——展成X—3的基級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間.

2x+x-3

四.(9分)已知/(x)在x=12的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且Im/(x)=0,叫J'(x)=3等.

dt

求極限lim-L(-------——.

3

…2(12-%)

五.(8分)求基級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).

”=0〃！

六.(6分)設(shè)/(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且0</(他1,/(0=0).

—?—?2

證明ffCWx”/(如

2004年1月

一、解下列各題

1、丫，（其中a>0]〉0）

.9o[2,

2、設(shè)y=x2e~x+（sin%產(chǎn),求y*

3、求不定積分JxarctanMr

4、求不定積分J——dx

+1）

5、求定積分J：e&dx

6、求由曲線y=|lnx|,x=(,x=e及x軸圍成的圖形的面積。

7、判定級(jí)數(shù)￡坐的斂散性

n=\〃4

8、將/(x)=「e-『力展開為x的幕級(jí)數(shù)，并求收斂域。

9、求幕級(jí)數(shù)之一的收斂域及和函數(shù)。

占〃2"

10、曲線y=(x>0)上哪一點(diǎn)的法線在y軸上的截距最小

二、證明：當(dāng)0<x<g時(shí)，sinx>—

271

三、設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為。=4/+的+C,需求函數(shù)為q=：(d—P),其中C為成本，q為

需求量(也是產(chǎn)量)，p為單價(jià)，a,b,c,d,e都是正常數(shù)，且〃>人。求(1)

利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn)；(2)需求價(jià)格彈性；(3)需求價(jià)格彈性的絕對(duì)值小于1時(shí)的產(chǎn)量。

四、曲線y邑x軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，若把它在x=0與之間部分的體積記為V(J),

\+x-

試求limV(^)

五、設(shè)/(X)為與上連續(xù)，且/(%)>0,求證：在3。)內(nèi)存在一點(diǎn)4,在

J：/(xVx=*J：//辦

2003年1月

一、解下列各題

1、lim仕

ex-\)

2、設(shè)了=以犬)由方程y=cos(盯)+x確定，求y'

Jl-asin2x-b

3、設(shè)y="x2在x=0點(diǎn)連續(xù)，試確定名。的值

2x=0

4、判定級(jí)數(shù)的斂散性

n=\〃

x=/+2+si

5、設(shè)曲線方程為1求此曲線在x=2點(diǎn)處的切線方程

y=t+cost

6、設(shè)/(x)在點(diǎn)/處有/00)=/'(%)=0,而0(x)在飛點(diǎn)及其鄰域有定義且有界，試證明函

數(shù)尸(x)=/(x)e(x)在點(diǎn)與處可導(dǎo)，并求k(x0)

710<X<y

7、將〃幻=2展開成周期為2〃的付立葉正弦級(jí)數(shù)

7T

0—<X<TC

8、計(jì)算不定積分J

1

9、計(jì)算定積分J。e^dx

10、求由丁=也%,丁=0和》=2所圍成的平面圖形繞》軸旋轉(zhuǎn)所成的立體的體積

二、證明：當(dāng)0cx<3■時(shí)，sinx+tanx>2x

三、A,B兩廠在直河岸的同側(cè)，A沿河岸，B離岸4公里，A與B相距5公里，今在河岸邊建

一水廠C,從水廠C到B廠每公里水管材料費(fèi)是A廠的石倍，水廠C設(shè)在離A廠多遠(yuǎn)處才使

兩廠所耗總的水管材料費(fèi)最省？

四、試求基級(jí)數(shù)之二x"的收斂域及和函數(shù)

〃=0乙

五、設(shè)/(X)為［a,+00)上單減連續(xù)函數(shù)，有E(x)=」一「f(t)dt,證明當(dāng)x>a時(shí)，尸(x)為

x—a^i,

單調(diào)減函數(shù)

六、設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且上于⑴dt=O,證明：存在一點(diǎn)JG(0,1),

使得2/?+"(9=。

七、已知可導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足/(x)cosx+2j：f(t)sintdt=x+\,求/(x)

2002年1月

一、試解下列各題(每小題5分，共25分)

1.求極限lim6(麻亞一而萬(wàn))。

n—>oo''

1

-rXH0

2.設(shè)f(x)=<1+G,研究/(x)在點(diǎn)x=0處的左連續(xù)性與右連續(xù)性。

ox=0

sin—

3.設(shè)y=eOUL'+arctan(Inx),求y.'04.求函數(shù)y=1I一C3廠一9x+14的單調(diào)區(qū)間。

5.計(jì)算定積分J：/亞三山;。

］

二、解下列各題(每小題5分，共25分)。1.求極限lim(sinx)M.

xfO'

2.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=l+xev所確定，求2

drx=0

2

1?113'sinrdt

3.求積分岐》。。：尤心:0

4.求極限lim

J1+COSX

J0

5.試判定級(jí)數(shù)￡(-1)"T4的斂散性,

若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂?

M=12

三、(7分)求積分「arccosxfdr。

兀HIx|<^

2

四、(7分)將函數(shù)/(x)=?,展開成以2不為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，其中”為

71,?

0—<\X\<7T

常數(shù)。

1

五、(7分)將函數(shù)/(X)展開成x-l的基級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。

x~~x—6

17r

六、(7分)試證明不等式sinx>x——%3,其中0<x<—。

62

七、(8分)一容器由拋物線y=/繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，其容積為72Tzm3,其中盛滿水，水的比重

為1,現(xiàn)將水從容器中抽出64%m3,問需作多少功？

八、(8分)設(shè)水以勻速注入右圖所示的罐中，直至將將水罐注滿。

1)畫出水位高度隨時(shí)間變化的函數(shù)y=y(f)的圖形(不要求精確圖形,但應(yīng)畫出曲線凹凸性

并表示出拐點(diǎn))

2)y=y(f)何處增長(zhǎng)的最快，何處最慢？并估計(jì)這兩個(gè)增長(zhǎng)率的比值。

九、(6分)設(shè)函數(shù)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，并且滿足了⑴—

試證存在一點(diǎn)Je(0,1),使廣信)=一/也。

2000年1月

一、求解下列各題：(每小題6分，共60分)

1.設(shè)丁=/(/+1)31+2)2,求y，。2.求極限lim(」一—!］。

-1X)

3.將/(x)=F'U區(qū)?展開成以4為周期的傅里葉級(jí)數(shù)。

［0,|<|x|<2

4.試求過點(diǎn)M0(-l,l)且與曲線2"-2cosy-1=0上點(diǎn)((),?］的切線相垂直的直線方

程。

5.設(shè)/(t)=lim/土±4,求/'⑺。6.將“x)=-1—展開為x—1的基級(jí)數(shù)。

X—\x-tJx［x+1)

7.設(shè)。是由曲線y=l+sinx與三條直線x=0,X=K,y=0所圍成的曲線梯形，求。

繞。x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體積。

8.求極限lim［士~?9.求不定積分［竿巴正dx。

2。1-COSXJ-Jx(l+x)

2KO__

10.判別級(jí)數(shù)tan?的斂散性.

〃=i2

二、(8分)求不定積分J(xlnx)2dX。三、(8分)求定積分Jj'xJZox-f心。(4>())

g(x)-e~x

四、(8分)設(shè)/(x)={—x=0其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。且g(0)=l,

0.x=0

g'(0)=—1。1)求廣(x)；2)討論廣(x)在(-oo,+oo)上的連續(xù)性。

五、(8分)試確定。的值，使曲線y=a(l-》2)與該曲線在(_1,0)及(1Q)兩點(diǎn)處的法線所圍

成圖形面積最小。(其中(a>0))。

六、(8分)設(shè)4=J()x|sinx|dx,(n=1,2,-??)

求極限+冬+…+工

T2222"J

98年1月

一、填空題

2

TT

lim(l+3x)sinr=2.y=x—2sinx在［0,1］上的最小值為

XTO

x=于⑺-兀3

3.設(shè)《f'(Q)*0,則

-1)心,二。

設(shè)/(x)=(產(chǎn)+2/+3)山，則呵仆)一仆-")=

4.

5.設(shè)￡a“x"在x=T條件收斂，則的斂區(qū)為

ft=On=0

二、選擇題

1.當(dāng)x-0時(shí)，變量與sin-^是()

廠x~

A)無(wú)窮小B)無(wú)窮大C)有界但不是無(wú)窮小D)無(wú)界但不是無(wú)窮大

2.x=0是/3)=二-；-+吧土的()間斷點(diǎn)

,「Ix|

1+e'

A)跳躍B)可去C)無(wú)窮D)振蕩

3.若/(x)是導(dǎo)函數(shù)是sinx,貝D/(x)有一個(gè)原函數(shù)為()

A)1+sinxB)1—sinxC)1+cosxD)1-cosx

(-—1)2

4.設(shè)/(x)=|無(wú)一i|貝U在x=l處/(x)()

0x=1

A)不連續(xù)B)連續(xù)但不可導(dǎo)C)可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)

10<x<-

5.設(shè)s(x)是/(%)=-2的以2%為周期的傅里葉正弦級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則

7C

x+1—<X<7T

2

S(—工7T)等于()

2

A)1+—B)1C)-(1+—)D)-l

44

三、設(shè)y=y(x)由y-xe，=1所確定，求，?。

dr-八

四、計(jì)算Jl-sinxdr。五、計(jì)算/dx。

JVx+1

dr七、證明：當(dāng)x>i時(shí)，螞里2>上

六、計(jì)算工

(x—1)J/―2.Inxx+1

81

八、討論￡±眩(。>°)的斂散性。九、求￡丁4一。

n=\〃

十、求由d+y242x與yNx所圍圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

十一、設(shè)/(x)在切上具有二階導(dǎo)數(shù),且/(a)=/S)=O,f'(d)f'(b)>0,證明:存在

4e3/和”(a,勿使f/)=0及/"(〃)=0。

99年1月

一、填空題

1.limexarctanx=2.設(shè)y=xln(x+Jl+a'),則y'=

XT-OO

3.設(shè)y=y(x)由xsiny+yex=0確定，則y'(0)=

4.f的收斂域?yàn)椤?.jfl-sin2-\u=_______________。

n=lnJ\27

二、選擇題

1.設(shè)y=/(f),f=g(x)都可微，則dy=()

A)