河南省新鄉(xiāng)市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（解析版）

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。新鄉(xiāng)市2021-2022學(xué)年高二（下）期中考試數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A.7＋i B.－7－i C.7－i D.－7＋i【1題答案】【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算復(fù)數(shù)，然后由共軛復(fù)數(shù)定義即可得到答案.【詳解】∵，∴．故選：D2.（）A.2 B.3 C.4 D.5【2題答案】【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用微積分基本定理求定積分即可.【詳解】．故選：C3.矩形的長和寬分別為a，b，其對角線長為．將此結(jié)論類比到空間中，得到正確的對應(yīng)結(jié)論為（）A.長方體的長、寬、高分別為a，b，c，其體積為abcB.長方體的長、寬、高分別為a，b，c，其體對角線長為C.長方體的長、寬、高分別為a，b，c，其表面積為高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。D.長方體的長、寬、高分別為a，b，c，其體對角線長為【3題答案】【答案】B【解析】【分析】由矩形的對角線類比到長方體的體對角線即可得到結(jié)論．【詳解】矩形的對角線類比到長方體中對應(yīng)的幾何量為體對角線長．故正確的對應(yīng)結(jié)論為長方體的長、寬、高分別為a，b，c．其體對角線長為．故選：B4.已知函數(shù)與的部分圖象如圖所示，現(xiàn)推理得到下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）

A.1 B.2 C.3 D.4【4題答案】【答案】C【解析】【分析】根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)形和圖象的性質(zhì)求解即可.【詳解】由圖可知，與在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以，．在區(qū)間上，的圖象比的圖象更陡峭，所以，．即②正確，其他錯(cuò)誤.故選：C5.某高校食堂備有5類不同的菜品，3類不同的飲料，若要對這些菜品和飲料設(shè)計(jì)一個(gè)排序，要求飲料不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。A. B. C. D.【5題答案】【答案】D【解析】【分析】先將5類菜品進(jìn)行全排列，再把3類飲料插入到形成6個(gè)空中進(jìn)行排列即可.【詳解】先將5類菜品進(jìn)行全排列，有種排法，再從這5類菜品形成的6個(gè)空位中選3個(gè)進(jìn)行排列，有種排法，故不同的排法種數(shù)為.故選：D.6.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則（）A.不可能純虛數(shù)B.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)可能位于第二象限C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)一定位于第三象限D(zhuǎn).在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)可能位于第四象限【6題答案】【答案】D【解析】【分析】利用第二象限的輻角范圍確定的輻角范圍，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由為第二象限，其對應(yīng)輻角范圍為，所以對應(yīng)輻角為，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)可能位于第三、四象限及y軸的負(fù)半軸.所以A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D7.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.－70 B.－56 C.56 D.70【7題答案】【答案】D【解析】高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚?！痉治觥肯葘懗龅耐?xiàng)公式，由通項(xiàng)公式可知當(dāng)時(shí)，得到展開式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，得到展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故選：D8.已知，則（）A.224 B. C. D.448【8題答案】【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的特點(diǎn)，應(yīng)將其變形成項(xiàng)所對應(yīng)的二項(xiàng)式形式，再借助通項(xiàng)求解系數(shù).【詳解】令，得，則可化為：，二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為：所以故選：D.9.觀察下列各式：，，，…．根據(jù)規(guī)律可得的個(gè)位數(shù)是（）A.2 B.4 C.6 D.8【9題答案】【答案】A【解析】【分析】觀察題目中各式可得的個(gè)位數(shù)的周期T＝4，由周期即可推得的個(gè)位數(shù).【詳解】經(jīng)觀察易知8，，，，，，，的個(gè)位數(shù)分別為8，4，2，6，8，4，2，6．故（n為正整數(shù)）的個(gè)位數(shù)的周期T＝4．因?yàn)?，所以的個(gè)位數(shù)與的個(gè)位數(shù)相等，所以的個(gè)位數(shù)是2．故選：A高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。10.第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在中國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．甲、乙等5名志愿者計(jì)劃到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花樣滑冰4個(gè)比賽區(qū)從事志愿者活動(dòng)，則下列說法錯(cuò)誤的有（）A.若短道速滑賽區(qū)必須安排2人，其余各安排1人，則有60種不同的方案B.若每個(gè)比賽區(qū)至少安排1人，則有240種不同的方案C.安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有42種不同的站法D.已知這5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中間，則有40種不同的站法【10題答案】【答案】C【解析】【分析】對于A，首先對人分組：，，，，然后對除短道速滑賽區(qū)外的其他賽區(qū)排列即可；對于B，首先對人分組：，，，，然后對個(gè)賽區(qū)進(jìn)行全排列即可；對于C，運(yùn)用“捆綁法”將甲、乙看成一個(gè)整體，再做全排列即可；對于D，第一步選個(gè)人排前排，第二步剩下的個(gè)人排后排，其中最高的在中間，只需對另外進(jìn)行排列即可.【詳解】若短道速滑賽區(qū)必須安排2人，其余各安排1人，則先從5人中任選2人安排在短道速滑賽區(qū)，剩余3人在其余三個(gè)比賽區(qū)全排列即可，故不同的方案有種，A正確；若每個(gè)比賽區(qū)至少安排1人，則先將5人按“2，1，1，1”形式分成四組，再分配到四個(gè)崗位上，故不同方案有種，B正確；若甲，乙相鄰，可把2人看成一個(gè)整體，與下的3人全排列，有種排法，甲、乙兩人相鄰有種排法，所以共有種不同的站法，C錯(cuò)誤；前排有種站法，后排3人中最高的站中間有種站法，所以共有種不同的站法，D正確．故選：C.11.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則不等式的解集為（）A. B.高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。C. D.【11題答案】【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，再將不等式化為，結(jié)合單調(diào)性求解集.【詳解】設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞減，由，得：，而，所以，則．故不等式的解集為．故選：A12.在△ABC中，AC=AB=4，，D，E分別在AC，AB邊上，且．將△ABC沿DE折起到位置，使得平面PDE⊥平面BCDE，則當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，點(diǎn)A到直線DE的距離為（）A. B. C. D.2【12題答案】【答案】C【解析】【分析】取BC的中點(diǎn)H，連AH，交DE于G，設(shè)AG=x，根據(jù)給定條件用x表示出DE，GH，求出體積的函數(shù)關(guān)系，借助導(dǎo)數(shù)求最值作答.【詳解】在△ABC中，取BC的中點(diǎn)H，連接AH，交DE于G，因?yàn)锳C=AB=4，，則AH⊥BC，AG⊥DE，高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。而，設(shè)AG=x，則GH=3-x，，因，則，如圖，因平面PDE⊥平面BCDE，PG⊥DE，平面平面，平面，因此，PG⊥平面BCDE，梯形面積，則四棱錐P-BCDE的體積，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，在上遞減，于是當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以點(diǎn)A到直線DE的距離為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用錐體體積公式求錐體的體積，推理、證明并計(jì)算底面上的高是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各1張，一共可以組成的幣值有______種．【13題答案】【答案】7【解析】【分析】三種幣值分別任選一張、兩張或全選，結(jié)合組合數(shù)求組成的幣值種數(shù).【詳解】三種幣值分別任選一張、兩張或全選，則組成的幣值有種．故答案為：714.一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串．（），其中（k＝1，2，…，n）稱為第k高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。位碼元．二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?或由1變?yōu)?）．已知某個(gè)二元碼的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：其中的運(yùn)算法則：，，，．若這個(gè)二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了100101，則利用上述校驗(yàn)方程組可判定，這個(gè)二元碼為______．【14題答案】【答案】101101【解析】【分析】利用題目給的校驗(yàn)方程組直接檢驗(yàn)即可.【詳解】假設(shè)這個(gè)二元碼為100101．經(jīng)計(jì)算成立，也成立．但不成立．因此，，，有一個(gè)錯(cuò)誤，由與，知，，，，沒有錯(cuò)誤，則錯(cuò)誤．故這個(gè)二元碼為101101．故答案為：10110115.若存在，則稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為．已知二元函數(shù)，則______，的最小值為______．【15題答案】【答案】①.5②.－3【解析】【分析】根據(jù)所給定義求出，即可求出的值，再表示出，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出的最小值.【詳解】，所以，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為－高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。3.故答案為：5；－3.16.如圖，一花壇分成1，2，3，4，5五個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每個(gè)1區(qū)域里面種1種花，且相鄰的兩個(gè)區(qū)域種不同的花，則不同的種法總數(shù)為_______．【16題答案】【答案】【解析】【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理以及排列數(shù)進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】解：由題意得：若只有2，4區(qū)域種的花相同，則有種種法；若只有3，5區(qū)域種的花相同，則有種種法；若2、4區(qū)域種的花相同，3，5種的花也相同，則有種種法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有種不同的種法.故答案為：三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知．（1）求z的虛部；（2）求．【17題答案】【答案】（1）-4（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)商的運(yùn)算得到復(fù)數(shù)z，即可得到虛部.高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。（2）計(jì)算出，利用模的公式計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以z的虛部為－4．【小問2詳解】因?yàn)?，所以．所以，故?9.已知函數(shù)．（1）若曲線切線的斜率為－9，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．【19題答案】【答案】（1）切點(diǎn)的坐標(biāo)為或（2）最大值為10，最小值為－71【解析】【分析】（1）利用曲線的幾何意義求解即可；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，解導(dǎo)數(shù)不等式得到函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性即可得到最值.【小問1詳解】，曲線切線的斜率為－9，由，得或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故切點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【小問2詳解】高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。令，得，令，得,函數(shù)單調(diào)遞減，令，得或，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因，，，所以在區(qū)間上的最大值為10，最小值為－71．21.（1）若，求；（2）證明，并求的值．【21題答案】【答案】（1）；（2）證明見解析，．【解析】【分析】（1）先利用排列數(shù)公式求出，再利用組合數(shù)的性質(zhì)和組合數(shù)公式進(jìn)行求解；（2）先利用組合數(shù)公式證明，再利用所證公式進(jìn)行化簡，進(jìn)而利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式求值.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，又，，則，解得，所以；（2）證明：因?yàn)?，所?22.已知函數(shù)．（1）若直線與曲線在上有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，試問曲線是否存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線？若存在，求該切線的方程；若不存在，請說明理由．高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚?！?2題答案】【答案】（1）（2）存在，y＝0或【解析】【分析】(1)根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為有不小于1實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)果；(2)根據(jù)題意設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于的方程組，解方程組即可.【小問1詳解】依題意可得，即有不小于1的實(shí)根．設(shè)，則，則為增函數(shù)，所以．又當(dāng)時(shí)，，故a的取值范圍是．【小問2詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則消去k，整理得．解得m＝0或m＝－2，則k＝0或．所以曲線存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，且切線方程為y＝0或．24.在數(shù)列中，，且．（1）求，，，，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【24題答案】【答案】（1）見解析（2）證明見解析高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由遞推關(guān)系式可得各項(xiàng)值，根據(jù)各項(xiàng)的值可猜想通項(xiàng)公式；（2）直接用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【小問1詳解】由題意可得，同理可得，，，因?yàn)?，，，，．所以猜想．【小?詳解】證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，．猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k（）時(shí)成立，即．則．這表明，當(dāng)時(shí)，猜想也成立．根據(jù)①，②，可以斷定，猜想成立．即．26.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，討論的單調(diào)性．（2）若函數(shù)