八章線性離散控制

第八章線性離散控制系統(tǒng)時間離散：只在孤立的時間點觀察并控制對象。

e*(t)：e(0)、e(1)、e(2)、……；

u*(t)：u(0)、u(1)、u(2)、……

實際科學(xué)和工程存在大量如下應(yīng)用：

1）在孤立的時間內(nèi)觀察和/或控制；

2）測量結(jié)果和/或控制量只能在孤立點取值。

計算機(jī)的廣泛應(yīng)用本質(zhì)：串行，僅在孤立時間觀察水位，調(diào)節(jié)閥門。8.1概述——離散控制的緣由分時處理8.1概述——離散與連續(xù)信號

時間離散/連續(xù)：是否僅在孤立時刻有定義。

人口普查駕駛過程中的速度控制化工過程化驗交流整流觸發(fā)僅在孤立時間觀察水位，調(diào)節(jié)閥門。

幅值連續(xù)/離散：幅值是否僅能取孤立值。

人口增長模型化驗結(jié)果分等級（即使無窮，也是離散）設(shè)定值?。哼^阻尼，響應(yīng)慢；設(shè)定值≈7：欠阻尼，振蕩。12108642102030400pH8.1概述——采用離散控制的原因)(sr)(se)(sHPID)(sc)(osG)(tu8.1概述——離散控制的緣由記s=j

，令相角裕度如何以更高的電樞電壓提供相同的“能量”？——脈沖8.1概述——采樣控制系統(tǒng)時間離散、幅值連續(xù)的離散控制系統(tǒng)（采樣定義見后）8.1概述——數(shù)字控制系統(tǒng)時間和幅值均離散的控制系統(tǒng)A/D：模擬數(shù)字D/A：數(shù)字模擬8.1概述——本書所研究系統(tǒng)

量化時間充分短及精度足夠高，數(shù)字控制可歸入采樣控制

留心系統(tǒng)構(gòu)成、信號特點及工作流程。時間離散：只在孤立的時間點觀察并控制對象。

e*(t)：e(0)、e(1)、e(2)、……；

u*(t)：u(0)、u(1)、u(2)、……

孤立時間觀察連續(xù)變量，是否能獲得足夠信息？孤立時間控制對象，性能是否能滿足要求？應(yīng)采用何種模型方便分析和設(shè)計控制系統(tǒng)？8.1概述——采樣采樣：時間連續(xù)時間離散（本書：固定采樣周期）8.1概述——保持器保持器：離散連續(xù)過窄的控制脈沖物理上難以實現(xiàn)，如何解決？8.1概述

——本書研究內(nèi)容1、孤立時間觀察連續(xù)變量，是否能獲得足夠信息？2、對于離散和連續(xù)信號共存的系統(tǒng)，應(yīng)采取何種數(shù)學(xué)工具，建立何種模型？3、如何根據(jù)孤立時間取值的變量控制連續(xù)的對象？4、如何根據(jù)這些模型分析系統(tǒng)性能（孤立時間控制對象性能是否能滿足要求）？課后練習(xí)：1、上網(wǎng)查資料，弄清AD、DA；模擬、數(shù)字；量化、編碼等基本概念。8.2采樣與保持如何量化描述孤立時間觀察連續(xù)信號所得結(jié)果？孤立時間觀察連續(xù)信號是否能獲得控制所需的足夠信息？保持器起什么作用？對控制系統(tǒng)有何影響？8.2采樣與保持——8.2.1引言時間離散：只在孤立的時間點觀察

e*(t)：e(0)、e(1)、e(2)、e(3)、……

觀察結(jié)果不唯一。

能否采用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析？采樣結(jié)果毫無疑問不同于原信號，從控制的角度而言，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵特征？持續(xù)時間？幅值？孤立時間觀察連續(xù)變量是否能獲得足夠信息？8.2采樣與保持——8.2.1理想脈沖

充分短促的脈沖加于有慣性的對象時,對象運(yùn)動僅取決于其本身特性和脈沖的沖量,而與脈沖具體形狀無關(guān)

理想脈沖序列。8.2采樣與保持——8.2.1理想脈沖序列為方便數(shù)學(xué)處理孤立時間觀察連續(xù)變量是否能獲得足夠信息？8.2采樣與保持——8.2.2采樣定理什么情況下理想采樣脈沖序列包含與原信號一樣的信息？

孤立時間觀察連續(xù)變量是否能獲得足夠信息？拉普拉斯變換（滯后定理）傅立葉變換8.2采樣與保持——8.2.2采樣定理混疊8.2采樣與保持——8.2.3理想低通濾波器香農(nóng)定理（C.E.Shannon）:

若采樣角頻率

s滿足

s>2max則原連續(xù)信號f(t)可從采樣信號f*(t)中唯一確定。說明:

實際控制采樣周期的選擇往往遠(yuǎn)大于2

max，但采樣頻率過大往往需要增大計算機(jī)和A/D及D/A轉(zhuǎn)換器的字長，提高其運(yùn)算與轉(zhuǎn)換速度，增加系統(tǒng)實現(xiàn)成本。8.2采樣與保持——8.2.3混疊：無法通過理想低通濾波復(fù)原8.2采樣與保持——8.2.2零階保持器過窄的脈沖物理上難以實現(xiàn)，且容易引入高頻分量。化離散信號為連續(xù)信號。8.2采樣與保持——8.2.2零階保持器零階保持器：將kTs時刻的采樣值f(kTs)一直保持到下一采樣時刻(k+1)Ts到來之前。8.2.2零階保持器對閉環(huán)控制有何影響？8.2采樣與保持——8.2.2香農(nóng)采樣定理1、孤立時間觀察連續(xù)變量是否能獲得足夠信息？答：滿足香農(nóng)采樣定理即可。8.3線性離散系統(tǒng)的模型孤立時間點觀察并控制對象。

u*(t)：u(0)、u(1)、u(2)、u(3)、……y*(t)：y(0)、y(1)、y(2)、y(3)、……孤立時間控制并觀察效果將得到何種形式的模型？8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

——8.3.3差分方程微分近似計算一般來說，描述線性離散系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的差分方程模型為第k時刻的輸出,不僅取決于當(dāng)前時刻的輸入,還與歷史時刻的輸入輸出有關(guān)——動態(tài)行為。第k-i時刻的輸出第k-l時刻的輸入如何求解特定輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)？孤立時間控制并觀察效果將得到何種形式的模型？8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.3差分方程迭代求解如何求解特定輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)？非常適合于計算機(jī)迭代計算，但不便于分析系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)性能的影響。引入滯后算子z，化差分運(yùn)算為代數(shù)運(yùn)算8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.1z變換（引言：差分方程的求解）8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.1z變換（差分方程的求解）該變換即為z變換“引入滯后算子z”如何在數(shù)學(xué)上實現(xiàn)？（某種變換）視為一整體

如何求其z變換U(z)？給定脈沖序列u*(t)：u(0)、u(1)、u(2)、……給定u*(t)對應(yīng)的u(t)時域或頻域（復(fù)域）表達(dá)式。8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.3差分方程的求解求解特定輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)得到離散系統(tǒng)的輸入-輸出數(shù)學(xué)模型：零初始條件下1．z變換的求解例8-1試求序列解：按定義有8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.1z變換更多的詳見277頁表8-1內(nèi)容。8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.1z變換2．z變換的性質(zhì)根據(jù)z變換定義，可證明z變換性質(zhì)，利用性質(zhì)進(jìn)行z變換。1)線性定理2)延遲定理3)超前定理4)復(fù)數(shù)位移定理8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.1z變換5)初值定理6)終值定理7)卷積定理8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.1z變換例8-2已知f(t)的拉普拉斯變換為試求相應(yīng)的z變換F(z)查性質(zhì)表,可得:例8-3設(shè)a>0,試?yán)媒K值定理確定f(k)的終值。解:8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.2z反變換（差分方程的求解）從F(z)求相應(yīng)脈沖序列f(k)的過程稱為z反變換，記為零初始條件下（1）部分分式法：查字典（部首）例8-5設(shè)

查表8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.2z反變換F(z)

f(k)：z反變換

（2）長除法例8-6設(shè)（3）留數(shù)法設(shè)函數(shù)F(z)zk-1除有限個極點z1,z2,...,zn,外，在z平面上是解析的，則有計算方法：1）若zi，i=1,2,...n，均為單極點，則2）若zi為m階重極點，則F(z)

f(k)：z反變換

例8-78.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——基于差分方程解的系統(tǒng)分析

8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.4脈沖傳遞函數(shù)

疊加原理故離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為即在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的z變換與輸入的z變換之比。其決定于對象或系統(tǒng)自身，與輸入無關(guān)。孤立時間進(jìn)行控制和測量，輸出均可分解為g*(t)的線性組合。記g*(t)z變換為G(z)，根據(jù)z變換卷積定理，z變換離散控制系統(tǒng)常見結(jié)構(gòu)單元：采樣開關(guān)＋連續(xù)對象

本書所討論的脈沖傳遞函數(shù)反映了圖8-12（a）所示的信號關(guān)系，而非圖8-12（b）所示的信號作用形式。

抄在P282圖8-12旁邊。抄在P282圖8-12旁邊。例8-9設(shè)圖8-12（a）中試求其脈沖傳遞函數(shù)及差分方程。8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.4脈沖傳遞函數(shù)

（1）串聯(lián)8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.4脈沖傳遞函數(shù)（環(huán)節(jié)組合的脈沖傳遞函數(shù)）

（2）含零階保持器的廣義對象拉氏變換延遲定理8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.4脈沖傳遞函數(shù)（環(huán)節(jié)組合的脈沖傳遞函數(shù)）

例8-11圖8-15求開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。查表8-1得3.閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)虛線所示的理想采樣開關(guān)是為了方便分析而設(shè)的。假設(shè)所有理想采樣開關(guān)都同步工作。8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.4脈沖傳遞函數(shù)（環(huán)節(jié)組合的脈沖傳遞函數(shù)）

3.閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.4脈沖傳遞函數(shù)（環(huán)節(jié)組合的脈沖傳遞函數(shù)）

一般而言因此，閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)通常不能直接從對T(s)和TE(s)求z變換得到。例8-12設(shè)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-17所示，求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)采樣開關(guān)在環(huán)路中的配置存在多種可能。例8-13試求圖8-18所示系統(tǒng)輸出的z變換。此式不包含R(z)，因此沒有閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)若采樣開關(guān)不在誤差信號e(t)處，則輸入采樣信號r*(t)便不存在，此時不可能求出閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的z變換Y(z)。由于理想脈沖瞬時幅值為無窮大，因而能使慣性系統(tǒng)的狀態(tài)瞬時發(fā)生跳變，出現(xiàn)不符合實際物理過程變化的現(xiàn)象。8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——8.3.4脈沖傳遞函數(shù)（附加說明）

慣性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)例8-14圖8-15中試求其零時刻的輸出y(0)。采用長除法可得y(0)=0。理想脈沖序列僅為數(shù)學(xué)抽象，便于理論分析，但實際并不存在，因而也存在局限性。為了克服這種現(xiàn)象，輸出y(k)應(yīng)滯后于輸入u(k)一個采樣周期以上。即連續(xù)系統(tǒng)極點個數(shù)比零點多2個，脈沖傳遞函數(shù)分母的階次高于分子的階次。如果系統(tǒng)串聯(lián)了零階保持器，則相當(dāng)于為系統(tǒng)增加了一個積分環(huán)節(jié)，通常能保證分子階次高于分母階次的關(guān)系。小結(jié)1、孤立時間觀察連續(xù)變量是否能獲得足夠信息？3、如何根據(jù)這些模型分析系統(tǒng)性能（孤立時間控制對象性能是否能滿足要求）？2、孤立時間觀察將得到何種形式的模型？8.4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析孤立時間觀察系統(tǒng)如何判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性（根據(jù)其物理意義如何數(shù)學(xué)上定義穩(wěn)定性）？離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件及其判據(jù)（階數(shù)高時）？8.4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

——穩(wěn)定的物理意義和定義1.物理背景干擾的影響能夠隨著干擾的消失而迅速消失。幅度有限的輸入產(chǎn)生的輸出也有限。8.4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

——穩(wěn)定的物理意義和定義1.物理背景干擾的影響能夠隨著干擾的消失而迅速消失。幅度有限的輸入產(chǎn)生的輸出也有限。(單位脈沖響應(yīng)絕對可和)

疊加原理8.4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

——8.4.1穩(wěn)定的充分必要條件收斂條件：|pi|<1，位于以原點為圓心的單位圓內(nèi)。(單位脈沖響應(yīng)絕對可和)

假設(shè)G(z)的極點pi(i=1,2,…,n)互異，則系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)T(z)的全部極點均分布在z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)，系統(tǒng)特征方程的所有特征根的模均小于l。

8.4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

——8.4.1穩(wěn)定的充分必要條件故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。代入K，Ts例8-15圖8-16系統(tǒng)取K=10和Ts=0.1s。試判斷增加零階保持器前后閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。無零階保持器時，增加零階保持器后閉環(huán)系統(tǒng)仍然穩(wěn)定。避開方程求解，根據(jù)模型參數(shù)判斷穩(wěn)定性。雙線性變換朱利（Jury）判據(jù)1．w平面上的勞斯判據(jù)雙線性變換8.4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

——8.4.2穩(wěn)定判據(jù)特征方程

(z)=0的根是否位于z平面上的單位圓內(nèi)

(w)=0的根是否位于左半w平面。2．朱利判據(jù)直接根據(jù)特征方程

(z)=0的系數(shù)判斷穩(wěn)定性。an>0，且ai均為實數(shù)。根據(jù)上式可列出朱利陣列如表8-4所示。8.4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

——8.4.2穩(wěn)定判據(jù)且滿足以下約束條件例8-16設(shè)Ts=0.1，試分別求使例8-15中情況（1）和（2）的系統(tǒng)穩(wěn)定的系數(shù)K取值范圍。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，有為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，有可看出采樣保持器對穩(wěn)定性能的影響例8-17考慮圖8-21所示具有大慣性和延遲的被控對象的離散控制系統(tǒng)，選Ts=10。試確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的系數(shù)K取值范圍為例8-19采樣開關(guān)后增加一個零階保持器。據(jù)延遲定理閉環(huán)特征方程為根據(jù)朱利判據(jù)，可求的參數(shù)K的穩(wěn)定域為對比8-17和8-19可知，脈沖控制信號加零階保持器連續(xù)化后，原脈沖控制增大K穩(wěn)定域的優(yōu)點消失殆盡。原因在于零階保持器將理想脈沖連續(xù)化為寬度達(dá)Ts=10s的“寬脈沖信號”，因而K不能過大，且零階保持器引入了額外的相位滯后。為提高穩(wěn)態(tài)精度，應(yīng)改用寬度較小的脈沖信號進(jìn)行控制。8.5離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析例8-20設(shè)Ts=0.1s和K=1，計算其單位階躍響應(yīng)。8.5離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

——8.5.1s平面到z平面的映射長除法并描點得右圖y*(t)。8.5離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

——8.5.1s平面到z平面的映射z變換等

線等

n線直接由系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)來建立其極點分布與階躍響應(yīng)瞬態(tài)分量之間的關(guān)系。8.5離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

——8.5.2閉環(huán)極點與階躍響應(yīng)瞬態(tài)分量的關(guān)系設(shè)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為零點極點當(dāng)輸入R(z)為單位階躍函數(shù)時，輸出為：假設(shè)無重極點(8-46)穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量(8-48)為保證良好的動態(tài)特性，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點應(yīng)盡量避免分布于z平面的左半部分，尤其不要靠近負(fù)實軸；而應(yīng)盡量分布于右半單位圓內(nèi)，且盡量靠近原點。8.5離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

——8.5.2閉環(huán)極點與階躍響應(yīng)瞬態(tài)分量的關(guān)系快速估計參數(shù)Kg變化對閉環(huán)系統(tǒng)極點分布的影響。例8-21設(shè)圖8-16所示的典型閉環(huán)離散系統(tǒng)中有分別為零階保持器和被控對象的傳遞函數(shù)，且Ts=0.1s。試用根軌跡法分析參數(shù)K變化對閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。8.5離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

——8.5.3根軌跡法分析系統(tǒng)性能據(jù)GH(z)的零、極點分布，按根軌跡規(guī)則作出系統(tǒng)根軌跡：局部放大根軌跡與單位圓的交點

臨界穩(wěn)定傳遞系數(shù)為Kmax=22.3。當(dāng)K較小時，階躍響應(yīng)的瞬態(tài)分量為單調(diào)指數(shù)衰減的脈沖序列。但由于極點非?？拷鼏挝粓A，故響應(yīng)衰減非常緩慢。（2）隨著K增大，閉環(huán)系統(tǒng)極點為穩(wěn)定的共軛極點，其幅值接近于1，相角接近0°，故其階躍響應(yīng)的瞬態(tài)分量為緩慢衰減的振蕩脈沖序列。（3）當(dāng)K進(jìn)一步增大，根軌跡將越出單位圓。此時，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)分量為幅值呈指數(shù)規(guī)律發(fā)散的振蕩脈沖序列。8.4離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

——8.6.1采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)在采樣時刻的誤差與輸入序列的形式以及G(z)有關(guān)。終值定理閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下1．單位階躍輸入8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

——8.6.2離散控制系統(tǒng)的無差度閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下2．單位斜坡輸入閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下3．單位拋物線輸入與連續(xù)系統(tǒng)相比較，式（8-55）和（8-56）意味著離散系統(tǒng)的速度和加速度誤差不僅分別與Kv和Ka有關(guān)，還都與采樣周期Ts有關(guān)。（孤立時間觀察和控制的時間間隔影響觀察結(jié)果）8.6離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

——8.6.2離散控制系統(tǒng)的無差度例8-22設(shè)離散控制系統(tǒng)如圖所示，輸入連續(xù)信號r(t)分別為1(t)和t，試求其穩(wěn)態(tài)誤差.解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為故閉環(huán)系統(tǒng)的偏差脈沖傳遞函數(shù)為或用靜態(tài)誤差系數(shù)求解：8.7、8.8離散控制系統(tǒng)的校正8.7最少拍校正8.8Matlab輔助校正8.7離散控制系統(tǒng)的最少拍校正

——8.7.1最少拍系統(tǒng)的基本概念一般將一個采樣周期時間稱為一拍。在典型輸入信號作用下，最少拍系統(tǒng)能經(jīng)過最少采樣周期將采樣誤差信號減小為零而實現(xiàn)完全跟蹤；校正裝置脈沖傳函零階保持器被控對象單位階躍輸入單位斜坡輸入單位拋物線輸入為使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，TE(z)應(yīng)滿足：e(0),e(1),…,為待定系數(shù)分析：E(z)中z-1的最高次冪為A(z)和F(z)中z-1的和，因此，當(dāng)F(z)＝1時，誤差序列e(k)=Z[E(z)]可在最少拍衰減至0。此時，對應(yīng)的系統(tǒng)為最少拍系統(tǒng)。根據(jù)GhGp(z)合理設(shè)計校正環(huán)節(jié)Gc(z)即可獲得最少拍系統(tǒng)。最少拍系統(tǒng)的設(shè)計原則：在GhGp(z)無延遲且零極點均在z平面單位圓內(nèi)的條件下，選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)T(z)，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)歷最少采樣周期后輸出序列的穩(wěn)態(tài)誤差為零，從而達(dá)到完全跟蹤的目的，最后確定所需要的離散控制器的脈沖傳遞函數(shù)Gc(z)

。8.7離散控制系統(tǒng)的最少拍校正

——8.7.2最少拍系統(tǒng)的設(shè)計例8-23r(t)為單位階躍函數(shù)，Ts=0.1。初始條件為y(0)=0。該廣義對象包含單位圓上的極點z=1，但根據(jù)表8-7所得與單位階躍輸入對應(yīng)的TE(z)為，正好包含能抵消該極點的零點，因此可選物理實現(xiàn)校正后系統(tǒng)輸出響應(yīng)的z變換為8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正8.8.1性能分析

在MATLAB環(huán)境下分析線性離散系統(tǒng)的特性，其思路和方法均與連續(xù)系統(tǒng)的性能分析相似。將連續(xù)對象或控制器離散化可通過函數(shù)c2d（）來實現(xiàn)，調(diào)用格式為

sysd=c2d(sys,Ts,method)Ts——采樣周期，連續(xù)系統(tǒng)sys實現(xiàn)多種形式的離散化，離散化形式通過method來指定，包括：零階保持器‘zoh’、三角形近似‘foh’、雙線性近似‘tustin’

等。所得離散脈沖傳遞函數(shù)輸出至sysd。用開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Dz來建立閉環(huán)離散系統(tǒng)模型，可調(diào)用函數(shù)feedback（），格式為

sysCLz=feedback(Dz,1) %單位反饋用1表示8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正例8-24已知某單位反饋采樣系統(tǒng)如圖8-32所示，設(shè)采樣周期為Ts=0.1s秒，試求：（1）確定其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)；得系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：（2）判斷閉環(huán)系統(tǒng)落于單位圓外的極點個數(shù)；n_unstable為空集表明閉環(huán)系統(tǒng)極點落于以原點為圓心的單位圓外的個數(shù)為0。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正（3）求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間；運(yùn)行結(jié)果顯示最大超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間分別為overshoot=0.7794tuningtime=11.30008.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正（4）將采樣時間改為Ts=1s，重復(fù)問題（1）和（2）。將“Ts=0.1”改為“Ts=1”，重新運(yùn)行（1）和（2）的語句，得系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分別為n_unstable=[12]，表明閉環(huán)系統(tǒng)極點落于以原點為圓心的單位圓外的個數(shù)為2。事實上，其閉環(huán)極點為

-1.1555

1.2943j。采樣周期增大后，閉環(huán)系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，其主要原因在于采樣頻率過小，以致小于離散化前連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬，導(dǎo)致“信息損失”而降低離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正例8-25將圖8-32所示系統(tǒng)的采樣周期改為Ts=0.5秒，并令開環(huán)傳遞系數(shù)可調(diào)，如圖8-34所示，試求：解：由于參數(shù)K未定，采用根軌跡法分析系統(tǒng)性能。開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Dz：（1）定性分析參數(shù)K的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)性能的影響。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正畫出系統(tǒng)根軌跡：>>[num,den]=tfdata(Dz); >>numDz=num{1,1};%取開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)分子多項式系數(shù)>>Coef=abs(numDz(2));>>rlocus(Dz/Coef); %按根軌跡要求轉(zhuǎn)換開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，并繪制根軌跡>>zgrid%繪制等阻尼線和等無阻尼角頻率線>>axis([-2.6,1,-1.8,1.8])%根據(jù)根軌跡具體形狀設(shè)定顯示范圍開環(huán)傳遞系數(shù)K較小時，根軌跡落于單位圓內(nèi)的正實軸上，此時，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律單調(diào)衰減。由于閉環(huán)極點離原點較遠(yuǎn)，故瞬態(tài)分量衰減較慢。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正用鼠標(biāo)分別圈定根軌跡與實軸分離點附近區(qū)域、根軌跡與等0.707阻尼系數(shù)線交點附近區(qū)域及根軌跡與單位圓交點附近區(qū)域，放大可得圖8-36和圖8-37。以鼠標(biāo)點擊兩根軌跡交點處，可知相應(yīng)根軌跡增益Kg=0.0235(對應(yīng)K=0.2206)，交點處位置為0.791。隨著Kg的繼續(xù)增大，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)分量開始出現(xiàn)衰減振蕩。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正以鼠標(biāo)點擊根軌跡與單位圓的交點處，可知相應(yīng)Kg=0.473，(K=4.44)時，根軌跡與單位圓相交，交點處位置約為0.563

0.826j（見圖8-37）。因此，當(dāng)0.2206<K<4.44時，閉環(huán)系統(tǒng)極點落于單位圓內(nèi)的一、四象限，因此，其階躍響應(yīng)的瞬態(tài)分量為振蕩衰減脈沖序列；且因離原點均較遠(yuǎn)，故振蕩衰減較慢。當(dāng)K繼續(xù)增大到K

4.44時，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)出現(xiàn)等幅或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正（2）估計當(dāng)系統(tǒng)階躍響應(yīng)超調(diào)量為

%=4.3時參數(shù)K的取值大小。忽略閉環(huán)零點的作用，則當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)超調(diào)量為

%=4.3時，對應(yīng)的阻尼系數(shù)約為

0.707。以鼠標(biāo)點擊根軌跡與

=0.7的等阻尼系數(shù)交點處，并小范圍拖動鼠標(biāo)調(diào)整交點位置，可確定

0.707時相應(yīng)Kg

0.0429，即對應(yīng)K

0.4027，此時交點處位置約為0.78

0.178j（見圖8-36）。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正（3）仿真檢驗（2）的估計結(jié)果，并確定相應(yīng)的調(diào)節(jié)時間。MATLAB畫出閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正運(yùn)行結(jié)果表明，超調(diào)量稍大于期望值，其原因為（2）中僅按阻尼系數(shù)計算，未考慮閉環(huán)零點的影響。為補(bǔ)償閉環(huán)零點的影響，可稍稍減小K至0.39，重新運(yùn)行下述命令，可發(fā)現(xiàn)最大超調(diào)量降為3.9%，而調(diào)節(jié)時間不變。并得其單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量和以

5%穩(wěn)態(tài)值為誤差帶限的調(diào)節(jié)時間分別為overshoot=0.0449；tuningtime=5若設(shè)定誤差帶為0.02，則調(diào)節(jié)時間ts=10s。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正8.8.2校正設(shè)計線性離散控制系統(tǒng)的校正設(shè)計方法分為仿真設(shè)計法，適用于采樣周期足夠小使得采樣、量化和保持環(huán)節(jié)對控制系統(tǒng)性能的影響可以忽略的場合；離散設(shè)計法，適用于采樣和保持環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響不能忽略或者系統(tǒng)各環(huán)節(jié)本身就是以離散模型來描述的場合。1．仿真設(shè)計法當(dāng)采樣頻率大于系統(tǒng)期望閉環(huán)帶寬20倍以上時，采用仿真設(shè)計可以得到性能良好的離散控制系統(tǒng)。仿真設(shè)計可按以下步驟進(jìn)行：（1）采用第7章所介紹的方法設(shè)計一個連續(xù)控制器。（2）確定合適的采樣周期，將所得到的連續(xù)控制器離散化。（3）用離散系統(tǒng)的分析方法、仿真或?qū)嶒瀬眚炞C設(shè)計結(jié)果的可行性。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正這種連續(xù)控制器離散化的示意圖1）通常，若連續(xù)控制器的傳遞函數(shù)分子和分母的階次相等，離散化后脈沖傳遞函數(shù)分子和分母的階次也會相等；2）但若離散化后控制器的分母階次n大于分子階次m，即

則需要通過追加零點的方式使得兩者階次相等。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正其對應(yīng)的差分方程實現(xiàn)為如此，差分方程實現(xiàn)時，控制量u(k)的計算才能利用上同時刻的偏差信息e(k)，以保證控制的及時性。追加的零點可以選zc=-1，也可以zc=0。若選zc=0，則上式為：8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正例8-26小功率角度隨動系統(tǒng)，設(shè)校正前開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s),且H(s)=1，試設(shè)計數(shù)字控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)具有較良好的動態(tài)性能。解：本例沒有提出明確的系統(tǒng)性能指標(biāo)要求，因此，可以先自行選定指標(biāo)，設(shè)計連續(xù)控制器，現(xiàn)參考例7-10的要求進(jìn)行設(shè)計?！币笙到y(tǒng)在單位斜坡輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差essr

0.02，階躍輸入下的最大超調(diào)量

%

20%，調(diào)節(jié)時間ts

1.5s?！保?）確定連續(xù)控制器傳遞函數(shù)根據(jù)例7-10分析結(jié)果，可采用的連續(xù)滯后-超前校正環(huán)節(jié)為8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正（2）確定采樣周期為選定采樣周期Ts，應(yīng)大致估計連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬。根據(jù)第4章圖4-8知，最大超調(diào)量為16%時，

0.5；根據(jù)期望的調(diào)節(jié)時間ts

1.5s和第6章式（6-68）計算得閉環(huán)系統(tǒng)帶寬

b

5rad/s。按工程習(xí)慣，選擇

s

20

b=100rad/s，故采樣周期ts

2

/100=0.028。選Ts=0.06。（3）連續(xù)控制器離散化為實現(xiàn)離散化，需在控制器輸入端引入虛構(gòu)的采樣開關(guān)。此時，連續(xù)控制器的輸入e(t)可視為經(jīng)采樣再變換后的結(jié)果e1(t)，如圖8-40所示。

這種變換有多種方式，如塔斯廷（Tustin）方法、零極點匹配方法、零階保持等。此處采用零階保持器。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正最后，將Gc(s)與G1(s)串聯(lián)后一起離散化。應(yīng)說明的是，這里的G1(s)與零階保持器所起作用是不同的，G1(s)是為獲得相應(yīng)的離散控制器而引入的虛擬環(huán)節(jié)，且其形式并不局限于零階保持，還可采取其他變換形式；而零階保持器則是大多數(shù)用于控制連續(xù)對象的離散控制系統(tǒng)所應(yīng)包含的實際環(huán)節(jié)。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正對于零、極點較多的控制器，離散化的計算量很大，此時，可借助MATLAB中的“c2d”函數(shù)迅速確定離散控制器的脈沖傳遞函數(shù)：在數(shù)字計算機(jī)中編寫程序?qū)崿F(xiàn)控制器的差分方程為8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正（4）搭建仿真系統(tǒng)驗證設(shè)計結(jié)果在MATLAB的Simulink工具箱中搭建如圖8-41的仿真系統(tǒng)，并填寫相應(yīng)的控制器和過程對象參數(shù)。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正仿真結(jié)果表明，離散控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間均稍大于相應(yīng)的連續(xù)控制系統(tǒng)，但系統(tǒng)性能未因離散化而顯著下降，且階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差也很小。此處動態(tài)性能稍微下降的原因之一是在設(shè)計連續(xù)控制器時，未考慮圖8-39中的零階保持器所引入的相位滯后。若連續(xù)控制器設(shè)計時預(yù)留更大裕量，則所得離散控制系統(tǒng)往往能滿足期望性能要求。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正2．離散設(shè)計法1）采用離散設(shè)計法的原因若加大例8-26中的采樣周期，可以發(fā)現(xiàn)，隨著采樣周期的增大，控制系統(tǒng)平穩(wěn)性不斷下降，尤其到小于10倍閉環(huán)帶寬后，系統(tǒng)性能顯著惡化。原因：仿真設(shè)計過程未充分考慮采樣及保持對系統(tǒng)性能的影響，而實際上，對于同一個連續(xù)模型，隨采樣周期變化，所得離散模型的零極點位置存在很大的差別。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正

當(dāng)被控對象零、極點位置發(fā)生變化時，控制器零、極點位置也應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整，才能保證系統(tǒng)性能不致過分下降。根據(jù)圖8-44，閉環(huán)系統(tǒng)性能決定于式（8-72）的脈沖傳遞函數(shù)8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正2）離散控制器的設(shè)計本質(zhì)上就是通過合理設(shè)置Gc(s)的零、極點，將T(z)的零、極點位置調(diào)整到期望的區(qū)域，從而使得系統(tǒng)性能滿足預(yù)定要求。因此，控制器的離散設(shè)計方法應(yīng)包括以下步驟：（1）根據(jù)期望性能指標(biāo)要求，在z平面中確定校正后系統(tǒng)零、極點的期望區(qū)域。（2）在z平面中繪出的零、極點，根據(jù)其與期望區(qū)域的相對位置選擇合適的校正環(huán)節(jié)。（3）借助MATLAB輔助工具，通過反復(fù)試探，確定合適的校正參數(shù)，將零、極點調(diào)整至期望區(qū)域。（4）用離散系統(tǒng)的分析方法、仿真或?qū)嶒瀬眚炞C設(shè)計結(jié)果的可行性。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正例8-27考慮例7-10所示的隨動系統(tǒng)，設(shè)K=50，要求系統(tǒng)在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為0，階躍輸入下

%

16%，ts

1.5s。因受成本等因素的限制，采樣周期不能小于0.3s，試重新設(shè)計數(shù)字控制器。

解：設(shè)計步驟如下：（1）穩(wěn)態(tài)誤差分析初選Ts=0.3s。易知，若校正環(huán)節(jié)不引入零點zc=1，則離散化后閉環(huán)系統(tǒng)亦必為I型系統(tǒng)，其階躍響應(yīng)響應(yīng)誤差為0，滿足要求。（2）確定滿足動態(tài)性能指標(biāo)的極點區(qū)域

%

16%*0.5，取*=0.5;ts1.5s

大致確定期望極點位置應(yīng)落于如圖8-45所示的陰影區(qū)域。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正（3）求對象離散脈沖傳遞函數(shù)對象離散脈沖傳遞函數(shù)為繪制校正前系統(tǒng)根軌跡。校正前系統(tǒng)根軌跡無法通過陰影區(qū)域，故需引入校正環(huán)節(jié)。8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正（4）選擇合適的校正環(huán)節(jié)可用一個零點zc=0.74去抵消校正前開環(huán)系統(tǒng)的極點0.7408，并增加一個極點pc，使其與校正前開環(huán)系統(tǒng)的極點1和零點

1.969配合產(chǎn)生圓弧形狀的根軌跡；欲使匯合點落于陰影區(qū)域，則根據(jù)圖8-45可得大致范圍根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則，相應(yīng)兩根軌跡的匯合點約為8.8利用MATLAB輔助離散控制系統(tǒng)的分析和校正校正后系統(tǒng)根軌跡如圖8-47。此時Kg=1.129Kc。將鼠標(biāo)初選根軌跡落于陰影區(qū)域內(nèi)某一點，設(shè)所選Kg大致為0.1129（也可經(jīng)反復(fù)試探選取其他更合適的值