第七章第5節(jié)課件

2024/1/6第七章第5節(jié)1.直接證明知

識(shí)

梳

理充分內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的______條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義：假設(shè)原命題________(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明________________的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟：①反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②歸謬——根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止；③結(jié)論——斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立.不成立原命題成立[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]分析法與綜合法相輔相成，對較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，找到解決問題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用.診斷自測1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.(

)(2)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b”.(

)(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾.(

)(4)在解決問題時(shí)，常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(

)解析(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.(2)應(yīng)假設(shè)“a≤b”.(3)反證法只否定結(jié)論.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√解析

a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.答案

D3.若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a<b<0，則下列命題正確的是(

) A.ac2<bc2

B.a2>ab>b2解析a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.答案B4.用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(

) A.方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析因?yàn)椤胺匠蘹3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3＋ax＋b＝0的實(shí)根的個(gè)數(shù)大于或等于1”，所以要做的假設(shè)是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根”.答案A5.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為________.∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，6.(2017·紹興檢測)完成反證法證題的全過程.設(shè)a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一個(gè)排列，求證：乘積p＝(a1－1)·(a2－2)·…·(a7－7)為偶數(shù).

證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù).因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝____________＝____________＝0.但0≠奇數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù).解析∵a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)，∴(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也為奇數(shù)，即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)為奇數(shù).又∵a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一個(gè)排列，∴a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式為0，∴奇數(shù)＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.答案

(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)

(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用【例1】

已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求證：規(guī)律方法用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍：(1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、求證無條件的等式或不等式；(2)已知條件明確，并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.在使用綜合法證明時(shí)，易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達(dá)混亂.【訓(xùn)練1】

設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：證明

(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)知(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用規(guī)律方法

(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.(2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證.只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需證c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.于是原等式成立.考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用規(guī)律方法

(1)當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，可用反證法來證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等.(2)用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：①必須否定結(jié)論；②必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理；③推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.【訓(xùn)練3】

(2017·鄭州一中月考)已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.證明假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于