空間向量練習(xí)題

3.1.5空間向量運算的坐標(biāo)表示雙基達(dá)標(biāo)限時20分鐘1．已知a＝(2，－3，1)，則下列向量中與a平行的是()．A．(1，1，1)B．(－2，－3，5)C．(2，－3，5)D．(－4，6，－2)2．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，則m的值為()．A．0B．6C．－6D．±63．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a與b的夾角的余弦為eq\f(8,9)，則λ＝()．A．2B．－2C．－2或eq\f(2,55)D．2或－eq\f(2,55)4．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b與b垂直，則k＝________．5．已知點A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|的值是______．6．已知a＝(1，－2，4)，b＝(1，0，3)，c＝(0，0，2)．求(1)a·(b＋c)；(2)4a－b＋2c.綜合提高（限時25分鐘）7．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|的取值范圍是()．8．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則eq\o(BP,\s\up6(→))等于()．A．(eq\f(40,7)，eq\f(15,7)，－3)B．(eq\f(33,7)，eq\f(15,7)，－3)C．(－eq\f(40,7)，－eq\f(15,7)，－3)D．(eq\f(33,7)，－eq\f(15,7)，－3)9．已知點A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三點共線，則實數(shù)λ＋μ＝________．10．已知空間三點A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))的夾角θ的大小是________．11．已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)．(1)求△ABC的面積；(2)求△ABC中AB邊上的高．12．(創(chuàng)新拓展)在正方體AC1中，已知E、F、G、H分別是CC1、BC、CD和A1C1的中點．證明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.證明如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)，D(0，1，0)、A1(0，0，1)、B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、D1(0，1，1)，由中點性質(zhì)得E(1，1，eq\f(1,2))、F(1，eq\f(1,2)，0)，G(eq\f(1,2)，1，0)、H(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)．(1)3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示雙基達(dá)標(biāo)限時20分鐘1．對于空間中的三個向量a，b，2a－b.它們一定是()．A．共面向量B．共線向量C．不共面向量D．以上均不對2．若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起點M和終點A，B，C互不重合且無三點共線，則能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成為空間一組基底的關(guān)系是()．A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))3．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，則C的坐標(biāo)是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))4．設(shè){i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，則向量a，b的坐標(biāo)分別為____________．5．設(shè)命題p：{a，b，c}為空間的一個基底，命題q：a、b、c是三個非零向量，則命題p是q的________條件．6．如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點O，分別以射線OB，OC，AA1的指向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．試寫出正方體八個頂點的坐標(biāo)．解綜合提高（限時25分鐘）7．已知空間四邊形OABC，M，N分別是OA，BC的中點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))為()．A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c8．已知點A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為()．A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)9．設(shè)a，b，c是三個不共面的向量，現(xiàn)在從①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中選出使其與a，b構(gòu)成空間的一個基底，則可以選擇的向量為________．10．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點，若記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))＝c，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．11．如圖所示，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA′＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).解12．(創(chuàng)新拓展)已知{i，j，k}是空間的一個基底設(shè)a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.試問是否存在實數(shù)λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，請給出證明．解3.1.3空間向量的數(shù)量積運算雙基達(dá)標(biāo)限時20分鐘1．對于向量a、b、c和實數(shù)λ，下列命題中的真命題是()．A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c2．如圖，已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()．A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))3．空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值為()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．04．已知a，b是空間兩個向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，則cos〈a，b〉＝________．5．已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________．6．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為A1D1的中點．求下列向量的數(shù)量積：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))解綜合提高（限時25分鐘）7．已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，同一頂點為端點的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為()．A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D.eq\r(6)8．已知a，b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角是()．A．30°B．45°C．60°D．90°9．已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，則λ＝________．10．如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是______．11．如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求證：BD⊥平面ADC.證明12．(創(chuàng)新拓展)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長為eq\r(2).(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為eq\f(π,3)，求側(cè)棱的長．3.1.2空間向量的數(shù)乘運算雙基達(dá)標(biāo)限時20分鐘1．給出的下列幾個命題：①向量a，b，c共面，則它們所在的直線共面；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ，使a＝λb.其中真命題的個數(shù)為()．A．0B．1C．2D．32．設(shè)空間四點O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則()．A．點P一定在直線AB上B．點P一定不在直線AB上C．點P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AP,\s\up6(→))的方向一定相同3．已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則x的值為()．A．1B．0C．3D.eq\f(1,3)4．以下命題：①兩個共線向量是指在同一直線上的兩個向量；②共線的兩個向量互相平行；③共面的三個向量是指在同一平面內(nèi)的三個向量；④共面的三個向量是指平行于同一平面的三個向量．其中正確命題的序號是________．5．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則k＝______．6．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，請判斷向量eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))是否共線？綜合提高（限時25分鐘）7．對于空間任一點O和不共線的三點A，B，C，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝1是P，A，B，C四點共面的()．A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件8．已知O、A、B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up6(→))等于（）。A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq