2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題

共13頁第4頁2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷三題號(hào)一二總成績(jī)13141516得分評(píng)卷人復(fù)核人考生注意：1.本試卷共三大題（16小題），全卷滿分150分.考試時(shí)間：120分鐘.2.用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答.3.解題書寫不要超出裝訂線.4.不能使用計(jì)算器.一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）得分評(píng)卷人本題共有6小題，每題均給出A、B、C、D四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的.請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題的括號(hào)內(nèi).每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1.已知函數(shù)，則答：[]（A）有最小正周期（B）有最小正周期（C）有最小正周期（D）無最小周期2.關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過，則的最大值與最小值的和是答：[]（A）（B）（C）（D）3.已知向量a、b，設(shè)ab，ab，ab，則一定共線的三點(diǎn)是答：[]（A）、、（B）、、（C）、、（D）、、4.設(shè)、、為平面，、為直線，則的一個(gè)充分條件是答：[]（A），，（B），，（C），，（D），，5.若、，其中，，并且，則實(shí)數(shù)對(duì)表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為答：[]（A）個(gè)（B）個(gè)（C）個(gè)（D）個(gè)6.已知（R），且則a的值有答：[]（A）個(gè)（B）個(gè)（C）個(gè)（D）無數(shù)個(gè)二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）得分評(píng)卷人本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則公差為.8.設(shè)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則等于.9.已知函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為.yyOx1Ox110.圓錐曲線的離心率是.11.在中，已知，，，則的面積為.15.已知數(shù)列中，，，.求.16.已知平面上個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交.是否存在直線，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論.2007年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1．已知函數(shù)，則（B）.（A）有最小正周期為（B）有最小正周期為（C）有最小正周期為（D）無最小正周期解：，則最小正周期.故選（B）．2．關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過9，則的最大值與最小值的和是（C）.（A）2（B）1（C）0（D）解：方程的兩根是，，則由關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過，得，即.故選（C）．3.已知向量a、b，設(shè)ab，ab，ab，則一定共線的三點(diǎn)是（A）.（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、C、D解：ab，所以A、B、D三點(diǎn)共線.故選（A）．4．設(shè)、、為平面，、為直線，則的一個(gè)充分條件是（D）.（A），，（B），，（C），，（D），，解：（A）選項(xiàng)缺少條件；（B）選項(xiàng)當(dāng)，時(shí)，；（C）選項(xiàng)當(dāng)、、兩兩垂直（看著你現(xiàn)在所在房間的天花板上的墻角），時(shí)，；（D）選項(xiàng)同時(shí)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．本選項(xiàng)為真命題.故選（D）．5.若、，其中，，并且，則實(shí)數(shù)對(duì)表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（C）（A）個(gè)（B）個(gè)（C）個(gè)（D）個(gè)解：由及題設(shè)知，個(gè)位數(shù)字的選擇有5種.因?yàn)?，故?）由知，首位數(shù)字的可能選擇有種；（2）由及知，首位數(shù)字的可能選擇有種.于是，符合題設(shè)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為種.故選（C）．6．已知（R），且則a的值有（D）.（A）2個(gè)（B）3個(gè)（C）4個(gè)（D）無數(shù)個(gè)解：由題設(shè)知為偶函數(shù)，則考慮在時(shí)，恒有．所以當(dāng)，且時(shí)，恒有．由于不等式的解集為，不等式的解集為．因此當(dāng)時(shí)，恒有.故選（D）．二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則公差為.解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為.由題設(shè)得即解之得.8.設(shè)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則等于.解：由題設(shè)知化簡(jiǎn)得解之得（舍去）.故等于4.9．已知函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為．yyOx1Ox1（第9題）（第9題）解：因?yàn)椋?于是，由圖象可知，，即，解得.故x的取值范圍為．10．圓錐曲線的離心率是．解：原式變形為，即．所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．故此動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線，離心率為．11．在中，已知，，，則的面積為．解：在中，由得．由正弦定理得．因?yàn)?，所以角可取銳角或鈍角，從而．．故．12.設(shè)命題:，命題:對(duì)任何R，都有.命題與中有且僅有一個(gè)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是或.解：由得．由對(duì)于任何R成立，得，即．因?yàn)槊}、有且僅有一個(gè)成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是或．三、解答題（本題滿分60分，每小題15分）13.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之積為.記點(diǎn)的軌跡為曲線.過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn).若以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率.解：由題意可知，平面區(qū)域如圖陰影所示．xyO設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，則，即xyO．由知，x－y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y＞0)，即曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)．…………5分設(shè)，，則以線段為直徑的圓的圓心為.因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切，所以半徑，即．①…………10分因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(2eq\r(2)，0)，當(dāng)ABx軸時(shí)，不合題意．所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2eq\r(2))．代入雙曲線方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)得，k2(x－2eq\r(2))2－x2＝4，即(k2－1)x2－4eq\r(2)k2x＋(8k2－4)＝0．因?yàn)橹本€與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，所以k≠±1．所以x1＋x2＝eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)，x1x2＝eq\f(8k2－4,k2－1)．所以|AB|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝eq\r((1＋k2)[eq\b\bc\((eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1))eq\s\up10(2)－4eq\f(8k2－4,k2－1)])＝|x1＋x2|＝|eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)|，化簡(jiǎn)得：k4＋2k2－1＝0，解得k2＝eq\r(2)－1（k2＝－eq\r(2)－1不合題意，舍去）．由△＝(4eq\r(2)k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－eq\f(eq\r(3),3)．所以k＝－eq\r(eq\r(2)－1)…15分解：由題意可知，平面區(qū)域D如圖陰影所示．xyO設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則eq\f(|x＋y|,eq\r(2))eq\f(|x－y|,eq\r(2))＝2，xyO即|x2－y2|＝4．由P∈D知：x＋y＞0，x－y<0，即x2－y2<0．所以y2－x2＝4(y＞0)．即曲線C的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)．…………5分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以線段AB為直徑的圓的圓心為Q(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))．因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓與y軸相切，∴半徑r＝eq\f(1,2)|AB|＝|eq\f(x1＋x2,2)|．即|AB|＝|x1＋x2|．①…10分因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(2eq\r(2)，0)，當(dāng)ABx軸時(shí)，不合題意．所以設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2eq\r(2))．代入雙曲線方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1(y＞0)得，k2(x－2eq\r(2))2－x2＝4，即(k2－1)x2－4eq\r(2)k2x＋(8k2－4)＝0．因?yàn)橹本€與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，所以k≠±1．所以x1＋x2＝eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)，x1x2＝eq\f(8k2－4,k2－1)．所以|AB|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝eq\r((1＋k2)[eq\b\bc\((eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1))eq\s\up10(2)－4eq\f(8k2－4,k2－1)])＝|x1＋x2|＝|eq\f(4eq\r(2)k2,k2－1)|，化簡(jiǎn)得：k4＋2k2－1＝0，解得k2＝eq\r(2)－1（k2＝－eq\r(2)－1不合題意，舍去）．由△＝(4eq\r(2)k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－eq\f(eq\r(3),3)．所以k＝－eq\r(eq\r(2)－1)…………15分14.如圖，斜三棱柱中，面是菱形，，側(cè)面B1BA1CB1BA1C1AC求證：（1）；（2）求點(diǎn)到平面的距離.證：（1）設(shè)中點(diǎn)為，連、.（第14題）因?yàn)?，所以．因?yàn)槊妫ǖ?4題），所以面．又為正三角形，，所以.從而．………………6分（2）由（1），有，，面．設(shè)到面的距離為，則A.A因?yàn)椋珻EB所以．CEB又，且.設(shè)的高為，則，，.于是有，即到平面的距離為．………………15分15．已知數(shù)列中，，，.求.解：由題設(shè)，，則.………5分由，得，則.………………10分于是，所以a2007=2007．易知數(shù)列，，，符合本題要求．………………15分注意：猜得答案或，給2分．16．已知平面上個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交．是否存在直線，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論．A1Ak10A2BA1Ak10A2B1B2Bm證明如下：如圖，先作直線，設(shè)第個(gè)圓在直線上的正投影是線段，其中、分別是線段的左右端點(diǎn)．個(gè)圓有個(gè)投影線段，有個(gè)左端點(diǎn)，有個(gè)右端點(diǎn)．