拋物型方程的差分方法

微分方程數(shù)值解法第2章拋物型方程的差分方法

2.1差分格式建立的基礎

2.2顯式差分格式

2.3隱式差分格式

2.4解三對角形方程的追趕法

2.5差分格式的穩(wěn)定性和收斂性

2.6非線性拋物型方程的差分解法舉例

2.7二維拋物型方程的差分格式

2.8交替方向的隱式差分格式(ADI

格式)

本章，我們研究線性拋物型方程的差分解法，主要討論差分方程的構(gòu)造方法和有關(guān)的理論問題以及研究方法等，重點在于一維線性拋物型方程的差分方法，對于非線性以及多維拋物型方程的差分解法也進行了研究。其中,為平面上某一區(qū)域。(2.1)眾所周知，一維線性拋物型方程的一般形式為

(2)初邊值問題(或稱混合問題)通?？紤]的定解問題有：(1)初值問題(或稱Cauchy問題)在區(qū)域上求函數(shù)，使?jié)M足(2.2)為給定的初始函數(shù)。(2.3)(2.4)

在區(qū)域上求函數(shù)，使?jié)M足邊值條件初值條件為了構(gòu)造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首先將求解區(qū)域用二組平行于軸和軸的直線構(gòu)成的網(wǎng)格覆蓋，網(wǎng)格邊長在方向為，在方向為(如圖2.1所示)。分別稱為空間方向和時間方向的步長，網(wǎng)格線的交點稱為網(wǎng)格的結(jié)點。對初值問題來說，網(wǎng)格是2.1差分格式建立的基礎在上的結(jié)點稱為邊界結(jié)點，屬于內(nèi)的結(jié)點

稱為內(nèi)部結(jié)點。對于初邊值問題，設，則網(wǎng)格是研究導數(shù)的差商近似表達式。為此對二元函數(shù)定義，且假定具有我們需要的有界偏導數(shù)。在上的結(jié)點稱為邊界結(jié)點，屬于內(nèi)的結(jié)點稱為內(nèi)部結(jié)點。差分方程就是在網(wǎng)格點上求出微分方程解的近似值的一種方法，因此又稱為網(wǎng)格法。構(gòu)造逼近微分方程的差分方程的方法。由Taylor展開，有

則在處對的一階偏導數(shù)有三個可能的近似:(2.5)(2.6)(2.7)向前差商向后差商中心差商

顯然，用差商近似導數(shù)存在誤差，令(2.8)則

關(guān)于導數(shù)的近似差商表達式，也可以通過線性算子作為推導工具得到，定義：截斷誤差,階為用向后差商近似導數(shù)的截斷誤差階也為而中心差商近似導數(shù)的截斷誤差階為為方向偏導數(shù)算子為方向位移算子，為方向平均算子，其中:

方向的差分算子:(2.9)前差算子:,(2.10)后差算子:,中心差算子:(2.11),,

建立差分算子和導數(shù)算子之間的關(guān)系，由Talyor

展開，有由得(2.12)或者(2.13)同理有因為故(2.14)同理(2.15)因為

(2.16)則(2.17)

式(2.14)，(2.15)，(2.17)分別給出了偏導數(shù)算子關(guān)于前差、后差、中心差的級數(shù)表達式雙曲正弦3246(2.18.1)(2.18.2)(2.18.3)

利用這些關(guān)系式就可給出偏導數(shù)的差分表達式返回又由可得二階偏導數(shù)的差分表達式(2.19.1)(2.19.2)(2.19.3)返回返回4235(2.20.1)(2.20.2)(2.20.3)(2.21.1)(2.21.2)(2.21.3)對于三階、四階偏導數(shù)的差分表達式為

從以上這些偏導數(shù)的差分表達式，我們可以得到偏導數(shù)的各種精度的近似表達式。且

又由二階導數(shù)的前差表達式(2.19.1)，得因此在的前差表達式中取第一項，則有即截斷誤差階為?，F(xiàn)在研究構(gòu)造微分方程(2.1)的差分方程的方法，為此記微分方程(2.1)為(2.22)

L

是關(guān)于的線性算子，。包括二個相鄰時間層的網(wǎng)格結(jié)點的差分方程可以從Talor

展開式推出返回設，于是(2.23)如果算子L不依賴于t，即，則(2.25)將式(2.17)，,代入算子L中，即在L中用中心差分算子代替了微分算子，于是有(2.24)返回3835目前通常用于解方程(2.1)的各種差分方程，都是方程(2.25)的近似表達式。下面各節(jié)，我們將以式(2.25)為基礎，對簡單的拋物型方程，推導一些常用差分格式。對于用差分方法求偏導數(shù)方程的數(shù)值解來說，設計差分方程，用之作為微分方程的近似，僅僅是第一步。本章除致力于這一研究外，特別著重討論了諸如差分格式的穩(wěn)定性、收斂性等基本問題，它們也是本書研究的主要內(nèi)容之一。2.2顯式差分格式

現(xiàn)在，對拋物型方程(2.1)的幾種特殊情況，從方程(2.25)出發(fā)，構(gòu)造微分方程的有限差分近似。2.2.1一維常系數(shù)熱傳導方程的古典顯示格式

首先考慮一維熱傳導方程(2.26)的差分近似。差分方程的構(gòu)造由，方程(2.24)為代入式(2.19.3)，得

算子之間的關(guān)系則(2.27)其中為步長比。返回在上式中，如果僅僅保留二階中心差分，且設為相應差分方程解在結(jié)點(mh,nk)上的值，則(2.28)代入的表達式，則得差分方程(2.29)將格式(2.29)應用于解初值問題(初邊值問題)古典顯式差分格式圖2.2差分格式(2.29)也可簡單地由導數(shù)的差商近似表達式得到代入微分方程(2.26)，并令差分方程解為即可。雖然在邊界結(jié)點上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初邊值條件，但是，一般而言，結(jié)點上微分方程的精確解和古典顯式差分格式(2.29)的精確解不相等。(2.30)記假定具有下面推導中所需要的有界偏導數(shù)，則由展開，有截斷誤差42(2.31)則由式(2.26)，(2.29)，(2.30)，(2.31)得(2.32)從式(2.31)有或(2.33)從而，上式右邊量描寫了古典顯式差分格式(2.29)在點對微分方程的近似程度，將其定義為差分格式在點的截斷誤差，記為，即(2.34)假定在所考慮的區(qū)域保持有界，則古典顯式差分格式的截斷誤差階為。從式(2.33)又可見到，如令，因為故截斷誤差的階可以提高，這時。(2.35.1)或者(2.35.2)相應的截斷誤差階為。通常，格式可用圖2.3表示。為了提高截斷誤差的階，我們也可用在式(2.27)中保留四階中心差分項的辦法達到，這時有差分格式(2.27)m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,n圖2.3m,n+1m-1,nm,nm+1,n圖2.2返回2.2.2系數(shù)依賴于的一維熱傳導方程的顯式格式(2.36)這時，。L保留右邊前二項，由，則有差分方程(2.37)則這一差分格式可用圖2.4表示，其中，這是一個顯式差分格式，其截斷誤差階為。m,n+1m-1,nm,nm+1,n圖2.4由方程右邊進一步，考慮熱傳導方程(2.38)的差分近似。12在上式中保留前二項，并且和分別用和代替，則得差分方程(2.39)也可通過直接用中心差分算子代替微分算子的辦法獲得方程(2.38)的差分近似(2.40)這也是一個顯式差分格式。格式(2.39)和(2.40)的截斷誤差階都是。易見，由注：均在處計算。Delta顯然，微分方程(2.36)，(2.38)中的如果為，即其自變量包括空間變量和時間變量，這時差分格式(2.37)，(2.39)，(2.40)同樣是微分方程的具有截斷誤差階的差分近似，這時格式(2.37)，(2.39)中和,格式(2.40)中和分別換成

,。代入格式(2.40)即為格式(2.39)，差分格式(2.40)的推導方法,即在微分方程中直接用差分算子代替正如前面已經(jīng)指出的是推導差分格式的一個常用方法。2.3隱式差分格式

隱式差分格式特點：

1.具有二個或二個以上結(jié)點處的值未知；

2.計算工作量較大；

3.穩(wěn)定性較好。得由推導其最簡單的隱式差分逼近─古典隱式格式?，F(xiàn)在對熱傳導方程2.3.1古典隱式格式1715格式用圖2.5表示，其截斷誤差階為，與古典顯式差分格式相同?；蛘?2.41)保留二階導數(shù)項，且以替代，則得差分格式我們也可通過直接用差分算子代替的方法，即代入微分方程，得到格式(2.41)。古典隱式差分格式m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖2.5隱式差分格式是解熱傳導方程(2.26)的常用的差分格式，由式(2.24)，有2.3.2隱式格式由得(2.42)42兩邊僅保留二項，用代替，則得差分格式(2.43)這是一個隱式差分格式，稱為差分格式，截斷誤差階為。(2.44)由于格式(2.44)中包括六個結(jié)點，故也稱為六點格式(如圖2.6所示)。m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖2.6m-1,nm+1,n44也可將代入微分方程(2.26)，得到格式。由式(2.19.3)，可令則可得另一精度較高的六點差分格式，如前在式(2.42)中僅保留直到的項，即有13代入上式，則有如下差分格式：(2.45)稱為差分格式。38截斷誤差階

2323因為48前面，我們已經(jīng)推導了熱傳導方程(2.26)的古典顯式格式。古典隱式格式及格式等。實際上，它們都可以作為本節(jié)推導的加權(quán)六點隱式格式的特殊情形。2.3.3加權(quán)六點隱式格式由得到即用代替，則得差分格式或者(2.46)這是一個六點差分格式(如圖2.7所示)，稱為加權(quán)六點差分格式。40時,為古典顯式格式；時,為古典隱式格式；時,為格式；加權(quán)六點格式亦可直接由差商代替導數(shù)得到2.3.4系數(shù)依賴于的一維熱傳導方程的一個隱式格式的推導

由其展開式可得(2.47)的差分逼近?？紤]方程已知11令代入式(2.48)，則(2.48)因此43格式(2.49.1)具有截斷誤差階。這是一個隱式差分格式(如圖2.8所示)。(2.49.1)因此得差分方程(2.49.2)可寫成形式m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖2.8m-1,nm+1,n前節(jié)引進的隱式差分方程，在要求解未知函數(shù)值的時間層上包括三個未知函數(shù)值。因此，這些隱式差分格式僅僅適合于解如圖中所示的邊值問題。在每一時間層，需要求解的隱式差分方程形成了一個線性代數(shù)方程組，它的系數(shù)矩陣是三對角形矩陣，即僅在主對角線及其相鄰二條對角線上有非零元素。方程組寫成一般形式是2.4解三對角形方程的追趕法m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,nm,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,nm-1,nm+1,n(2.50)這一類方程可用追趕法求解。由方程組(2.50)中的第一個方程解出，得將此式代入方程組(2.50)的第二個方程，得到即令，則上式可寫為其中完全類似地，可以推出下面的公式(2.51)其中注意當時,。即將關(guān)系式代入式(2.50)中最后一個方程，得到若令則有。如果已經(jīng)算出，那么解向量的最后一個分量就已求得，為了求得的所有分量，只有利用方程(2.51)即可逐步求出,因此，整個求解過程分為兩大步：

,第一步依次確定計算公式可歸結(jié)為第二步依相反次序確定通常，第1步稱為“追”的過程，第2步稱為“趕”的過程，整個求解過程稱為追趕法。(2)(3)則上述追趕法過程是穩(wěn)定的。(1)可以論證，如果例2.2

說明用方法數(shù)值解如下定解問題的過程：由前已知格式為如果選擇，則，要解的方程組寫成矩陣形式是(2.52)相應于上述定解問題的差分方程組為其中，為七階方陣，為列向量，它們的表達式從式(2.52)可知。因為在求第層時，已計算得，(它們在中出現(xiàn))由邊值條件已知，故方程組右邊已知，且又因此可用追趕法求解方程組(2.52)，由方程組右邊值及可求出，然后順次，可求出。我們先看一個數(shù)值例子，考慮初邊值問題(2.53)其中2.5差分格式的穩(wěn)定性和收斂性2.5.1問題的提出利用顯式差分格式(2.29)，即式中。連同初值條件邊值條件逐層解出結(jié)點處的值?，F(xiàn)在對，取二種，使與。圖2.9和圖2.10中的曲線表示不同時刻微分方程的精確解，圖中“·”表示差分方程的解。圖2.9所示時的計算結(jié)果是曲線自上而下依次為微分方程的精確解。黑點是用差分格式在時算出的相應各層上的近似值。二者符合得很好，由于對稱性我們只給出一半圖形。圖2.10是當時差分方程解和微分方程精確解的圖示，黑點仍表示差分方程解，其中分別為在時的計算結(jié)果。從圖中看出，隨著的增大，差分方程的解越來越遠離微分方程的解。由此可見，值的不同，得出的結(jié)果有很大的差別，如的結(jié)果是可用的，但是時的結(jié)果就完全沒有用。當然上面各種情況所得的差分方程解是由計算機得到的，不可能是差分方程理論上的準確解，而是差分方程的近似解，我們用表示。顯然與之間存在著差別，差分方程的準確解與微分方程的解之間，如前所述,也是有差別的。因而從計算機上解得的差分方程近似解與微分方程解之間的差別實質(zhì)上包括兩方面的差別，即(2.54)下面我們先研究上式右邊第二項，即差分方程的理論解與計算機上解得的近似解之間的差別是隨著的增大而無限增加還是有所控制。如果這種差別是無限增加，則稱差分格式不穩(wěn)定，顯然不穩(wěn)定的格式是不能使用的,因為誤差的無限增加淹沒了真解。上例中時就是差分方程不穩(wěn)定的情況。從差分方程比如格式(2.29)可知，在求

第一層的差分方程解時，用到第0層上的值，也就是初始值。由于計算機存儲數(shù)據(jù)為二進制數(shù)位的限制,不可能完全精確地存儲在機器中，也就是計算用到的是帶有誤差的初始值。一般來說，在計算時又出現(xiàn)了誤差，因此中包括了由于參加運算而出現(xiàn)的誤差，即初始誤差的傳遞，以及本身計算過程中出現(xiàn)的誤差。這樣，在第時間層計算時得到的是由于前面的誤差傳遞和本身計算中出現(xiàn)的誤差引起的。下面我們給出研究差分格式穩(wěn)定性的最直接的方法，就是在第0層的一個結(jié)點上給出一個誤差，然后研究這個誤差的發(fā)展情況，即圖方法。假定在固定的某個結(jié)點引入一個誤差，即把改成了，而在這一層的其他結(jié)點上的初值還是，假定用帶有初始誤差的初值按差分格式去計算以后各排結(jié)點上的值，且假定計算時沒有引入其他誤差，我們把得到的值記做，這樣滿足原來的差分格式。假如我們使用差分格式(2.29)，于是2.5.2圖方法顯然兩解之差滿足(2.55)(2.56)以下分析當和時，隨著增加而變化的情況。先看的情況，由式(2.55)得由此利用條件(2.56)即可算出的值(見表2.3)。表2.3由表2.3可知，用顯式差分格式(2.29)()計算時，由初始數(shù)據(jù)的誤差，在以后各層所引起的誤差是逐層減小的，這說明差分格式(2.29)當時是穩(wěn)定的。再看的情形，由(2.55)得由此利用條件(2.56)即可得出的值(見表2.4)。表2.4可見，用顯式差分格式(2.29)()計算時，由初始數(shù)據(jù)的誤差所引起的誤差在以后各層的計算中逐層迅速增大，以致不能控制，因此差分格式(2.29)在時是不穩(wěn)定的。用圖方法討論格式的穩(wěn)定性能直觀地看到差分格式是穩(wěn)定性，缺點是必先固定。2.5.3穩(wěn)定性定義、穩(wěn)定性分析的矩陣方法

以下討論求初邊值問題差分方程寫成矩陣形式為：(2.57)其中為維列向量；；為已知向量；為包括邊值條件的向量；為階方陣，可以隨而改變。如果差分方程為顯式，則對所有的(2.58)如果，則隱式格式可寫成顯式形式設是初始值引進的誤差向量，而在邊值以及其他各層計算中未引入其它任何誤差。由于的引入，差分方程的解為。則我們說差分格式是穩(wěn)定的，其中是某一向量范數(shù)。穩(wěn)定性的定義：時，對于任何的，差分格式得到的解滿足不等式對于任意給定的，存在與無關(guān)且依賴于的正數(shù)，使當設向量，則常用的向量范數(shù)有：(1)(2)(3)它們分別稱為2-范數(shù)，1-范數(shù)和無窮范數(shù)，其中2-范數(shù)亦稱為歐氏范數(shù)。

(1)，其中，為的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，為的最大特征值；

(