第十一章 動荷載及交變應力

第1頁共22頁第十一章動荷載及交變應力內容提要一、動荷載靜荷載——構件上的荷載由零逐漸增加到最終值,且保持不變,加載過程中構件的加速度很小,可忽略不計。動荷載——構件上的荷載隨時間急劇變化,構件作加速運動。動荷因數(shù)(11-1)式中：、和分別為動荷載、動應力、動位移；、、分別為靜荷載、靜應力、靜位移。二、動靜法的應用動靜法——構件上的荷載、慣性力、支反力在形式上構成平衡力系,把動力學問題轉化為靜力學問題。1、構件以勻加速度a作直線運動慣性力為,(m為質量)動荷因數(shù)為(11-2)求解這類問題時,可不必加慣性力,首先按靜載求出靜應力、靜位移，再求出動荷因數(shù),則,。2、構件以角加速度作等速轉動。慣性力為式中：m為質量，R為回轉半徑，為角加速度。3、構件以角加速度作等加速轉動。慣性力偶矩為三、沖擊問題重量為P的重物，從高度為h處自由下落到AB桿的托盤上時，重物的速度在極短的時間內減少到零，產生向上的加速度，AB桿受到很大的沖擊荷載Fd(圖a，b)，但由于沖擊時間極短，無法確定加速度，不能用動靜法進行分析，在以下假設的基礎上用能量法作近似分析。假設：1、不計沖擊物的變形；2、不計被沖擊物的質量，被沖擊物的變形為線彈性；3、不計沖擊過程中的能量損失。由機械能守恒定律，得沖擊問題的計算原理為(11-3)式中：、分別為沖擊物在沖擊過程中動能和勢能的減少，為被沖擊物應變的增加。1、自由落體沖擊動荷因數(shù)為(11-4)式中，h為自由落體高度，為把沖擊物的重量作為靜荷載加在被沖擊物的沖擊點處，沖擊點沿沖擊方向的靜位移。2、水平沖擊動荷因數(shù)為(11-5)式中，v為沖擊物的水平速度，為把沖擊物的重量作為靜荷載加在被沖擊物的沖擊點處，沖擊點沿沖擊方向的靜位移。對于以上兩種沖擊問題，可直接利用動荷因數(shù)解題。對于其它的沖擊問題要利用求解。四、交變應力和金屬疲勞Ⅰ、交變應力構件內一點的應力隨時間t作交變變化稱為交變應力，圖11-2為交變應力的一個例子。應力循環(huán)——交變應力中應力每重復一次時，稱為一個應力循環(huán)，應力重復變化的次數(shù)稱為循環(huán)次數(shù)。交變應力的基本參量平均應力(11-6)應力幅(11-7)循環(huán)等征(11-8)稱為對稱循環(huán)，稱為非對稱循環(huán)，稱為脈動循環(huán)。Ⅱ、金屬的疲勞破壞金屬構件在交變應力下所發(fā)生的斷裂破壞稱為疲勞破壞。疲勞破壞的特點：1、構件內的最大工作應力低于材料的靜載作用時的強度極限；2、塑性較好的材料在斷裂前也無明顯的塑性變形；3、經過一定的循環(huán)次數(shù)。疲勞破壞的過程分為疲勞裂紋的形成、疲勞裂紋的擴展、脆性斷裂三個階段，斷口分為光滑區(qū)和粗糙區(qū)。疲勞壽命：構件發(fā)生疲勞破壞時所經歷的循環(huán)次數(shù)。材料的疲勞極限：標準試樣經歷無限次應力循環(huán)不發(fā)生疲勞破壞時交變應力中的最大工作應力。影響構件疲勞極限的主要因素：1、應力集中；2、尺寸大??；3、表面加工質量。對稱循環(huán)下構件的強度校核對稱彎曲對稱拉壓對稱扭轉式中，、為工作安全因數(shù)，為規(guī)定的安全因數(shù)，()、、()分別為尺寸因數(shù)、表面加工質量因數(shù)和應力集中因數(shù)，其大小可以有關圖表中查到。例11-1如圖a所示的簡支梁由兩根20a號工字鋼組成，跨度起重設備的重量為P1=5kN，以加速度a=3m/s2起吊重量為P2=50kN的重物。已知，試校核該梁的強度。不計梁和起吊鋼索的自重。解：重物P2的荷載系數(shù)為起重設備的重量P1為靜荷載，以加速度a上升的重物產生的動荷載為，所以作用梁上C截面的總荷載為梁的最大彎矩為查型鋼表20a工字鋼的W梁的最大彎曲正應力為該梁滿足強度要求。例11-2機車車輪的轉速為n=300r/s，連桿AB的橫截面為矩形，，，長度。車輪半徑為，如圖a所示。連桿材料的密度為=7.95kg/m3。試求連桿的最大彎曲正應力。解：車輪在轉動過程中，自重荷載的方向始終鉛垂向下，慣性力方向沿，當連桿AB旋轉到最低位置時，自重和慣性力方向相同，連桿受到的鉛垂力最大，如圖b所示。車輪的角速度為AB桿的自重和慣性力集度分別為AB桿的總荷載集度為連桿最大彎曲正應力為例11-3AB桿的重量為P，直徑為d，長度為l，以角速度繞鉛垂軸O—O轉動，如圖a所示。試求1、AB桿和O—O軸的夾角；2、AB桿內最大的彎曲正應力。解：AB桿的受力圖如圖b所示，自重的集度為P/l，慣性力的集度為垂直于AB桿的荷載分量如圖c所示。1、求在圖b中，由，得2、求由圖c得彎矩方程為其中令，得，在處彎矩為最大，最大彎矩為AB桿的最大正應力為例11-4正方形剛架，繞剛架平面內的鉛垂軸O—O以等角度轉動，如圖a所示，剛架各桿的直徑均為d，材料的密度為，彈性模量為E，試畫剛架的內力圖。不計自重荷載并不計剪力和軸力如位移的影響。解：水平桿和豎直桿慣性力的集度分別為，剛架的受力圖如圖b所示，由于剛架的結構和受力均是關于AB軸和CD軸為對稱的，取1/4剛架CB(圖c)進行分析。在B截面處反對稱的剪力為零，剛架鉛垂方向的荷載為零，故軸力為零，僅有多余未知力彎矩X。各段的彎矩方程及其對X的偏導數(shù)分別為，，位移條件為得剛架的軸力圖、剪力圖和彎矩分別如圖d、e、f所示。例11-5平均半徑為R的小曲率桿圓環(huán)，繞圓環(huán)平面內的鉛垂軸Oy以等角速度轉動，如圖a所示。圓環(huán)的彎曲剛度為EI，橫截面面積為A，材料的密度為，彈性模量為E。不計自重荷，并不計軸力和剪力對位移的影響，試求：1、圓環(huán)的最大彎矩及作用面位置；2、圓環(huán)A、B兩點的相對位移。解：1、求最大彎矩慣性力的集度為圓環(huán)的受力圖如圖b所示。由于圓環(huán)的結構和荷載均對稱于、，所以取出圓環(huán)進行研究。B截面處的反對稱的剪力為零，由于圓環(huán)上無鉛垂荷載，故軸力為零，僅有彎矩為多余未知力X。彎矩方程及其X的偏導數(shù)為由位移條件得彎矩方程為由，，解得或。所以最大彎矩發(fā)生在B截面，最大負彎矩發(fā)生在C截面，其值為(以圓環(huán)外側受拉時彎矩為正)根據(jù)對稱性可知，，2、求A、B間的相對位移在B截面處虛加水平力(圖c)，彎矩方程及其對的偏導數(shù)為令，則AB間的相對位移為例11-6重量為的重物自高度為處落下沖擊到梁上，如圖a所示。梁為工字鋼，，，CD桿的直徑，。梁和CD桿的材料相同，，，，穩(wěn)定安全因數(shù)。試校核該梁的強度和CD桿的穩(wěn)定性。不計CD桿的變形。解：1、按靜載荷問題解超靜定以重物P作為靜載，為多余未知力(圖b)，位移條件為，即得AB梁的彎矩圖如圖c所示。2、求動荷因數(shù)3、校核AB梁的強度AB梁滿足強度要求。4、校核CD桿的穩(wěn)定性CD桿所受的沖擊壓力為求CD桿的臨界力校核CD桿的穩(wěn)定性CD桿滿足穩(wěn)定性要求。例11-7重量為的重物，自高度處落下沖擊到剛架的B點處，如圖a所示。各桿的直徑均為，，，，。試求剛架B點的沖擊位移，并校核剛架的強度。解：1、解超靜定以P為靜載，為多余未知力(圖b)，位移條件為，由疊加法，得2、求動荷因數(shù)及B點的沖擊位移B點的沖擊位移為3、校核剛架的強度按第三強度理論計算危險截面(A截面)上由靜載產生的相當應力。剛架的沖擊應力為故剛架滿足強度要求。例11-8如圖a所示，重量為的重物從高度處落下沖擊到梁的E點處，梁AB的橫截面為矩形。，，BD桿的直徑，。梁和立柱的材料相同，，，梁的許用應力，立柱的穩(wěn)定安全因數(shù)。試校核梁的強度和立柱的穩(wěn)定性。解：1、校核梁的強度以重物P作為靜荷，(圖b)，其彎矩圖如圖c所示。E截面的撓度即為靜位移，略去BD桿的軸向變形，由疊加法得動荷因數(shù)為梁的最大沖擊應力為可見梁滿足強度要求。2、校核立柱的穩(wěn)定性立柱受到的壓力為求立柱的臨界力立柱的穩(wěn)定條件得所以立柱滿足穩(wěn)定性要求。例11-9圖a所示結構中，AC梁和CD壓桿均為矩形截面，，，，，長度。梁上作用的靜荷載，重量為的重物從高度處自由落下沖擊到梁上。梁和壓桿的材料相同，，，梁的許用應力，壓桿的穩(wěn)定安全因數(shù)。試校核梁的強度和壓桿CD的穩(wěn)定性。不計CD桿的軸向變形。解：1、解超靜把P作為靜荷載，解超靜定，求出A處的支反力再由平衡方程求出C處支反力，其結果如圖b所示。靜位移為動荷因數(shù)為沖擊荷載為只有靜荷載F作用時比照圖b可得A、C處的支反力如圖c所示。在靜載F和動荷載共同作用下A、C處的支反力分別為梁的彎矩圖如圖d所示。2、校核梁的強度未超的5%，故梁的強度條件滿足要求。3、校核CD桿的穩(wěn)定性臨界力為故CD桿的穩(wěn)定性滿足要求。討論：當結構同時受靜荷載和沖擊荷載作用時，動荷因數(shù)中的靜位移，是把沖擊物的重量P作用靜荷載，作用于梁的受沖擊點處，僅由P產生的梁上受沖擊點的靜位移；沖擊荷載為。然后再計算在靜載荷F和沖擊荷載同時作用時的內力。例11-10外伸梁AC的彎曲剛度為EI，重量為P的重物自高度h處落下沖擊到梁的C點處。為了減少梁內的沖擊應力，采用兩種方式設置緩沖彈簧，分別如圖a、b所示。設彈簧的剛度系數(shù)為k。試分別導出兩種情況的動荷因數(shù)，并比較兩種緩沖裝置的效果。解：兩種情況下均為自由落體沖擊，動荷因數(shù)為1、圖a以重物P為靜荷載(圖c)，其靜位移為令則動荷因數(shù)為2、圖b以重物P為靜荷載，彈簧的支反力X為多余未知力(圖d)，其位移條件為梁的撓度等于彈簧的縮短量，即引入得靜位移為動荷因數(shù)為3、比較兩種緩沖裝置的效果設重物下落的高度h遠大于相應的靜位移，可將動荷因數(shù)簡化為兩種情況下梁內的最大沖擊應力分別為其最大沖擊應力之比為當時，圖a的緩沖效果較好，當時，圖b的緩沖效果較好。例11-11懸臂梁AB的彎曲剛度為EI，A端為固定端，B端和支座的距離為，重量為P的重物以速度沖擊梁，如圖a所示。試求B截面和支座剛接觸時重物的速度之值。解：因為梁在沖擊荷載作用下，B截面和支座剛好接觸，所以B截面的沖擊位移，B截面的支反力。以重物P為靜荷載(圖b)，C截面的靜位移為動荷因數(shù)為B截面的靜位移和動位移分別為令，即得例11-12如圖a所示，AC桿上端重物的重量為P，AC桿以角速度繞A點轉動，沖擊到梁AB的D點，梁的EI和W為已知。試求動荷因數(shù)及梁內的最大沖擊應力。解：1、求動荷因數(shù)該題即非自由落體沖擊，也非水平沖擊，其動荷因數(shù)要根據(jù)機械能守恒定律進行推導。重物以水平速度為沖擊到梁的D點，梁的沖擊荷載為，沖擊位移為，如圖b所示。將重物P作為靜荷載，靜位移為，如圖c所示。其中重物減少的動能和勢能分別為梁的應變能為由機械能守恒定律，得用卡氏定理求，在圖c中，，動荷因數(shù)為2、求最大沖擊應力例11-13在圖a所示結構中，AB桿的拉伸剛度為EA，重量為P的重物自高度h處落下沖擊到AB桿的盤上。，彈簧的剛度系數(shù)為k。試求AB桿的沖擊應力。解：AB桿在沖擊荷載作用下，B端的位移受到彈簧的約束，彈簧受到壓力。重物減少的勢能轉化為AB桿和彈簧的應變能之和。顯然由重物減少的勢能僅轉化AB桿的應變能導出的公式已不適用，需要重新推導。位移關系及受力圖如圖b所示。圖中，為AB桿的動位移，為彈簧的動位移，且。AB桿和彈簧的沖擊荷載分別為和。重物P減少的勢能為AB桿和彈簧的應變能分別為式中，由能量守恒原理，得得AB桿的動位移為AB桿的沖擊荷載和沖擊應力分別為例11-14圖a所示結構中，三根桿的長度均為l，拉伸(壓縮)剛度均為EA，將重量為P的重物置于托盤上，突然松手，。求各桿的軸力。解：位移關系如圖b所示。三根桿的動變形分別為,三根桿的動軸力分別為、、，由胡克定理得，重物減小的勢能為各桿和結構的應變能分別為由能量守恒原理，得各桿的軸力分別為例11-15AB、CD梁的彎曲剛度均為EI，自由端的距離，重量為P的重物自高度h落下沖擊到AB梁的B端，如圖a所示。求梁受到的沖擊荷載。解：二梁的位移關系和自由端的受力關系如圖b所示，二梁的動撓度分別為和，沖擊荷載為和。重物勢能的減少為式中，二梁的應變能為由能量守恒原理，得AB和CD梁的動撓度為AB和CD梁受到沖擊的沖擊荷載分別，二梁所受的總的沖擊荷載為例11-16梁AB和CD的彎曲剛度均為EI，重量為P的重物自高度為h處以初速度沖擊到梁的B點處，如圖a所示。試求其動荷因數(shù)。解：1、推導動荷因數(shù)公式設作用在B點的沖擊荷載為，B點的沖擊位移為，將重物P以靜載方式作用在B點處，B點的位移為，其中