等比數(shù)列課件

2.4等比數(shù)列（一）掌握等比數(shù)列的定義，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)過程，并能應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式解決問題．課前自主學(xué)習(xí)1．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做________數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．答案：等比公比自學(xué)導(dǎo)引2．如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的________．答案：等比中項(xiàng)3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．答案：an＝a1qn－11．等比數(shù)列的公比能否為0，首項(xiàng)能否為0?答案：等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比都不為0.2．若G2＝ab，則a，G，b一定成等比數(shù)列嗎？答案：不一定，因?yàn)槿鬐＝0，且a，b中至少有一個(gè)為0，使G2＝ab，根據(jù)等比數(shù)列的定義，a，G，b不成等比數(shù)列．當(dāng)a，G，b全不為零時(shí)，若G2＝ab，則a，G，b成等比數(shù)列．自主探究A．a(chǎn)n＝a3qn－2 B．a(chǎn)n＝a3qn－1C．a(chǎn)n＝a3qn－3 D．a(chǎn)n＝a3qn－4解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝aqn－1＝an.答案：C預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)2．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么 (

)A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9解析：∵b是－1，－9的等比中項(xiàng)，∴b2＝9，b＝±3，又因?yàn)榈缺葦?shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中項(xiàng)，故b2＝ac，ac＝9，故選B答案：B課堂講練互動(dòng)1．等比數(shù)列的定義關(guān)于定義理解的幾點(diǎn)注意：(1)由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不能是0.要點(diǎn)闡釋(3)如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列．這時(shí)可以說此數(shù)列從第2項(xiàng)起或第3項(xiàng)起按原數(shù)列的項(xiàng)的排列順序組成一個(gè)新數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列．(4)項(xiàng)不為0的常數(shù)數(shù)列是等比數(shù)列．2．等比中項(xiàng)的應(yīng)用等比數(shù)列遞推關(guān)系an2＝an－1·an＋1(n≥2)，即說明等比數(shù)列的任何一項(xiàng)(除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng))都是其前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)．3．通項(xiàng)公式的應(yīng)用題型一等比數(shù)列的通項(xiàng)公式典例剖析方法點(diǎn)評(píng)：像等差數(shù)列的計(jì)算一樣，等比數(shù)列中基本量的計(jì)算是最重要、最基本的問題．(1)a2＝18，a4＝8，求a1與q；(2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.題型二等比數(shù)列的判斷方法點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列的判斷方法主要有以下幾種：∵a1，a2，a4成等比數(shù)列，∴a22＝a1a4.即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d.∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.當(dāng)a1＝d≠0時(shí)，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d，∴a62＝a4a9＝36d2，∴a4，a6，a9成等比數(shù)列．當(dāng)a1≠0且d＝0時(shí)，是非零常數(shù)列，滿足題意．綜上可知a4，a6，a9成等比數(shù)列．題型三等比中項(xiàng)的應(yīng)用【例3】等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項(xiàng)．方法點(diǎn)評(píng)：(1)首項(xiàng)a1和q是構(gòu)成等比數(shù)列的基本量，從基本量入手解決相關(guān)問題是研究等比數(shù)列的基本方法．(2)本題要注意同號(hào)的兩個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，而異號(hào)的兩個(gè)數(shù)沒有等比中頂．3．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，積為27，和為13，求這三個(gè)數(shù)．誤區(qū)解密忽視題中隱含條件而出錯(cuò)錯(cuò)因分析：注意b2的符號(hào)已經(jīng)確定，且b2＜0，忽視了這一隱含條件，就容易產(chǎn)生上面的錯(cuò)誤．2．公比q可為正數(shù)、負(fù)數(shù)．特殊地，當(dāng)q＝1時(shí)，為常數(shù)列a1，a1，…，又若a1≠0，則它既為等差數(shù)列，又為等比數(shù)列；當(dāng)q＝－1時(shí)，數(shù)列為a1，－a1，a1，－a1，….課堂總結(jié)4．公式中含有四個(gè)量a1，an，q，n，如果已知任意三個(gè)，可求第四個(gè)量．

2.4等比數(shù)列（二）進(jìn)一步鞏固等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，會(huì)用性質(zhì)靈活解決問題．課前自主學(xué)習(xí)答案：相等自學(xué)導(dǎo)引答案：等比答案：qm－n答案：等比答案：等比答案：如果等比數(shù)列的三項(xiàng)的序號(hào)成等差數(shù)列，那么對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列．事實(shí)上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，則am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.自主探究2．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？如果存在，你能舉出例子嗎？答案：存在．例如：an＝1，既是公差為0的等差數(shù)列，又是公比為1的等比數(shù)列．預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)答案：A答案：D4．在等比數(shù)列{an}中，a6·a15＋a9a12＝30，則前20項(xiàng)的積等于__________．解析：∵數(shù)列{an}成等比數(shù)列，∴a6·a15＝a9·a12，∴a6·a15＝15，∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10＝1510.答案：1510

課堂講練互動(dòng)1．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)的三項(xiàng)以上的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)數(shù)列，則仍是等比數(shù)列．(2)在等比數(shù)列中，我們?nèi)稳　伴g隔相同”的三項(xiàng)以上的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)數(shù)列，則仍是等比數(shù)列，如：等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…；a3，a5，a7，a9，a11…各自仍構(gòu)成等比數(shù)列．要點(diǎn)闡釋2．等差數(shù)列與等比數(shù)列等比數(shù)列與等差數(shù)列是非常重要的兩類數(shù)列，它們?cè)谝欢ǖ臈l件下，可以相互轉(zhuǎn)化，等比數(shù)列與等差數(shù)列相結(jié)合的題型是考查的重點(diǎn).定義(一字之差)通項(xiàng)公式結(jié)構(gòu)相似，性質(zhì)類似不同點(diǎn)聯(lián)系等差數(shù)列差和項(xiàng)沒有限制1.正項(xiàng)等比?為等差a>0且a≠1.2.{an}等差?等比b>0且b≠1等比數(shù)列商積項(xiàng)必須非零題型一等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用典例剖析解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162，∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13122.解法二：∵2、6、10三數(shù)成等差數(shù)列，∴a2、a6、a10成等比數(shù)列．方法點(diǎn)評(píng)：上述四種解法中，前三種解法是利用等比數(shù)列的性質(zhì)來解的，使問題變得簡(jiǎn)單，明了．因此要熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，在解有關(guān)等比數(shù)列的問題時(shí)，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用．1．在1與100之間插入n個(gè)正數(shù)，使這n＋2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的n個(gè)數(shù)的積為________．解析：利用性質(zhì)“aman＝apaq“便可迅速獲得，設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，則G2＝(a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝10n.答案：10n題型二等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合題【例2】三個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數(shù)列，求此三個(gè)數(shù)．方法點(diǎn)評(píng)：此類問題一般設(shè)成等差數(shù)列的數(shù)為未知數(shù)，然后利用等比數(shù)列知識(shí)建立等式求解．另外，對(duì)本題若設(shè)所求三數(shù)為a，b，c，則列出三個(gè)方程求解，運(yùn)算過程將繁冗些．因此，在計(jì)算過程中，設(shè)的未知數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能少．2．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)之和為37，中間兩數(shù)之和為36，求這四個(gè)數(shù)．誤區(qū)解密因沒數(shù)清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)致誤錯(cuò)因分析：對(duì)等差數(shù)列1,3，…，2n－1的項(xiàng)數(shù)沒數(shù)清．正解：∵a5·a2n－5＝22n＝an2，an＞0，∴an＝2n，∴l(xiāng)og2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)＝log22n2＝n2.故選B答案：B1．根據(jù)等比數(shù)列的定義知，等比數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)有以下幾種規(guī)律：各項(xiàng)均為正值；正負(fù)(或負(fù)正)相間；各項(xiàng)均為負(fù)值．2．設(shè)未知數(shù)的方法很多，原則是使得未知數(shù)盡量少，方程盡量簡(jiǎn)單，所以要根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)．3．一些數(shù)列通過適當(dāng)?shù)淖冃?，可以得到一個(gè)等比數(shù)列(或等差數(shù)列)，形如an＋1＝qan＋p的數(shù)列就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列．課堂總結(jié)2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）1．記住等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能夠利用公式求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．掌握前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法．

課前自主學(xué)習(xí)1．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝1，，則其前n項(xiàng)和Sn＝________.答案：na12．在等比數(shù)列{an}中，若公比q≠1，則其前n項(xiàng)和Sn＝________＝________.自學(xué)導(dǎo)引1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)有哪些關(guān)系？自主探究當(dāng)公比q＝1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù))．(2)當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是函數(shù)y＝－Aqx＋A圖象上的一群孤立的點(diǎn)．當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列S1，S2，S3，…，Sn，…的圖象是正比例函數(shù)y＝a1x圖象上的一群孤立的點(diǎn)．2．?dāng)?shù)列a，a2，a3，…，an，…一定是等比數(shù)列嗎？答案：不一定，例如當(dāng)a＝0時(shí)，數(shù)列就不是等比數(shù)列．1．等比數(shù)列1，a，a2，a3，…的前n項(xiàng)和為(

)預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)解析：要考慮到公比為1的情況，此時(shí)Sn＝n.答案：D2．?dāng)?shù)列{2n－1}的前99項(xiàng)和為 (

)A．2100－1 B．1－2100C．299－1 D．1－2992．?dāng)?shù)列{2n－1}的前99項(xiàng)和為 (

)A．2100－1 B．1－2100C．299－1 D．1－299答案：C3．若等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)的和為13，首項(xiàng)為1，則其公比為__________．答案：3或－4答案：1

課堂講練互動(dòng)1．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)設(shè)等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…它的前n項(xiàng)和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可將Sn寫成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①①式兩邊同乘以q得，qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn. ②①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1時(shí)，要點(diǎn)闡釋當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1.以上的推導(dǎo)方法叫做“錯(cuò)位相減法”．這是中學(xué)數(shù)學(xué)里比較重要的一種求和方法，要多用心體會(huì)．特別提示：(1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及通項(xiàng)公式涉及五個(gè)量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三個(gè)量，都可以通過建立方程(組)等手段求出其余兩個(gè)量，俗稱“知三求二”．(2)在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到公式的使用條件為q≠1，當(dāng)q＝1時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1.在解含字母參數(shù)的等比數(shù)列求和問題時(shí)，應(yīng)分別討論q≠1與q＝1兩種情況．2．等比數(shù)列的判定方法(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列．(2)an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．題型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算典例剖析【例1】在等比數(shù)列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.方法點(diǎn)評(píng)：(1)這是一類基礎(chǔ)題，要熟練應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，運(yùn)用方程的思想，解決兩個(gè)最基本的量：首項(xiàng)a1和公比q.在等比數(shù)列的求和問題中，經(jīng)常使用整體代換的思想．(2)在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意討論公比q＝1和q≠1兩種情況．1．若本例(1)中的條件不變，如何求{an}的通項(xiàng)公式？題型二錯(cuò)位相減法求和2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．(2)當(dāng)x≠1時(shí)，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1題型三判斷等比數(shù)列【例3】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝a2n－1(a≠0，±1；n∈N*)，試判斷{an}是否為等比數(shù)列，為什么？解：{an}是等比數(shù)列，理由如下：a1＝S1＝a2－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)＝(a2－1)a2n－2，此時(shí)，n＝1時(shí)，a1＝a2－1.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)．即數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a2－1，公比為a2的等比數(shù)列．方法點(diǎn)評(píng)：將已知條件Sn＝a2n－1與an＝Sn－Sn－1結(jié)合起來，得到n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式an＝(a2－1)a2n－2，特別注意的是，n＝1時(shí)即a1＝a2－1能否統(tǒng)一到an＝(a2－1)·a2n－2中去，如果能統(tǒng)一起來，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列，否則數(shù)列{an}不是等比數(shù)列．(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．誤區(qū)解密漏掉q＝1而導(dǎo)致錯(cuò)誤【例4】在數(shù)列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)求{an}的前n項(xiàng)和Sn.錯(cuò)因分析：等比數(shù)列求和，一定要注意公比是否等于1，否則將導(dǎo)致錯(cuò)誤．課堂總結(jié)2．在等比數(shù)列中的五個(gè)量Sn，n，a1，q，an中，由前n項(xiàng)和公式結(jié)合通項(xiàng)公式，知道三個(gè)量便可求其余的兩個(gè)量，同時(shí)還可以利用前n項(xiàng)和公式解與之有關(guān)的實(shí)際問題．3．錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的重要方法，必須理解數(shù)列特征及掌握求和方法．

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，并能用它解決等比數(shù)列的求和問題．掌握數(shù)列求和的重要方法——分組法與并項(xiàng)法．課前自主學(xué)習(xí)1．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列(公比q≠－1)，Sn為前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍構(gòu)成________數(shù)列．答案：等比2．若某數(shù)列前n項(xiàng)和公式為Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N*)，則{an}成________．答案：等比數(shù)列自學(xué)導(dǎo)引3．若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則①Sn＋m＝Sn＋qnSm.答案：q實(shí)際應(yīng)用題是高考中的重要內(nèi)容，那么關(guān)于解等比數(shù)列的應(yīng)用題的基本步驟是什么呢？答案：解答等比數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟：(1)閱讀理解材料，且對(duì)材料作適當(dāng)處理；(2)建立等比數(shù)列模型；(3)解數(shù)列模型．(4)回到實(shí)際問題．自主探究1．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝10，S20＝30，則S30＝ (

)A．70 B．90C．100 D．120解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列．∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，又∵S10＝10，S20＝30，∴可得S30＝70.答案：A預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)A．4 B．5 C．6 D．7答案：B3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－1，則此數(shù)列為 (

)A．等差數(shù)列

B．等比數(shù)列

C．常數(shù)數(shù)列

D．遞減數(shù)列解析：a1＝S1＝31－1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－1＋1＝2·3n－1.所以對(duì)任意的正整數(shù)n，an＝2×3n－1成立，因此數(shù)列為等比數(shù)列．答案：B4．若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝5n＋m，則m＝ (

)A．－1 B．1C．－5D．5解析：a1＝5＋m，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝5n－5n－1＝4·5n－1所以5＋m＝4，m＝－1.答案：A課堂講練互動(dòng)等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)(1)若某數(shù)列前n項(xiàng)和公式為Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則數(shù)列{an}成等比數(shù)列．(2)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則①Sn＋m＝Sn＋qn·Sm；要點(diǎn)闡釋③當(dāng)q≠－1時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)解題，可以簡(jiǎn)化計(jì)算量，提高解題速度．題型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例1】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為54，前2n項(xiàng)的和為60，則前3n項(xiàng)的和為 (

)典例剖析答案：D方法點(diǎn)評(píng)：以上解法是根據(jù)“若{an}是等比數(shù)列且q≠－1，則“Sn