專題05 全等三角形常見七大必考模型專訓(xùn)（原卷版）

專題05全等三角形常見七大必考模型專訓(xùn)【模型目錄】模型一平移模型模型二軸對稱模型模型三旋轉(zhuǎn)模型模型四一線三等角模型模型五垂直模型模型六手拉手模型模型七半角模型【經(jīng)典模型一平移模型】【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線．【常見模型】【例1】（2023春·全國·八年級期中）如圖所示的是重疊的兩個直角三角形，將其中一個直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，則圖中陰影部分面積為（

）A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm2【變式訓(xùn)練】1．（2021春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿方向平移得到，使點的對應(yīng)點恰好落在邊的中點上，點的對應(yīng)點在的延長線上，連接，、交于點．下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．、互相平分2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，點，，，在一條直線上，若將的邊沿方向平移，平移過程中始終滿足下列條件：，于點，于點，且．則當點，不重合時，與的關(guān)系是______．3．（2023秋·山東聊城·八年級校考期末）如圖（1），，，點C是上一點，且，．(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖（2），若把沿直線向左平移，使的頂點C與B重合，此時第（1）問中與的位置關(guān)系還成立嗎？說明理由．（注意字母的變化）．【經(jīng)典模型二軸對稱模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等．【常見模型】【例2】（2023秋·八年級單元測試）如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④．其中能使的條件有(

)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·安徽滁州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，與交于點，，分別與，交于點，，連接，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A． B．C． D．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）在①，②，③這三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接，，與相交于點．若________________，求證：．3．（2023春·廣東佛山·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，、分別為，的角平分線，兩線交于點．

(1)若，，則______；(2)若，則______；(3)若，用表示的，寫出詳細的步驟（不用寫理論依據(jù)）；(4)，，，三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)果，并說明理由（不用寫理論依據(jù)）．【經(jīng)典模型三旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件．【常見模型】【例3】（2021秋·湖北黃岡·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E為△ABC外一點，且∠CEA＝45°．求證：AE⊥BE．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，分別是邊上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，，分別是邊上的點，且；求證：，（3）如圖3，在四邊形中，，分別是邊延長線上的點，且，寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知，如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．(1)在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小亮將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；(2)如圖2，當繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？3．（2023春·全國·七年級期末）（1）問題引入：如圖1，點F是正方形ABCD邊CD上一點，連接AF，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時點G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）【經(jīng)典模型四一線三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常見模型】【例4】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）綜合與實踐數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“過等腰三角形頂點的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點A．小華分別過B、C兩點作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．易證，此時，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：；(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點C的坐標為，點B的坐標為．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點A的坐標：；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；②如圖丁，中，，，點D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①；②．(2)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，不必證明；(3)當直線繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，不必證明．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，點D在線段上運動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．(1)當時，_______，_______，_______；點D從B向C運動時，逐漸變_______（填“大”或“小”）；(2)當DC等于多少時，，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)，若不可以，請說明理由．【經(jīng)典模型五垂直模型】【模型解讀】模型主體為兩個直角三角形，且兩條斜邊互相垂直．【常見模型】【例5】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，，，于點E，于點D，，，則的長是（

）A．8 B．4 C．3 D．22．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在中，以為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．連接為邊上的高線，延長交于點N，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有____________(填序號)．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知，中，，，直線m過點A，且于D，于E，當直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：與、的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）【經(jīng)典模型六手拉手模型】【模型分析】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等．【模型圖示】公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”．對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得．【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）【例6】（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學(xué)?？计谥校┰谥?，，點是直線上一點（不與、重合），把線路繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至（即），使得，連接、．(1)如圖1，點在線段上，如果，則__________度．

(2)如圖2，當點在線段上，如果，則__________度．

(3)如圖3，設(shè)，，當點在線段上移動時，，的數(shù)量關(guān)系是什么？請說明理由．

(4)設(shè)，，當點在直線上移動時，請直接寫出，的數(shù)量關(guān)系，不用證明．2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）在中，，為延長線上一點，點為線段，的垂直平分線的交點，連接，，．(1)如圖1，當時，則______°；(2)當時，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點，滿足．為直線上一動點．當?shù)闹底畲髸r，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，點O是中點，，將繞點O旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與射線、交于點D、E．(1)當轉(zhuǎn)動至如圖一所示的位置時，連接，求證：；(2)當轉(zhuǎn)動至如圖二所示的位置時，線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【經(jīng)典模型七半角模型】【模型分析】過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型．【常見模型】常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論．【例7】（2023秋·江蘇揚州·八年級校考期末）綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且，請直接寫出EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┮阎哼呴L為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．3．（2023春·重慶南岸·八年級重慶市南坪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過程）（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長線上的點，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請完成證明，若不成立，請說明理由．【重難點訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，為邊上的中線．

(1)按要求作圖：延長到點E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長到M，使得②連接，通過三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，是的中線，，，，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．4．（2022秋·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.5．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）6．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過點直線，直線，垂足分別為點．求證：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知中，，，是過的一條直線，且，在，的同側(cè)，于，于．（1）證明：；（2）試說明：；（3）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時，在，的異側(cè)）時，其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請證明；（4）若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時，在，的同側(cè)）時其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明理由．8．（2020秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，點C和點D在AB的異側(cè)，點E為AD邊上的一點，且AC＝AE，連接CE交直線AB于點G，過點A作AF⊥AD交直線CE于點F．（Ⅰ）求證：△AGE≌△AFC；（Ⅱ）若AB＝AC，求證：AD＝AF+BD；（Ⅲ）如圖2，若AB＝AC，點C和點D在AB的同側(cè)，題目其他條件不變，直接寫出線段AD，AF，BD的數(shù)量關(guān)系．9．（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得AD＝CD，這個性質(zhì)是；②在圖2中，求證：AD＝CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD＝BC．10．（2021秋·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）某中學(xué)八年級學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)知識時時，經(jīng)歷了以下學(xué)習(xí)過程：（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，若平分，時，可以得出，為中點，請用所學(xué)知識證明此結(jié)論．（2）【學(xué)以致用】如果和等腰有一個公共的頂點，如圖2，若頂點與頂點也重合，且，試探究線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在（2）的前提下，若頂點與頂點不重合，，（2）中的結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論11．（2020秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）過正方形（四邊都相等，四個角都是直角）的頂點作一條直線．

（1）當不與正方形任何一邊相交時，過點作于點，過點作于點如圖（1），請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若改變直線的位置，使與邊相交如圖（2），其它條件不變，，，的關(guān)系會發(fā)生變化，請直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明；（3）若繼續(xù)改變直線的位置，使與邊相交如圖（3），其它條件不變，，，的關(guān)系又會發(fā)生變化，請直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明．12．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）探究：如圖①，在中，，，直線經(jīng)過點，于點，于點，求證：．應(yīng)用：如圖②，在中，，三點都在直線上，并且有．求出和的關(guān)系．拓展：如圖①中，若，梯形的面積______．13．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，．（1）如圖①所示，直線過點，于點，于點，且．求證：．（2）如圖②所示，直線過點，交于點，交于點，且，則是否成立？請說明理由．14．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長CB到點E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進行證明．15．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接