專題02 全等模型-一線三等角（K字）模型（解析版）

專題02全等模型--一線三等角（K字）模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）【模型解讀】在某條直線上有三個(gè)角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個(gè)三角形全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】同側(cè)型一線三等角（常見）：銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：+CE=DE證明思路：+任一邊相等例1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）探究：如圖①，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．應(yīng)用：如圖②，在中，，三點(diǎn)都在直線上，并且有．求出和的關(guān)系．拓展：如圖①中，若，梯形的面積______．【答案】探究：證明過程見詳解；應(yīng)用：，理由見詳解；拓展：【分析】探究：，，可知是等腰直角三角形，，，可知，可求出，根據(jù)角角邊即可求證；應(yīng)用：，三點(diǎn)都在直線上，，可求出，可證，可得，由此即可求解；拓展：由，可知，設(shè)，則，根據(jù)梯形面積公式即可求解．【詳解】探究：證明：∵，直線經(jīng)過點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴點(diǎn)三點(diǎn)都在直線上，∴，，∴，在，中，，∴；應(yīng)用：∵，三點(diǎn)都在直線上，，∴，，∴，在，中，，∴，∴，∵，∴；拓展：由探究可知，，，∴，設(shè)，則，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形，全等三角形，梯形的綜合，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，梯形的面積計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·廣西·七年級期末）已知，在中，，三點(diǎn)都在直線m上，且．(1)如圖①，若，則與的數(shù)量關(guān)系為___________，與的數(shù)量關(guān)系為___________；(2)如圖②，判斷并說明線段，與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，若只保持，點(diǎn)A在線段上以的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段上以的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．是否存在x，使得與全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得，再利用證明得；（2）由（1）同理可得，得，可得答案；（3）分或兩種情形，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可解決問題．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2），由（1）同理可得，∴，∴；（3）存在，當(dāng)時(shí)，∴，∴，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，∴∴，，綜上：或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．例3．（2022·陜西七年級期末）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，據(jù)同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知條件可證△ABC≌△CED，可得答案；（2）過D作DE⊥BC交BC延長線于E，同（1）中的方法，可證△ABC≌△CED，可得答案；（3）過A作AE⊥CD于E，過B作BF⊥CD交DC延長線于F，由△ACD面積為12且CD的長為6，可得AE＝4，進(jìn)而可得CE=2，同（1）中證法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性質(zhì)可求得答案．【詳解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案為：7；（2）過D作DE⊥BC交BC延長線于E，如圖：∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC?DE＝8；（3）過A作AE⊥CD于E，過B作BF⊥CD交DC延長線于F，如圖：∵△ACD面積為12且CD的長為6，∴×6?AE＝12，∴AE＝4，∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2，∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD?BF＝6．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，屬于類比探究類的題目，掌握模型思想，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．(1)當(dāng)時(shí)，_____，_____，_____；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變_____（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時(shí)，，請說明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)，若不可以，請說明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)當(dāng)時(shí)，，理由見解析；(3)當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時(shí)，的形狀是等腰三角形．【分析】（1）先求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)，根據(jù)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸增大，而不變化，，即可得到答案；（2）根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可；（3）先證明當(dāng)時(shí)等腰三角形，只存在或兩種情況，然后分這兩種情況討論求解即可；【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∵點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸增大，而不變化，，∴點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變小，故答案為：25，25，65，?。唬?）解：當(dāng)時(shí)，，理由：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為110°或80°時(shí)，的形狀是等腰三角形，理由：∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)等腰三角形，只存在或兩種情況，當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∴，∴，綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時(shí)，的形狀是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．模型2.一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）【模型解讀】在某條直線上有三個(gè)角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個(gè)三角形全等。【常見模型及證法】異側(cè)型一線三等角：銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：+任意一邊相等證明思路：+任一邊相等例1．（2022春·江蘇宿遷·七年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E是∠ACB內(nèi)部一點(diǎn)，連接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點(diǎn)D，E．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）請直接寫出AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）見解析；（2）AD＝BE+DE【分析】（1）由“AAS”可證△BCE≌△CAD；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BE＝DC，AD＝CE，即可求解．【詳解】證明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）∵△BCE≌△CAD，∴BE＝DC，AD＝CE，∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE，故答案為：AD＝BE+DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．也考查了余角的性質(zhì)和勾股定理．例2．（2022·無錫市九年級月考）（1）如圖1，直線m經(jīng)過等腰直角△ABC的直角頂點(diǎn)A，過點(diǎn)B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別是D、E．求證：BD＋CE＝DE；（2）如圖2，直線m經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A，AB＝AC，在直線m上取兩點(diǎn)D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補(bǔ)充∠BAC＝（用α表示），線段BD、CE與DE之間滿足BD＋CE＝DE，補(bǔ)充條件后并證明；（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過觀察或測量，猜想線段BD、CE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【答案】（1）證明見詳解，（2）∠BAC=，證法見詳解，（3）180o-，DE=EC-BD，證明見詳解．【分析】（1）根據(jù)已知首先證明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）補(bǔ)充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形對應(yīng)邊之間的關(guān)系，即可得出答案；（3）180o-α，DE=CE-BD，根據(jù)已知首先證明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形對應(yīng)邊之間的關(guān)系，即可得出答案．【詳解】證明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90o，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180o-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180o-α，數(shù)量關(guān)系為DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝

180o-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【點(diǎn)睛】點(diǎn)評：此題主要考查了三角形全等的證明，根據(jù)已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解決問題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】(1)如圖，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到__________，．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；【模型應(yīng)用】(2)如圖，，，，連接，，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；【深入探究】(3)如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有__________（填“＞、、＜”）(4)如圖，點(diǎn)、、、、都在同一條直線上，四邊形、、都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形的面積是4，則的面積是__________．【答案】(1)DE(2)見解析(3)(4)2【分析】（1）利用全等三角形對應(yīng)邊相等，可知；（2）分別過點(diǎn)和點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．利用“字”模型證，，同理得出，推出．再證明，推出，即可證明點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）過點(diǎn)D作交AF于O，過點(diǎn)E作交OD延長線于N，過點(diǎn)C作交OD延長線于M．先證，，推出，，．再證，推出，再通過等量代換證明；（4）同（3）可證，，由勾股定理解直角可得，等量代換可得，可知，由此可解．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）證明：分別過點(diǎn)和點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，，，∴，∴，同理可證，∴．∵，，∴，在和中，，，，∴，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)；（3）解：如圖所示，過點(diǎn)D作交AF于O，過點(diǎn)E作交OD延長線于N，過點(diǎn)C作交OD延長線于M．∵四邊形與四邊形都是正方形，∴，，，∵，，∴，，，又∵，∴，在和中，，，，∴，∴，．同理可以證明，∴，，∴．又∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，即；（4）解：同（3）中的方法可以證明，且，．由勾股定理得：，∴，∴，∵圖形總面積是16，正方形KCMG的面積是4，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查“字”模型的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“字”模型和類比推理思想．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·湖南·長沙市二模）如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足為D、E，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，5），則線段DE的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OA=BO，∠AOB=90°，證明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD=OE=5，OD=BE=2，則可得出答案．【詳解】解：∵A（-2，5），AD⊥x軸，∴AD=5，OD=2，∵△ABO為等腰直角三角形，∴OA=BO，∠AOB=90°，∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，∴∠DAO=∠BOE，在△ADO和△OEB中，，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴AD=OE=5，OD=BE=2，∴DE=OD+OE=5+2=7．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣西·八年級假期作業(yè)）如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，則的長是（

）A．8 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，觀察圖形得，，然后證后求解．【詳解】解：，，于，于，，，又，，．，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解，發(fā)現(xiàn)并利用，，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則__________．

【答案】7【分析】根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的證明三角形全等．4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，直線l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分別為P、Q，一塊含有45°的直角三角板的頂點(diǎn)A、B、C分別在直線l1、l2、線段PQ上，點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn)，若PQ等于，則OQ的長等于_____．【答案】【分析】由“AAS”可證△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可證△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，連接PO，并延長交l2于點(diǎn)H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l(xiāng)1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，，∴△ACP≌△CBQ（AAS），∴AP＝CQ，PC＝BQ，∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，∵AP∥BQ，∴∠OAP＝∠OBH，∵點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn)，∴AO＝BO，在△APO和△BHO中，，∴△APO≌△BHO（AAS），∴AP＝BH，OP＝OH，∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，∴PQ＝QH＝，∵∠PQH＝90°，∴PH＝PQ＝12，∵OP＝OH，∠PQH＝90°，∴OQ＝PH＝6．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級期末）如圖，已知和均是直角三角形，，，于點(diǎn)．（1）求證：≌；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）cm【分析】（1）根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）可得cm，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得cm，根據(jù)勾股定理即可求出的長．【詳解】解：（1）證明：，，，，，，在和中，，；（2），cm，點(diǎn)是的中點(diǎn)，cm，cm，在中，根據(jù)勾股定理，得cm．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．6．（2023·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、CD上的點(diǎn)，DE=AF．（1）求證：△ADF≌△DCE；（2）求證：AF⊥DE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，根據(jù)推出兩三角形全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，求出，即可得出答案．【詳解】證明：（1）四邊形為正方形，，，在與中，；（2）設(shè)與交于，由（1）得，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出是解此題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（），點(diǎn)在上，點(diǎn)和分別與木墻的頂端重合．（1）求證：；（2）求兩堵木墻之間的距離．

【答案】（1）證明見解析；（2）兩堵木墻之間的距離為．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證，然后利用AAS即可證出；（2）根據(jù)題意即可求出AD和BE的長，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出DC和CE，從而求出DE的長．【詳解】（1）證明：由題意得：，，∴，∴，∴在和中，∴；（2）解：由題意得：，∵，∴，∴，答：兩堵木墻之間的距離為．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“過等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點(diǎn)A．小華分別過B、C兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．易證，此時(shí)，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：_______；(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)：_____；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個(gè)等腰，，且，她在直線l上取兩點(diǎn)D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；②如圖丁，中，，，點(diǎn)D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)①，理由見解析；②【分析】（1）由全等得到邊長關(guān)系即可．（2）分別按照（1）中情形過A、B做出軸垂線，得到三角形全等后根據(jù)邊長關(guān)系得到點(diǎn)A坐標(biāo)．（3）①將（1）中互余的角度變成計(jì)算關(guān)系，仍可得角度相等，從而得到全等的三角形，進(jìn)而得到邊長關(guān)系．②根據(jù)①可證全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到邊長關(guān)系．【詳解】（1）由等腰直角得，，又，又，，（2）過A、B作出軸垂線，，由（1）可得，，又得，，，，（3）①又，，②與①中同理可得分別取，中點(diǎn)，連接．，,又又在與中，【點(diǎn)睛】本題考查一線三等角模型，注重模仿推理能力，結(jié)合一個(gè)示范作遷移應(yīng)用，需要大膽參考示范進(jìn)行相同位置圖像的關(guān)系論證．對知識(shí)點(diǎn)的充分理解和遷移是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點(diǎn)B在直線l上，分別過點(diǎn)A、C作于E，于F．若，，則的長為________．【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm【分析】①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△AED≌△BDF；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△BDE≌△CFD；③根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性質(zhì)即可求得EF的長；（2）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△COE≌△OAD，從而可求得OE、CE的長，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）由三個(gè)垂直及等腰直角三角形可證明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)即可求得BE的長．【詳解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜?∠B=135゜∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜?∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS)答案為：△BDF；②∵△ABC是等邊三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜?∠B=120゜∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜?∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案為：△CFD；③∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜?∠ABC=90゜∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB=90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS)∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3故答案為：3；（2）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，如圖所示∵四邊形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜?∠ACO=90゜∵AD⊥x軸，CE⊥x軸∴∠CEO=∠ADO=90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD在△COE和△OAD中∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD∵∴OD=1，∴CE=1，∵點(diǎn)C在第二象限∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為故答案為：；（3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD=90゜∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠CEB=∠ADC=90゜∴∠BCE+∠CBE=90゜∴∠CBE=∠ACD在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS)∴BE=CD，CE=AD=6cm∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)【點(diǎn)睛】本題是三角形全等的綜合，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是關(guān)鍵．10．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)0.8cm(2)，證明見解析(3)結(jié)論成立，證明見解析【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）．證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）結(jié)論成立，證明：，∴，在和中，，∴，∴，∴；即結(jié)論成立；【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇·八年級期末）【基礎(chǔ)模型】已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB，過點(diǎn)C任作一條直線l（不與CA、CB重合），過點(diǎn)A作AD⊥l于D，過點(diǎn)B作BE⊥l于E．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，求證：△ACD≌△CBE【模型應(yīng)用】在平面直角坐標(biāo)性xOy中，已知直線l：y＝kx﹣4k（k為常數(shù)，k≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B．以AB為邊、B為直角頂點(diǎn)作等腰直角△ABC．（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣3），當(dāng)點(diǎn)C在第三象限時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（3）若D是函數(shù)y＝x（x＜0）圖象上的點(diǎn)，且BD∥x軸，當(dāng)點(diǎn)C在第四象限時(shí)，連接CD交y軸于點(diǎn)E，則EB的長度為．（4）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，b），探索a，b之間滿足的等量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．（不含字母k）【答案】（1）詳見解析；（2）(﹣6，﹣2)；（3）2；（4）a+b=-4或b﹣a＝4．【分析】（1）利用同角的余角相等判斷出∠CAD＝∠BCE，進(jìn)而利用AAS即可得出結(jié)論；（2）先求出直線l的解析式，進(jìn)而確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法可得△OAB≌△FBC，從而得BF＝OA＝4，再證△BED≌△FEC（AAS），即可得到答案；（4）分點(diǎn)C在第二象限，第三象限和第四象限三種情況：先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再同（2）（3）的方法確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)（用k表示），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵CA＝CB，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）如圖1，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，∵直線l：y＝kx﹣4k經(jīng)過點(diǎn)(2，﹣3)，∴2k﹣4k＝﹣3，∴k＝，∴直線l的解析式為：y＝x﹣6，令x＝0，則y＝﹣6，∴B(0，﹣6)，∴OB＝6，令y＝0，則0＝x﹣6，∴x＝4，∴A(4，0)，∴OA＝4，同（1）的方法得：△OAB≌△EBC（AAS），∴CE＝OB＝6，BE＝OA＝4，∴OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，∵點(diǎn)C在第三象限，∴C(﹣6，﹣2)，故答案為：(﹣6，﹣2)；（3）如圖2，對于直線l：y＝kx﹣4k，令x＝0，則y＝﹣4k，∴B(0，﹣4k)，∴OB＝4k，令y＝0，則kx﹣4k＝0，∴x＝4，∴A(4，0)，∴OA＝4，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于F，則△OAB≌△FBC（AAS），∴BF＝OA＝4，CF＝OB＝4k，∴OF＝OB+BF＝4k+4，∵點(diǎn)C在第四象限，∴C(4k，-4k-4)，∵B(0，﹣4k)，∵BD∥x軸，且D在y＝x上，∴D(﹣4k，﹣4k)，∴BD＝4k＝CF，∵CF⊥y軸于F，∴∠CFE＝90°，∵BD∥x軸，∴∠DBE＝90°＝∠CFE，∵∠BED＝∠FEC，∴△BED≌△FEC（AAS），∴BE＝EF＝BF＝2，故答案為：2；（4）①當(dāng)點(diǎn)C在第四象限時(shí)，由（3）知，C(4k，-4k-4)，∵C(a，b)，∴a＝4k，b＝-4k-4，∴a+b=-4；②當(dāng)點(diǎn)C在第三象限時(shí)，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，∴OB＝4k，OA＝4，如圖1，由（2）知，△OAB≌△EBC（AAS），∴CE＝OB＝4k，BE＝OA＝4，∴OE＝OB﹣BE＝4k﹣4，∴C(﹣4k，-4k+4)，∵C(a，b)，∴a＝﹣4k，b＝-4k+4，∴b﹣a＝4；③當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，如圖3，由（3）知，B(0，﹣4k)，A(4，0)，∴OB＝4k，OA＝4，∵△OAB≌△MBC（AAS），∴CM＝OB＝4k，BM＝OA＝4，∴OM＝BM﹣BO＝4﹣4k，∴C(﹣4k，4﹣4k)，∵C(a，b)，∴a＝﹣4k，b＝4﹣4k，∴b﹣a＝4；④點(diǎn)C不可能在第一象限；綜上所述：a+b=-4或b﹣a＝4．圖3【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理與等腰直角三角形的性質(zhì)定理以及一次函數(shù)圖象的綜合，掌握“一線三垂直”三角形全等模型，是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇·八年級期末）閱讀下列材料，并按要求解答．【模型建立】如圖①，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：△BEC≌△CDA．【模型應(yīng)用】應(yīng)用1：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，BC＝10，AB2＝200．求線段BD的長．應(yīng)用2：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，紙片△OPQ為等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），點(diǎn)Q始終在直線OP的上方．（1）折疊紙片，使得點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，折痕所在的直線l過點(diǎn)Q且與線段OP交于點(diǎn)M，當(dāng)m＝2時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)和直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若無論m取何值，點(diǎn)Q總在某條確定的直線上，請直接寫出這條直線的解析式．【答案】模型建立：見解析；應(yīng)用1：2；應(yīng)用2：（1）Q(1，3)，交點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)；（2）y＝﹣x+4【分析】根據(jù)AAS證明△BEC≌△CDA，即可；應(yīng)用1：連接AC，過點(diǎn)B作BH⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)H，易證△ADC≌△CHB，結(jié)合勾股定理，即可求解；應(yīng)用2：（1）過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)Q作QK⊥y軸于點(diǎn)K，直線KQ和直線NP相交于點(diǎn)H，易得：△OKQ≌△QHP，設(shè)H(4，y)，列出方程，求出y的值，進(jìn)而求出Q(1，3)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得P(4，2)，即可得到直線l的函數(shù)解析式，進(jìn)而求出直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y(tǒng)，可得：y＝﹣x+4，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】如圖①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△BEC≌△CDA（AAS）；應(yīng)用1：如圖②，連接AC，過點(diǎn)B作BH⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)H，∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝10，∵BC＝10，AB2＝200，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，∵AC＝BC＝10，∴△ADC≌△CHB（AAS），∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，∴DH=6+8=14，∵BH⊥DC，∴BD＝＝2；應(yīng)用2：（1）如圖③，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)Q作QK⊥y軸于點(diǎn)K，直線KQ和直線NP相交于點(diǎn)H，由題意易：△OKQ≌△QHP（AAS），設(shè)H(4，y)，那么KQ＝PH＝y(tǒng)﹣m＝y(tǒng)﹣2，OK＝QH＝4﹣KQ＝6﹣y，又∵OK＝y(tǒng)，∴6﹣y＝y(tǒng)，y＝3，∴Q(1，3)，∵折疊紙片，使得點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，折痕所在的直線l過點(diǎn)Q且與線段OP交于點(diǎn)M，∴點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，∵P(4，2)，∴M(2，1)，設(shè)直線QM的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，把Q(1，3)，M(2，1)，代入上式得：，解得：∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣2x+5，∴該直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)；（2）∵△OKQ≌△QHP，∴QK＝PH，OK＝HQ，設(shè)Q(x，y)，∴KQ＝x，OK＝HQ＝y(tǒng)，∴x+y＝KQ+HQ＝4，∴y＝﹣x+4，∴無論m取何值，點(diǎn)Q總在某條確定的直線上，這條直線的解析式為：y＝﹣x+4，故答案為：y＝﹣x+4．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理，勾股定理，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握“一線三垂直”模型，待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）模型構(gòu)建：如圖1，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，AB的垂直平分線交MN于點(diǎn)P，連接AP、BP．若，求證：．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用：如圖2，在中，D是BC上一點(diǎn)，，，，求的面積．實(shí)際運(yùn)用：建設(shè)“交通強(qiáng)國”是滿足人民日益增長的美好生活需要的必然要求．建設(shè)“美麗公路”是落實(shí)美麗中國建設(shè)、回應(yīng)人民日益增長的美好生活對優(yōu)美生態(tài)環(huán)境的需要．如圖3是某地一省道與國道相交處的示意圖，點(diǎn)Q處是一座古亭，鵝卵石路QA、QB以及兩旁栽有常青樹，其它區(qū)域種植不同的花卉；設(shè)計(jì)要求，，是以Q為圓心、QA為半徑的圓弧（不計(jì)路寬，下同）．請?jiān)趫D4中畫出符合條件的設(shè)計(jì)圖，要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，標(biāo)注必要的字母，寫出詳細(xì)的作法，不要求說明理由；【答案】模型構(gòu)建：見解析；數(shù)學(xué)應(yīng)用：16；實(shí)際運(yùn)用：（1）見解析；（2）()米．【分析】模型構(gòu)建：由題意證得即可證明．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用：作，根據(jù)三角形全等可求得的長度，然后根據(jù)面積公式即可求得．實(shí)際運(yùn)用：（1）作垂直于國道，然后構(gòu)造出一線三直角模型，即可畫出設(shè)計(jì)圖．（2）由兩條公路所夾銳角的正切值和的長度求出的長度，然后根據(jù)三角形全等可求得和的長度，根據(jù)勾股定理和扇形弧長公式即可求得．【詳解】模型構(gòu)建：∵AB的垂直平分線交MN于點(diǎn)P，∴，又∵，，∴，，∴，∴在中，∴，∴，∴．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用：如圖，作，∵，，∴．∵，∴，∴，在，∴，∴，∴．實(shí)際運(yùn)用：（1）過點(diǎn)Q作QH垂直于國道于點(diǎn)H，過點(diǎn)Q作國道的平行線交省道于點(diǎn)N，以QH為半徑，Q點(diǎn)為圓心畫弧交QN于點(diǎn)K，過點(diǎn)K作國道的垂線交省道于點(diǎn)B，連接QB，以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑畫弧，交國道于點(diǎn)A，作圖如下．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形面積的求法，勾股定理，扇形弧長的求法，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出一線三等角模型是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級期末）已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分別與過點(diǎn)C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學(xué)習(xí)完第十二章后，張老師首先讓同學(xué)們完成問題1：如圖1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關(guān)系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】BE的長為0.8cm；DE=AD+BE．【分析】如圖1，由“AAS”可證△ACD≌△CBE，可得AD=CE=2.5cm，BE=CD，由線段的和差關(guān)系可求解；如圖2，由“AAS”可證△ACD≌△CBE，可得AD=CE，BE=CD，即可求解．【詳解】解：如圖1，∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE=2.5cm，BE=CD，∵DE=1.7cm，∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm，∴BE的長為0.8cm；如圖2，DE=AD+BE，理由如下：∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，∴DE=AD+BE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·八年級課時(shí)練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)，在的邊、上，，點(diǎn)，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）【答案】（1）0.8cm；（2）見解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；（3）先證明△ABE≌△CAF，得到與的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)故可求解．【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE?DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5?1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案為：0.8cm；（2）證明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF