海南省樂東思源高中2024年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

海南省樂東思源高中2024年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的對稱軸不可能為()A. B. C. D.2.已知函數(shù)是上的減函數(shù),當(dāng)最小時,若函數(shù)恰有兩個零點(diǎn),則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.3.下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運(yùn)期間,六個城市售出的往返機(jī)票的平均價格(單位元),以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖,以下敘述不正確的是()A.深圳的變化幅度最小,北京的平均價格最高B.天津的往返機(jī)票平均價格變化最大C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價格基本相當(dāng)D.相比于上一年同期,其中四個城市的往返機(jī)票平均價格在增加4.設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.5.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a6.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.7.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點(diǎn),異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且8.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.9.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,10.橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.11.音樂,是用聲音來展現(xiàn)美,給人以聽覺上的享受,熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì),他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述,它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和,其中頻率最低的一項是基本音,其余的為泛音.由樂聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波.下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂音的是()A. B. C. D.12.若,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.?dāng)?shù)列滿足遞推公式,且,則___________.14.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點(diǎn)F,兩曲線的一個交點(diǎn)為P,若|FP|=5,則點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為_____.15.已知,則滿足的的取值范圍為_______.16.若曲線(其中常數(shù))在點(diǎn)處的切線的斜率為1,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)我國在2018年社保又出新的好消息,之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后,社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣,費(fèi)時費(fèi)力.社保改革后將簡化手續(xù),深得流動就業(yè)人員的贊譽(yù).某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,得到其辦理手續(xù)所需時間(天)與人數(shù)的頻數(shù)分布表:時間人數(shù)156090754515(1)若300名辦理社保的人員中流動人員210人,非流動人員90人,若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人,請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關(guān).列聯(lián)表如下流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天辦理社保手續(xù)所需時間超過4天60總計21090300(2)為了改進(jìn)工作作風(fēng),提高效率,從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣,抽取12名流動人員召開座談會,其中3人要求交書面材料,3人中辦理的時間為的人數(shù)為,求出分布列及期望值.附:0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87918.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個焦點(diǎn),與的公共弦的長為.(1)求的方程;(2)過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn),與相交于、兩點(diǎn),且與同向,設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為,證明:直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時,總是鈍角三角形;(3)為上的動點(diǎn),、為長軸的兩個端點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線交橢圓于點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線交橢圓于點(diǎn),請問的面積是否為定值,并說明理由.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為實數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線與曲線交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.(1)求線段長的最小值;(2)求點(diǎn)的軌跡方程.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè)直線是曲線的切線,若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率時切線的方程.(3)已知分別在,處取得極值,求證:.21.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.22.(10分)如圖在直角中,為直角,,,分別為,的中點(diǎn),將沿折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,連接,,為的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性,得出結(jié)論.【詳解】對于函數(shù),令,解得,當(dāng)時,函數(shù)的對稱軸為,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù),列出不等式組,求得,所以當(dāng)最小時,,之后將函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的個數(shù)問題,畫出圖形,數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù),則有,可得,所以當(dāng)最小時,,函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)等價于方程有兩個實根,等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點(diǎn).畫出函數(shù)的簡圖如下,而函數(shù)恒過定點(diǎn),數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為.故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題,涉及到的知識點(diǎn)有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題目.3、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析,由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項,根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小,根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高,所以A選項敘述正確.對于B選項,根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價格變化最大,所以B選項敘述正確.對于C選項,根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價格基本相當(dāng),所以C選項敘述正確.對于D選項,根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五個城市的往返機(jī)票平均價格在增加,故D選項敘述錯誤.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

計算的中點(diǎn)坐標(biāo)為,圓半徑為,得到圓方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計算能力.5、C【解析】

兩復(fù)數(shù)相等,實部與虛部對應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時“”成立.此時,,,的最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.7、B【解析】

連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.8、C【解析】

由每個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因為函數(shù)和在遞增,而在遞減.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.12、C【解析】

根據(jù),再根據(jù)二項式的通項公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為,所以二項式的展開式的通項公式為:,令,所以,因此有.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了二項式展開式通項公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2020【解析】

可對左右兩端同乘以得,依次寫出,,,,累加可得,再由得,代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有,從而,,,,將以上式子累加得.由得.令,有.故答案為:2020【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題14、【解析】

設(shè)點(diǎn)為,由拋物線定義知,,求出點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的關(guān)系式,求出雙曲線的漸近線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2,0),因為點(diǎn)P在拋物線y2=8x上,|FP|=5,設(shè)點(diǎn)為,由拋物線定義知,,解得,不妨取P(3,2),代入雙曲線-=1,得-=1,又因為a2+b2=4,解得a=1,b=,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線為y=±x,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力和知識遷移能力;靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.15、【解析】

將f(x)寫成分段函數(shù)形式,分析得f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x|x|=,則f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,解可得x≥,即x的取值范圍為[,+∞);故答案為:[,+∞).【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用,注意分析f(x)的奇偶性與單調(diào)性.16、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由解方程即可.【詳解】由已知,,所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析,有;(2)分布列見解析,.【解析】

(1)根據(jù)題意,結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表,計算出的觀測值,即可進(jìn)行判斷;(2)先計算出時間在和選取的人數(shù),再求出的可取值,根據(jù)古典概型的概率計算公式求得分布列,結(jié)合分布列即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)因為樣本數(shù)據(jù)中有流動人員210人,非流動人員90人,所以辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表如下:辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表流動人員非流動人員總計辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天453075辦理社保手續(xù)所需時間超過4天16560225總計21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得.有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣可知時間在可選9人,時間在可以選3名,故,則,,,,可知分布列為0123可知.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗中的計算,以及離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望,涉及分層抽樣,屬綜合性中檔題.18、(1);(2)證明見解析;(3)是,理由見解析.【解析】

(1)根據(jù)兩個曲線的焦點(diǎn)相同,得到,再根據(jù)與的公共弦長為得出,可求出和的值,進(jìn)而可得出曲線的方程;(2)設(shè)點(diǎn),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到曲線在點(diǎn)處的切線方程,求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積得出,則問題得以證明;(3)設(shè)直線,直線,、、,推導(dǎo)出以及,求出和,通過化簡計算可得出為定值,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】(1)由知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,也是橢圓的一個焦點(diǎn),,①又與的公共弦的長為,與都關(guān)于軸對稱,且的方程為,由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為,,②聯(lián)立①②,得,,故的方程為;(2)如圖,,由得,在點(diǎn)處的切線方程為,即,令,得,即,,而,于是,因此是銳角,從而是鈍角.故直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時,總是鈍角三角形;(3)設(shè)直線,直線,、、,則,設(shè)向量和的夾角為,則的面積為,由,可得,同理可得,故有.又,故,則,因此,的面積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的和直線的位置與關(guān)系,考查鈍角三角形的判定以及三角形面積為定值的求解,關(guān)鍵是聯(lián)立方程,構(gòu)造方程,利用韋達(dá)定理,以及向量的關(guān)系,得到關(guān)于斜率的方程,計算量大,屬于難題.19、(1)(2)【解析】

(1)將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為,當(dāng)時,線段取得最小值,利用幾何法求弦長即可.(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時,設(shè),由利用向量的數(shù)量積等于可求解,最后驗證當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為即圓心,半徑,曲線為過定點(diǎn)的直線,易知在圓內(nèi),當(dāng)時,線段長最小為當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時,設(shè),化簡得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時,也滿足上式,故點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、列方程求動點(diǎn)的軌跡方程,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;(2),;(3)證明見解析.【解析】

(1)由的正負(fù)可確定的單調(diào)區(qū)間;(2)利用基本不等式可求得時,取得最小值,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,從而求得,求得切點(diǎn)坐標(biāo)后,可得到切線方程;(3)由極值點(diǎn)的定義可知是的兩個不等正根,由判別式大于零得到的取值范圍,同時得到韋達(dá)定理的形式;化簡為,結(jié)合的范圍可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得:的定義域為,當(dāng)時,,,當(dāng)和時,;當(dāng)時,,的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.(2),所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號),切線的斜率存在最小值,,解得:,,即切點(diǎn)為,從而切線方程,即:.(3),分別在,處取得極值,,是方程,即的兩個不等正根.則,解得:,且,.,,,即不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

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