2023年天津市高考數(shù)學(xué)試卷

2023年天津市高考數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：20，滿分：1501.（單選題，5分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，4}，則?UB∪A=（）A.{1，3，5}B.{1，3}C.{1，2，4}D.{1，2，4，5}2.（單選題，5分）“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（）A.充分不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.（單選題，5分）若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，則（）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c4.（單選題，5分）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能為（）A.B.C.D.5.（單選題，5分）已知函數(shù)f（x）的一條對稱軸為直線x=2，一個周期為4，則f（x）的解析式可能為（）A.sin（x）B.cos（x）C.sin（x）D.cos（x）6.（單選題，5分）已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，an+1=2Sn+2，則a4的值為（）A.3B.18C.54D.1527.（單選題，5分）調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245，下列說法正確的是（）A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.82458.（單選題，5分）在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點M滿足PM=PC，線段PB上的點N滿足PN=PB，則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為（）A.B.C.D.9.（單選題，5分）雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P．已知|PF2|=2，直線PF1的斜率為，則雙曲線的方程為（）A.-=1B.-=1C.-=1D.-=110.（填空題，5分）已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為___．11.（填空題，5分）在（2x3-）6的展開式中，x2項的系數(shù)為___．12.（填空題，5分）過原點的一條直線與圓C：（x+2）2+y2=3相切，交曲線y2=2px（p＞0）于點P，若|OP|=8，則p的值為___．13.（填空題，5分）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5：4：6．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為___；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為___．14.（填空題，5分）在△ABC中，∠A=60°，||=1，點D為AB的中點，點E為CD的中點，若設(shè)=，=，則可用，表示為___；若=，則?的最大值為___．15.（填空題，5分）若函數(shù)f（x）=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點，則a的取值范圍為___．16.（問答題，14分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知a=，b=2，∠A=120°．

（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）求c的值；

（Ⅲ）求sin（B-C）的值．17.（問答題，15分）在三棱臺ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M，N分別為BC，AB中點．

（Ⅰ）求證：A1N||平面C1MA；

（Ⅱ）求平面C1MA與平面ACC1A1所成角的余弦值；

（Ⅲ）求點C到平面C1MA的距離．18.（問答題，15分）設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，右焦點為F，已知|A1F|=3，|A2F|=1．

（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；

（Ⅱ）已知點P是橢圓上一動點（不與頂點重合），直線A2P交y軸于點Q，若△A1PQ的面積是△A2FP面積的二倍，求直線A2P的方程．19.（問答題，15分）已知{an}是等差數(shù)列，a2+a5=16，a5-a3=4．

（Ⅰ）求{an}的通項公式和；

（Ⅱ）已知{bn}為等比數(shù)列，對于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，則bk＜an＜bk+1．

（i）當(dāng)k≥2時，求證：2k-1＜bn＜2k+1；

（ii）求{bn}的通項公式及其前n項和．20.（問答題，16分）已知函數(shù)f（x）=（+）ln（x+1）．

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在x=2處的切線斜率；

（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，求證：f（x）＞1；

（Ⅲ）證明：＜ln（n!）-（n+）lnn+n≤1．

2023年天津市高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：20，滿分：1501.（單選題，5分）已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，4}，則?UB∪A=（）A.{1，3，5}B.{1，3}C.{1，2，4}D.{1，2，4，5}【正確答案】：A【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合補(bǔ)集、并集的運(yùn)算，即可求解．

【解答】：解：U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，4}，

則CUB={3，5}，

故?UB∪A={1，3，5}．

故選：A．

【點評】：本題主要考查補(bǔ)集、并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.（單選題，5分）“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（）A.充分不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】：B【解析】：根據(jù)已知條件，先對原等式變形，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解．

【解答】：解：a2=b2，即（a+b）（a-b）=0，解得a=-b或a=b,

a2+b2=2ab,即（a-b）2=0，解得a=b,

故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”，充分性不成立，

“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”，必要性成立，

故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分條件．

故選：B．

【點評】：本題主要考查充分條件、必要條件定義，屬于基礎(chǔ)題．3.（單選題，5分）若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，則（）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c【正確答案】：D【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．

【解答】：解：y=1.01x，在R上單調(diào)遞增，

0.6＞0.5，

故1.010.6＞1.010.5，

所以b＞a,

y=x0.5，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，

1.01＞0.6，

故1.010.5＞0.60.5，即a＞c,

所以b＞a＞c.

故選：D．

【點評】：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4.（單選題，5分）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能為（）A.B.C.D.【正確答案】：D【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的圖象，即可求解．

【解答】：解：由圖象可知，f（x）圖象關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)，故AB錯誤，

當(dāng)x＞0時，恒大于0，與圖象不符合，故C錯誤．

故選：D．

【點評】：本題主要考查函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．5.（單選題，5分）已知函數(shù)f（x）的一條對稱軸為直線x=2，一個周期為4，則f（x）的解析式可能為（）A.sin（x）B.cos（x）C.sin（x）D.cos（x）【正確答案】：B【解析】：由已知結(jié)合正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的對稱性及周期公式分別檢驗各選項即可判斷．

【解答】：解：A：若f（x）=sin（x），則T==4，

令，k∈Z，則x=1+2k,k∈Z，顯然x=2不是對稱軸，不符合題意；

B：若f（x）=cos（x），則T==4，

令=kπ，k∈Z，則x=2k,k∈Z，

故x=2是一條對稱軸，B符合題意；

C：f（x）=sin（），則T==8，不符合題意；

D：f（x）=cos（），則T==8，不符合題意．

故選：B．

【點評】：本題主要考查了正弦及余弦函數(shù)的對稱性及周期性，屬于基礎(chǔ)題．6.（單選題，5分）已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，an+1=2Sn+2，則a4的值為（）A.3B.18C.54D.152【正確答案】：C【解析】：由已知遞推關(guān)系先表示出a2，a3，然后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求首項a1，公比q,進(jìn)而可求a4．

【解答】：解：因為{an}為等比數(shù)列，an+1=2Sn+2，

所以a2=2S1+2=2a1+2，a3=2S2+2=2（a1+2a1+2）+2=6a1+6，

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，=a1?a3，

即（2+2a1）2=（6a1+6）?a1，

所以a1=2或a1=-1（舍），

所以a2=6，q=3，

則a4=a1?q3=2×33=54．

故選：C．

【點評】：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.（單選題，5分）調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245，下列說法正確的是（）A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245【正確答案】：C【解析】：根據(jù)散點圖及線性相關(guān)的知識，即可求解．

【解答】：解：∵相關(guān)系數(shù)r=0.8245＞0.75，且散點圖呈左下角到右上角的帶狀分布，

∴花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)．

若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245．

故選：C．

【點評】：本題考查線性相關(guān)問題，屬基礎(chǔ)題．8.（單選題，5分）在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點M滿足PM=PC，線段PB上的點N滿足PN=PB，則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為（）A.B.C.D.【正確答案】：B【解析】：設(shè)N到平面PAC的距離d1，B到平面PAC的距離d2，則，S△PMA=，然后結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解．

【解答】：解：在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點M滿足PM=PC，線段PB上的點N滿足PN=PB，

所以S△PMA=，

設(shè)N到平面PAC的距離d1，B到平面PAC的距離d2，則，

則三棱錐P-AMN的體積為V三棱錐P-AMN=V三棱錐N-APM=S△PAM?d1=××=V三棱錐B-PAC．

故三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為．

故選：B．

【點評】：本題主要考查了三棱錐體積的求解，換頂點的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．9.（單選題，5分）雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為P．已知|PF2|=2，直線PF1的斜率為，則雙曲線的方程為（）A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【正確答案】：D【解析】：結(jié)合點到直線的距離公式先求出b,聯(lián)立漸近線方程及PF2所在直線方程可求P，進(jìn)而表示出直線PF1的斜率，結(jié)合已知可求a,b,進(jìn)而可求雙曲線方程．

【解答】：解：因為過F2（c,0）作一條漸近線y=的垂線，垂足為P，

則|PF2|==b=2，

所以b=2①，

聯(lián)立，可得x=，y=，即P（，），

因為直線PF1的斜率=，

整理得（a2+c2）=4ab②，

①②聯(lián)立得，a=，b=2，

故雙曲線方程為=1．

故選：D．

【點評】：本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)在雙曲線方程求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．10.（填空題，5分）已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為___．【正確答案】：[1]4+i【解析】：直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求解即可．

【解答】：解：===4+i.

故答案為：4+i.

【點評】：本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11.（填空題，5分）在（2x3-）6的展開式中，x2項的系數(shù)為___．【正確答案】：[1]60【解析】：根據(jù)二項展開式的通項公式求解．

【解答】：解：二項式（2x3-）6的展開式的通項為=?26-r?（-1）r?x18-4r，

令18-4r=2得，r=4，

∴x2項的系數(shù)為?22×（-1）4=60．

故答案為：60．

【點評】：本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.（填空題，5分）過原點的一條直線與圓C：（x+2）2+y2=3相切，交曲線y2=2px（p＞0）于點P，若|OP|=8，則p的值為___．【正確答案】：[1]6【解析】：不妨設(shè)直線方程為y=kx（k＞0），由直線與圓相切求解k值，可得直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求得P點坐標(biāo)，再由|OP|=8列式求解p的值．

【解答】：解：如圖，

由題意，不妨設(shè)直線方程為y=kx（k＞0），即kx-y=0，

由圓C：（x+2）2+y2=3的圓心C（-2，0）到kx-y=0的距離為，

得，解得k=（k＞0），

則直線方程為y=，

聯(lián)立，得或，即P（）．

可得|OP|=，解得p=6．

故答案為：6．

【點評】：本題考查直線與圓、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．13.（填空題，5分）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5：4：6．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為___；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為___．【正確答案】：[1];[2]【解析】：根據(jù)相互獨立事件的乘法公式即可求解；根據(jù)古典概型概率公式即可求解．

【解答】：解：設(shè)盒子中共有球15n個，

則甲盒子中有黑球2n個，白球3n個，

乙盒子中有黑球n個，白球3n個，

丙盒子中有黑球3n個，白球3n個，

從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；

將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率．

故答案為：；．

【點評】：本題考查相互獨立事件乘法公式，考查古典概型，是基礎(chǔ)題．14.（填空題，5分）在△ABC中，∠A=60°，||=1，點D為AB的中點，點E為CD的中點，若設(shè)=，=，則可用，表示為___；若=，則?的最大值為___．【正確答案】：[1];[2]【解析】：由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及基本不等式的應(yīng)用求解即可．

【解答】：解：在△ABC中，∠A=60°，||=1，點D為AB的中點，點E為CD的中點，=，=，

則==；

設(shè)，，

由余弦定理可得：1=x2+y2-xy,

又x2+y2≥2xy,

即xy≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號，

又=，

則=，

則

=

=

=

=，

即?的最大值為．

故答案為：；．

【點評】：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．15.（填空題，5分）若函數(shù)f（x）=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點，則a的取值范圍為___．【正確答案】：[1]（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）【解析】：首先要分情況去絕對值，化簡函數(shù)，再根據(jù)對應(yīng)方程根的情況判定零點個數(shù)是否滿足題意．

【解答】：解：①當(dāng)a=0時，f（x）=-2x-|x2+1|=-2x-x2-1，不滿足題意；

②當(dāng)方程x2-ax+1=0滿足a≠0且△≤0時，

有a2-4≤0即a∈[-2，0）∪（0，2]，

此時，f（x）=（a-1）x2+（a-2）x-1

，當(dāng)a=1時，不滿足，

當(dāng)a≠1時，Δ=（a-2）2+4（a-1）=a2＞0，滿足；

③Δ＞0時，a∈（-∞，-2）∪（2，+∞），

記x2-ax+1的兩根為m,n,不妨設(shè)m＜n,

則f（x）=，

當(dāng)a＞2時，x1=，x2=-1且x∈（-∞，m]∪[n,+∞），

但此時-ax1+1=＜0，舍去x1，

x3=，x4=1，且x∈（m,n），

但此時-ax3+1=＞0，舍去x3，

故僅有1與-1兩個解，即f（x）有且僅有兩個零點，

當(dāng)a＜-2時，有-ax2+1=a+2＜0，舍去x2，=2-a＞0，舍去x4，

故僅有和兩個解，即f（x）有且僅有兩個零點，

綜上，a∈（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．

故答案為：（-∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．

【點評】：本題是含參數(shù)的函數(shù)零點問題，主要是分類討論思想的考查，屬偏難題．16.（問答題，14分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知a=，b=2，∠A=120°．

（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）求c的值；

（Ⅲ）求sin（B-C）的值．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解；

（Ⅱ）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解；

（Ⅲ）根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式，以及正弦的兩角差公式，即可求解．

【解答】：解：（Ⅰ）a=，b=2，∠A=120°，

則==；

（Ⅱ）a=，b=2，∠A=120°，

則a2=b2+c2-2bc?cosA=4+c2+2c=39，化簡整理可得，（c+7）（c-5）=0，解得c=5（負(fù)值舍去）；

（Ⅲ）=，

c=5，a=，∠A=120°，

則sinC===，

故cosC==，

所以sin（B-C）=sinBcosC-sinCcosB=-=．

【點評】：本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．17.（問答題，15分）在三棱臺ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M，N分別為BC，AB中點．

（Ⅰ）求證：A1N||平面C1MA；

（Ⅱ）求平面C1MA與平面ACC1A1所成角的余弦值；

（Ⅲ）求點C到平面C1MA的距離．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）連接MN，推得四邊形MNA1C1為平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理可得證明；

（Ⅱ）運(yùn)用三垂線定理得到平面C1MA與平面ACC1A1所成角，再解直角三角形可得所求值；

（Ⅲ）運(yùn)用等積法和三棱錐的體積公式可得所求距離．

【解答】：解：（Ⅰ）證明：連接MN，可得MN為△AC的中位線，

可得MN||AC，且MN=AC=1，

而A1C1=1，AC||A1C1，

則MN||A1C1，MN=A1C1，

可得四邊形MNA1C1為平行四邊形，

則A1N||C1M，

而A1N?平面C1MA，C1M?平面C1MA，

所以A1N||平面C1MA；

（Ⅱ）取AC的中點H，連接MH，

由AB⊥AC，MH||AB，可得MH⊥AC．

由A1A⊥平面ABC，MH?平面ABC，

可得A1A⊥MH，

可得MH⊥平面A1ACC1．

過H作HD⊥AC1，垂足為D，連接DM，

由三垂線定理可得DM⊥AC1，

可得∠MDH為平面C1MA與平面ACC1A1所成角．

由MH=AB=1．

在矩形AHC1A1中，DH===，

所以cos∠MDH===；

（Ⅲ）設(shè)C到平面C1MA的距離為d.

在△C1MA中，A1M=AC=，AC1==，MC1==，

則=××=．

由=，可得d=d?=C1H?S△CMA=×2××2×1=，

解得d=．

【點評】：本題考查線面平行的判定和平面與平面所成角、點到平面的距離，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．18.（問答題，15分）設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，右焦點為F，已知|A1F|=3，|A2F|=1．

（Ⅰ）求橢圓方程及其離心率；

（Ⅱ）已知點P是橢圓上一動點（不與頂點重合），直線A2P交y軸于點Q，若△A1PQ的面積是△A2FP面積的二倍，求直線A2P的方程．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）由題意可得，求解a與c的值，再由隱含條件求解b,則橢圓方程可求；

（Ⅱ）由題意可知，直線A2P的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為y=k（x-2），取x=0，得Q（0，-2k），分別求出△A1PQ的面積與△A2FP面積，再由已知列式求解k,則直線方程可求．

【解答】：解：（Ⅰ）由題意可知，，解得，

∴b2=a2-c2=4-1=3．

則橢圓方程為，橢圓的離心率為e=；

（Ⅱ）由題意可知，直線A2P的斜率存在且不為0，

當(dāng)k＜0時，直線方程為y=k（x-2），取x=0，得Q（0，-2k）．

聯(lián)立，得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0．

Δ=（-16k2）2-4（4k2+3）（16k2-12）=144＞0，

，得，則．

==．

=．

∴，即2k2=3，得k=-（k＜0）；

同理求得當(dāng)k＞0時，k=．

∴直線A2P的方程為y=．

【點評】：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19.（問答題，15分）已知{an}是等差數(shù)列，a2+a5=16，a5-a3=4．

（Ⅰ）求{an}的通項公式和；

（Ⅱ）已知{bn}為等比數(shù)列，對于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，則bk＜an＜bk+1．

（i）當(dāng)k≥2時，求證：2k-1＜bn＜2k+1；

（ii）求{bn}的通項公式及其前n項和．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）建立方程組求出首項和公差即可求解．

（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，利用極限思想分別求出公比和首項，即可得到結(jié)論．

【解答】：解：（Ⅰ）∵{an}是等差數(shù)列，a2+a5=16，a5-a3=4．

∴，得d=2，a1=3，

則{an}的通項公式an=3+2（n-1）=2n+1（n∈N?），

中的首項為=2n+1，項數(shù)為2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2×2n-1-2n-1=2n-1，

則=2n-1（2n+1）+×2=2n-1（2n+1）+2n-1（2n-1-1）=2n-1（2n+1+2n-1-1）=2n-1（2n+2n-1）=2n-1×3×2n-1=3×4n-1．

（Ⅱ）（i）∵2k-1≤n≤2k-1，∴2k≤2n≤2k+1-2，1+2k≤2n+1≤2k+1-1，

即1+2k≤an≤2k+1-1，

當(dāng)k≥2時，∵bk＜an＜bk+1．

∴bk＜1+2k，且bk+1＞2k+1-1，

即bk＞2k-1，

綜上2k-1＜bk＜1+2k，

即2k-1