圓知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

圓的知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

1.在直徑為1000mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，若油面寬46=800mm,

則油的最大深度為mm.

2.如圖，在AABC中，NC是直角，AC=\2,BC=16,以C為圓心，AC為半徑的圓交斜邊AB于。，求

AO的長(zhǎng)。

知識(shí)點(diǎn)2

定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角度數(shù)相等，所對(duì)的弦相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角度數(shù)相等，所對(duì)的弧相等。

1.如果兩條弦相等，那么（）

A.這兩條弦所對(duì)的弧相等B.這兩條弦所對(duì)的圓心角相等

C.這兩條弦的弦心距相等D.以上答案都不對(duì)

2.弦心距是弦的一半時(shí)，弦與直徑的比是一，弦所對(duì)的圓心角是.

3.如圖，AB為。0直徑，E是中點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)D,BD=3,AB=10,則AC=.

4.如圖，AB和DE是。0的直徑，弦AC〃DE,若弦BE=3,則弦CE=.

5.如圖，已知A8、為。。的兩條弦，弧4。=弧86;求證：AB=CD。

6.如圖，為。。的直徑，OA是。。的半徑，弦求證：AC=AE。

知識(shí)點(diǎn)3

圓周角定理

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，?都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

推論

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

題型

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角B.兩邊都和圓相交的角是圓周角

C.圓心角是圓周角的2倍D.圓周角度數(shù)等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半

2.在半徑為R的圓中有一條長(zhǎng)度為R的弦，則該弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

3.等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在。0上,D是弧AC上任一點(diǎn)（不與A、C重合），則NADC的度數(shù)是

4.。0中，若弦AB長(zhǎng)20cm,弦心距為&cm,則此弦所對(duì)的圓周角等于-

5.如圖，在。0中，AB是直徑,CD是弦,AB_LCD.

（1）P是弧CAD上一點(diǎn)（不與C、D重合），試判斷/CPD與NC0B的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）點(diǎn)P'在劣弧CD上（不與C、D重合時(shí)），/CP'D與NCOB有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論。

24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系

24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)2確定圓的條件

不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

知識(shí)點(diǎn)

三嗡%的3外接圓：三角形三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。

三角形的外心：外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。

1,若。。所在平面內(nèi)一點(diǎn)P到。O上的點(diǎn)的最大距離為a,最小距離為b（a>b）,則此圓的半徑為（）。

a+ba-ba+ba-b

A.2B.2C.2或2D,a+b或a-b

2.三角形的外心是（）

A.三條中線的交點(diǎn)B.三條邊的中垂線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三條角平分線的交點(diǎn)

3.下列命題不正確的是（）

A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.三角形的外接圓有且只有一個(gè)C.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)圓D.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)圓

4.銳角三角形的外心位于，直角三角形的外心位于，鈍角三角形的外心位于。

5.邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形的外接圓半徑是。

6.AABC的三邊為2,3,V13,設(shè)其外心為0,三條高的交點(diǎn)為11,則011的長(zhǎng)為。

7.如圖,A、B、C三點(diǎn)表示三個(gè)工廠,要建立一個(gè)供水站，使它到這三個(gè)工廠的距離A

相等,求作供水站的位置（不寫(xiě)作法,尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）o°

??

BC

8.如圖，已知在AABC中，NACB=90",AC=12,AB=13,CDJ_AB,以C為圓心,5為半徑作。C,試判斷A,D,B三點(diǎn)

與。C的位置關(guān)系。

9.已知AABC內(nèi)接于0D1BC,垂足為D,若BC=2百，0D=l,求/BAC的度數(shù)。（注意：分類討論）

24.2.1直線和圓的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)1基本概念

知識(shí)點(diǎn)2直線和圓的位置關(guān)系的判定

1.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（2,1）為圓心，1為半徑的圓，必與（）

A.x軸相交B.y軸相交C.x軸相切D.y軸相切

2.已知。。的半徑為5cm,直線1上有一點(diǎn)Q且0Q=5cm,則直線1與。0的位置關(guān)系是（）

A、相離B、相切C、相交D、相切或相交

3.已知圓的半徑等于10厘米，直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離是______?

4.OM與x軸相交于點(diǎn)A（2,0）,B（8,0）,與y軸相切于點(diǎn)C求圓心M的坐標(biāo).

知識(shí)點(diǎn)3

切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

1.PA是。。的切線，切點(diǎn)為A,PA=2拒,ZAP0=30°,則（DO的半徑長(zhǎng)為

AB

圖4

2.如圖，/PAQ是直角，。。與AP相切于點(diǎn)T,與AQ交于B、C兩點(diǎn).

(1)BT是否平分NOBA?說(shuō)明你的理由；

(2)若已知AT=4,弦BC=6,試求。0的半徑R.

3.在Rt^ABC中，ZB=90°,NA的平分線交BC于D,以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作。D,

試說(shuō)明：C是。D的切線。

4.已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB1BC,以腰DC的中點(diǎn)E為圓心的圓與AB相切，梯形的上底AD

7

與底BC是方程x--iox+16=0的兩根，求(DE的半徑r。

5.如圖，Z\ABC內(nèi)接于。O,直線EF經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，ZCBF=NA。求證：EF是。O的切線。

6.如圖，RtAABC中，ZB=90°,。是AB上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E,交AC

于點(diǎn)D,其中DE〃OC。

(1)求證：AC為。。的切線。

(2)若AD=2G，且AB、AE的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-8x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求。O的半徑、CD的長(zhǎng)。

7.如圖，AB為。O的直徑，D為BE的中點(diǎn)，DCLAE交AE的延長(zhǎng)線于C。

(1)求證：CD是(DO的切線。

(2)若CE=1,CD=2,求。O的半徑。

8.如圖，鈍角△ABC,CD1AC,BE平分NABC交AC于E,且NCEB=45。，以AD為直徑作。O。

(1)求證：BC是。O的切線。

(2)若。O直徑為10,AC=BC,求△ABC的周長(zhǎng)。

9.如圖，Z^ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過(guò)A作直線MN,若/MAC=NABC.

(1)求證：MN是半圓的切線。

(2)設(shè)D是弧AC的中點(diǎn)，連結(jié)BD交AC于G,

過(guò)D作DEJ_AB于E,交AC于F.求證：FD=FG。

知識(shí)點(diǎn)4

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條

切線的夾角。

1.從圓外一點(diǎn)向半徑為9的圓作切線，已知切線長(zhǎng)為18,從這點(diǎn)到圓的最短距離為()

A.9百B.9(V3-1)C.9(V5-1)D.9

2.有圓外一點(diǎn)P,PA、PB分別切。。于A、B,C為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，若NACB=a,則NAPB=()

A.180°-aB.900-aC.90°+aD.1800~2a

6.如圖，PA、PB分別切。。于A、B,并與。0的切線分別相交于C、D,已知PA=7cm,貝

△PCI)的周長(zhǎng)等于。\*0)

CB

7.如圖，。。的直徑45=2,AM和BN是它的兩條切線，OE切。。于E,交AM于D,交BN于C。設(shè)

AD=x,BC=yo

(1)求證：AM//BN(2)求y關(guān)于x的關(guān)系式

8.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-2),0A的半徑為1,P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切。A于點(diǎn)Q,

則當(dāng)PQ最小時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？.v

9.如圖，△力比'中，NC=90°,AC^8cm,力6=10cm,點(diǎn)。由點(diǎn)。出發(fā)以每秒2cm的速度沿。向點(diǎn)力運(yùn)動(dòng)(不

運(yùn)動(dòng)至4點(diǎn))，。。的圓心在彼上，且。。分別與49、力。相切，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)2秒鐘時(shí)，求。。的半徑。

10.已知：ZMAN=30°,0為邊AN上一點(diǎn)，以0為圓心、2為半徑作。0,交AN于D、E兩點(diǎn)，設(shè)AD=x.

(1)如圖⑴當(dāng)x取何值時(shí)，。。與AM相切；

(2)如圖⑵當(dāng)x為何值時(shí)，。。與AM相交于B、C兩點(diǎn)，且/B0C=90°。

圖⑴

圖(2)

知識(shí)點(diǎn)5

內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。

1.已知△ABC的內(nèi)切圓0與各邊相切于I）、E、F,那么點(diǎn)0是ADEF的（）

A.三條中線交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)

C.三條角平分線交點(diǎn)D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

2.如圖，。。為aABC的內(nèi)切圓，NC=90°,A0的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D,AC=4,CD=1,則。0的半徑等于（）

B.-C.-D.-

446

3.直角三角形有兩條邊是2,則其內(nèi)切圓的半徑是o

4.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8.求aABC的內(nèi)切圓半徑r。

24.3正多邊形和圓

知識(shí)點(diǎn)1正多邊形和圓的關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)2正多邊形有關(guān)概念

知識(shí)點(diǎn)3正多邊形的有關(guān)角

1.若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于36°,那么這個(gè)正多邊形的中心角為（）

A.36°B、18°C.72°D.54°

2.正多邊形的中心角與該正多邊形一個(gè)內(nèi)角的關(guān)系是（）

A.互余B.互補(bǔ)C.互余或互補(bǔ)D.不能確定

3.如果正三角形的邊長(zhǎng)為a,那么它.的外接圓的周長(zhǎng)是內(nèi)切圓周長(zhǎng)的倍。

4.分別求出半徑為R的圓內(nèi)接正三角形，正方形的邊長(zhǎng)，邊心距和面積。

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積

知識(shí)點(diǎn)1計(jì)算公式

Ln。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)：/=—

180

2.扇形面積：（由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫扇形）

H7TR2

方法—s扇形=S扇形=

方法二：2

1.如果一條弧長(zhǎng)等于/,它的半徑等于R,這條弧所對(duì)的圓心角增加「，則它的弧長(zhǎng)增加（）

2.扇形的周長(zhǎng)為16,圓心角為幽，則扇形的面積是（）

A.16B.32C.64D.16n

3.如圖，AB是半圓。的直徑，以。為圓心，為半徑的半圓交A8于E,尸兩點(diǎn)，弦4c是小半圓的切線,

。為切點(diǎn)，若OA=4,OE=2,則圖中陰影部分的面積為。

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4.如圖，在中，NC=90,NA=60',AC=J5cm