工程力學課件

1研究對象被抽象為剛體，暫不考慮其變形，為研究力系的平衡提供了極大的方便。--形狀和大小不變，且內(nèi)部各點的相對位置也不變的一種物體理想模型。剛體研究剛體在力系作用下的平衡問題。剛體靜力學若干定義：剛體靜力學基本概念與理論2(3)應用平衡條件解決工程中的各種問題。(2)平衡條件—建立物體處於平衡狀態(tài)時，作用在其上各力組成的力系所應滿足的條件。(1)受力分析—分析作用在物體上的各種力弄清被研究對象的受力情況?；締栴}：返回主目錄32.1力單位：NorKN；

力不可直接度量?？梢远攘康氖瞧湫?，作用效應相同，則力系等效。定義：力是物體間的相互作用，作用效應是使物體運動狀態(tài)發(fā)生變化（外）或使物體變形（內(nèi)）。1.基本概念作用力和反作用力：力是成對出現(xiàn)的，作用在不同的物體上，等值、反向、共線。力是向量：

力的作用效果，取決於大小、方向、作用點。剛體--不考慮內(nèi)效應；則力可沿其作用線滑移。三要素成為力的大小、方向和作用線。因此，對於剛體而言，力是滑移矢。力的合成滿足向量加法規(guī)則。

若干個共點力，可以合成為一個合力。返回主目錄42.共點力的合成用幾何法求匯交力系合力時，應注意分力首尾相接，合力是從第一力的箭尾指向最後一力的箭頭。幾何法：用平行四邊形法則進行合成和分解。

FR=F1+F2+…+Fn=

FOa)平行四邊形法則F2F1FRb)力三角形F2FRd)力多邊形F1OF5Oc)匯交力系F4F2F1F3OF1F2F4F3F5FR5

F2q20

F1FR故可知：

=70

時，F(xiàn)2最小。且可求得：F1=940N,F2=342N。例2.1圖中固定環(huán)上作用著二個力F1和F2，若希望得到垂直向下的合力F=1kN，又要求力F2盡量小，試確定

角和F1、F2的大小。解：力三角形如圖。有F2/sin20

=F/sin(180

-20

-

)F1/sin

=F/sin(180

-20

-

)

dF2/d

=-Fsin20

cos(160

-

)/sin2(160

-

)=0由F2最小的條件，還有q20

FRF1F26

解析法（投影求和法）力F在任一軸x上的投影，等於力的大小乘以力與軸正向夾角的余弦。有：

Fx=Fcos

力的投影是代數(shù)量?；蛘撸毫υ谌我惠S上投影的大小等於力的大小乘以力與軸所夾銳角的余弦，其正負則由從力向量起點到終點的投影指向與軸是否一致確定。aFx力在任一軸上的投影Fx7y

xFO

力在任一軸上的投影大小都不大於力的大小。而分力的大小卻不一定都小於合力。力在任一軸上的投影可求，力沿一軸上的分量不可定。xFOFx分力Fx=？討論：力的投影與分量可見，力F在垂直坐標軸x、y上的投影分量與沿軸分解的分力大小相等。力F在相互不垂直的軸x、y'上的投影分量與沿軸分解的分力大小是不相等的。FxyOxFy

OFyFxFyFxFyFx8合力投影定理：合力在任一軸上的投影等於各分力在該軸上之投影的代數(shù)和。

表示合力FR與x軸所夾的銳角，合力的指向由FRx、FRy的符號判定。

ac-bc=ab由合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy合力的投影abcFRF1xF2正交坐標系有:;RxRxFF=RyRyFF=合力:FRxxyFRyFRa9例2.3求圖示作用在O點之共點力系的合力。FRx=

Fx=-400+250cos45

-200×4/5=-383.2NFRy=

Fy=250cos45

-500+200×3/5=-203.2N解：取座標如圖。合力在坐標軸上的投影為：35445F3=500NF4=200NyxOF2=250NF1=400N

FR合力為：

=433.7N;

=arctg(203.2/383.2)=27.9

在第三象限，如圖所示。22RyRxRFFF+=yxOF2F3F4F1

FR103.二力平衡:二力桿或二力構(gòu)件:

只在二點受力而處於平衡的無重桿或無重構(gòu)件。ABCF三鉸拱BC二力桿推論：在力系中加上或減去一平衡力系並不改變原力系對剛體的作用效果。若剛體在二個力的作用下處於平衡，則此二力必大小相等、方向相反、且作用在兩受力點的連線上。FCFBABOAB棘爪棘輪返回主目錄112.2力偶（又一基本量）作用在同一平面內(nèi)，大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩個力。1.基本概念力偶使剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變。作用效應度量轉(zhuǎn)動作用效應的物理量。單位為N.m或kN.m在平面內(nèi)，M是代數(shù)量，逆時針轉(zhuǎn)動為正。力偶矩力偶的作用平面、轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小，可以用一個向量（力偶矩矢M）來描述。力偶的三要素FF’hoxyM返回主目錄122.平面力偶的等效與合成b)在保持力偶矩不變的情況下，可以任意改變力和力臂的大小。由此即可方便地進行力偶的合成。

平面力偶等效定理同一平面內(nèi)的二個力偶，只要其力偶矩相等，則二力偶等效。a)力偶可以在剛體內(nèi)任意移轉(zhuǎn)。即力偶矩矢M的作用點可以在平面上任意移動，力偶矩矢是自由矢。推論60N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24N.m13c）平面力偶系的合成若干個力偶組成的力偶系，可以合成為一個合力偶。平面力偶系的合力偶之矩等於力偶系中各力偶之矩的代數(shù)和。

M=

Mi合力偶定理F1h1F2h2h1F1+h1F2h2M=F1h1+F2h214比較：使物體沿力的作用線移動。使物體在其作用平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。力力偶力是向量（滑移矢）力偶是向量(自由矢)平面力偶是代數(shù)量共點力系可合成為一個合力。平面力偶系可合成為一個合力偶。合力偶定理:

M=

Mi合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

FxFRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy

返回主目錄152.3約束與約束力W運動受到限制的物體。吊重、火車、傳動軸等。非自由體：限制物體運動的周圍物體。如繩索、鐵軌、軸承。約束：約束作用於被約束物體的力。約束力：是被動力，大小取決於作用於物體的主動力。作用位置在約束與被約束物體的接觸面上。作用方向與約束所能限制的物體運動方向相反。FT返回主目錄16W1)可確定約束力方向的約束約束力只能是沿柔性體自身的拉力。約束力方向與所能限制的物體運動方向相反。柔性約束:FT2FT1FT1FT2FT1FT2171)可確定約束反力方向的約束約束力方向與所能限制的物體運動方向相反。W0G光滑約束（接觸面法向壓力）G1G2FNFN約束反力是沿接觸處的公法線且指向物體的壓力。光滑約束:FN1FN2FN1FN2FN3181)可確定約束反力方向的約束約束力方向與所能限制的物體運動方向相反。約束反力是沿接觸處的公法線且指向物體的壓力。光滑約束:節(jié)圓20°20°壓力角FNF

N192)可確定約束反力作用線的約束反力作用線過鉸鏈中心且垂直於支承面，指向待定約束力方向與所能限制的物體運動方向相反。滾動支承（滾動鉸）：滾動(鉸)支承AAFA可動鉸BFBCFC滾動支座202)可確定約束反力作用線的約束滑道滑塊導軌滑套約束力方向與所能限制的物體運動方向相反。約束反力垂直於滑道、導軌，指向亦待定?；?、導軌：二力構(gòu)件:二力沿作用點連線,指向亦待定。FNFNBCG二力桿AFCFA21AA固定鉸鏈3)可確定作用點的約束約束反力RA，過鉸鏈中心。大小和方向待定，用XA、YA表示。約束力方向與所能限制的物體運動方向相反。固定鉸鏈：約束力可與固定鉸同樣表示。中間鉸：中間鉸CFCyFCxxyFAFAxFAyFAxFAy22ABAA空間球鉸一對軸承固定端4)幾種常見約束約束力方向與所能限制的物體運動方向相反。反力是過球鉸中心的FAx、FAy、FAz三個分力?？臻g球鉸共五個反力。允許繞x軸轉(zhuǎn)動；x方向有間隙。一對軸承限制所有運動，有六個反力。固定端FAzFAyFAxFAxFAzFAyFBzFByFAzFAyMxMyMz23ABAA平面如果討論的是x、y平面內(nèi)的問題，則：約束力方向與所能限制的物體運動方向相反。指向不能確定的約束反力，可以任意假設(shè)。若求解的結(jié)果為正，所設(shè)指向正確；為負則指向與假設(shè)相反。固定端用二個反力限制移動，一個反力偶限制轉(zhuǎn)動。空間球形鉸鏈

相當於固定鉸，反力用FAx、FAy二分力表示.一對軸承則只有三個反力。FAyMAFAxFAyFAxFAyFAxFBy返回主目錄242.4受力圖將研究對象（物體或物體系統(tǒng)）從周圍物體的約束中分離出來，畫出作用在研究對象上全部力（主動力和約束力）的圖，稱為受力圖或分離體圖。畫受力圖是對物體進行受力分析的第一步，也是最重要的一步。畫受力圖時必須清楚：研究對象是什麼？將研究對象分離出來需要解除哪些約束？約束限制研究對象的什麼運動？如何正確畫出所解除約束處的反力？返回主目錄25例2.4球G1、G2置於牆和板AB間，BC為繩索。畫受力圖。注意FK與FK

、FE與FE

…間作用力與反作用力關(guān)係。還要注意，部分受力圖中反力必須與整體受力圖一致。未解除約束處的系統(tǒng)內(nèi)力，不畫出。G1(b)(c)G2G2G1AB(d)(e)ABG2G1ABC(a)G1G2

D

E

H

KFAxFAyFTFDFKFDFEFDFHFEF

KFHFDFAxFAyFTFAxFAyF

HF

EFT26例2.5連桿滑塊機構(gòu)如圖，受力偶M和力F作用，試畫出其各構(gòu)件和整體的受力圖。注意，若將個體受力圖組裝到一起，應當?shù)玫脚c整體受力圖相同的結(jié)果。力不可移出研究對象之外。AMBCFBC解:研究系統(tǒng)整體、桿AB、BC(二力桿)及滑塊C。AMBCFFAyFAxFCFBCFCBFAyFAxF

BCF

CBFC27例2.6試畫出圖示梁AB及BC的受力圖。ABCFqCFqFAyFAxMAFByFBxFAyFAxMAFCF

ByF

BxFC28正確畫出受力圖的一般步驟為：取研究對象，解除其約束，將研究對象分離出來畫出已知外力(力偶),按約束類型畫出約束反力是否有二力桿注意作用力與反作用力的關(guān)係注意部分與整體受力圖中同一約束處反力假設(shè)的一致性關(guān)鍵是正確畫出所解除約束處的反力。反力方向與約束所能限制的物體運動方向相反。29受力圖討論1：FAＢＣＤFDFＡ30受力圖討論2：BCFABCDEFAyFAxMAF

DBF

CEFAyFAxMAFDAEFDEFFCEDF

DEFDBFDA31DC---二力桿？受力圖討論3：DCACABABCFDFACFCAFDxFDyFF

CAFAxFAyF

DyF

DxFBFAxFAyFB？ABFAxFAyF

DyF

DxFBF

ACFAxFAyFABxFAByF

AC32習題：2-1;2-5;2-6;2-7

再見返回主目錄332.5平面力系的平衡條件研究思路：受力分析如何簡化？共點力系可合成為一個力力偶系可合成為一個合力偶力向一點平移力系的簡化平衡條件一般力系xyM2M1問題：如何將力移到同一個作用點上？或者說力如何移到任一點O？OF返回主目錄342.5平面力系的平衡條件作用在剛體上力的F，可以平移到其上任一點，但必須同時附加一力偶，力偶矩等於力的大小乘以點到力作用線間的距離。2.5.1力對點之矩1.力的平移定理OFOF'F''hFoM=FhF352.力對點之矩力F平移，等效變換成作用在O點的力F

和力偶M。力偶矩M=Fh，是力F使物體繞O點轉(zhuǎn)動效應的度量。力臂h為點O（矩心）到力F作用線的垂直距離。

注意力和力偶對剛體轉(zhuǎn)動作用效果的差別。故力F對任一點O之矩(力矩)為:OF'F''hF力對點之矩與點有關(guān)；若力過O點，則MO(F)=0。力矩是代數(shù)量，逆時針為正。36合力矩定理：合力對點之矩等於其各分力對該點之矩的代數(shù)和。直接求力矩：MO(F)=F.d=F(Lsina+bcosa+asina)MO(Fx)+MO(Fy)=Fy(L+a)+Fxb=F(Lsina+bcosa+asina)=MO(F)利用合力矩定理：OaF求MO(F)FxFy37推論：力偶對任一點之矩就等於該力偶矩。注意：力偶在任一軸上的投影為零。MO(F)+MO(F

)=F

AO+F

BO=F

AB=M

F

F

OAB力偶有:F=F

;F//F

請自行證明:Fx+Fy

=0

xF

F

382.5.2平面一般力系的簡化

若作用於物體上所有的力（包括力偶）都在同一平面內(nèi)，則力系稱為平面一般（任意）力系。平面一般力系：各力作用線匯交於同一點(不含力偶)匯交力系:平行力系:各力作用線相互平行(可包含力偶)特例一般力系yxM2M1匯交力系yxA平行力系yxM339平面一般力系，向任一點O簡化，共點力系可合成為一個力FR'（主矢）,即：

FR'=F1+F2+…+Fn=

Fi或用解析法寫為:FR

x=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FR

y=F1y+F2y+…+Fny=

Fy注意：FR'與簡化中心O點的位置選取無關(guān)。得到一個匯交於O點的共點力系和一個平面力偶系。xyO(a)F4F2F1F5F3MyxF2OM3M(b)F3F4F5F1M2M1M4M5yx(c)OFR'MO40力偶系可合成為一個合力偶，合力偶之矩MO是各力偶之矩的代數(shù)和。即:

MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=

MO(Fi)FR'M0O平面一般力系力主矢FR

力偶主矩MO

簡化力？平移MO稱為原力系對簡化中心O的主矩，顯然，MO與簡化中心O點的位置有關(guān)。h=M0/FR

FRA41

情況向O點簡化的結(jié)果力系簡化的最終結(jié)果分類 主矢FR'

主矩MO（與簡化中心無關(guān)）討論1平面一般力系簡化的最終結(jié)果yxOFR'MOFRh3 FR

0MO=0合力FR=FR

，作用線過O點。2 FR'=0MO

0 一個合力偶，M=MO。1 FR’=0MO=0 平衡狀態(tài)（力系對物體的移動和轉(zhuǎn)動作用效果均為零）。4FR‘

0MO

0一個合力，其大小為FR=FR

，

作用線到O點的距離為h=MO/FR'FR在O點哪一邊，由LO符號決定平面力系簡化的最終結(jié)果，只有三種可能：一個力；一個力偶；或為平衡力系。42例：求圖示力系的合力。FR

x=

Fx=F1+4F2/5-3F3/5=6+8-9=5kNFR

y=

Fy=-3F2/5-4F3/5+F4

=-6-12+8=-10kN合力FR=FR

=11.1kN；作用線距O點的距離h為：

h=M0/FR

=1.09(m)；

位置由Mo

的正負確定，如圖。Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3/5)-4F4+M=12kN.m解：力系向O點簡化，有：xO(m)y(m)22242F1=6kNF2=10kNF3=15kNF4=8kNM=12kN.m4FR

hFR'MO主矢

FR

==kN；指向如圖。22yRxRFF￠￠+12543設(shè)載荷集度為q(x)，在距O點x

處取微段dx,微段上的力為q(x)dx。討論2同向分佈平行力系合成合力FR的作用線到O的距離為：

h=MO/FR'=

/

òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O(shè)點為簡化中心，主矢和主矩為：

FR

=

q(x)dx=

；MO=

xq(x)dx=òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(FR'

0，MO

0；故可合成為一個合力，且

FR=FR'=òl(fā)dxxq0)(FR大小等於分佈載荷圖形的面積FR的作用線通過分佈載荷圖形的形心。44故同向分佈平行力系可合成為一個合力，合力的大小等於分佈載荷圖形的面積，作用線通過圖形的形心，指向與原力系相同。例求梁上分佈載荷的合力。

解：載荷圖形分為三部分，有設(shè)合力FR距O點為x，由合力矩定理有：

-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m得到x=6.4/3.1=2.06m故合力為3.1kN，作用在距O點2.06m處，向下。FR1=1.6kN;作用線距O點1m。FR2=0.6kN;作用線距O點3.5m。FR3=0.9kN;作用線距O點3m。合力FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx45例求圖中分布力系的合力。解：

FR1=2q1=1kN;

FR2=3q2/2=6kN;合力的大?。?/p>

FR=FR2-FR1=5kN方向同F(xiàn)R2，如圖。合力作用位置(合力矩定理):

FR

x=3×FR2-1×FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5KN/m2m3mq2=4KN/mAFR1FR2FRx462.5.3平面力系的平衡條件

平面一般力系處於平衡，充分和必要條件為力系的主矢FR'和主矩MO都等於零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過O點；1、2式指出：若有合力。必垂直於x軸且垂直於y軸。故平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）（x軸不平行於y軸）47平面一般力系平衡方程還可表達為下列二種形式：二力矩式（AB不垂直於x軸)注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫出無數(shù)個平衡方程。但只要滿足了其中一組，其餘方程均應自動滿足，故獨立平衡方程只有三個。三力矩式(A、B、C三點不共線)48取匯交點為矩心，力矩方程自動滿足。獨立平衡方程只有二個,為：

平面匯交力系:取x軸垂直於各力，則x的投影方程滿足。獨立平衡方程也只有二個,為：平面平行力系:yxMyx49三拱鉸受力再分析ABCF三鉸拱ABFo討論1：二力平衡必共線F1oF2討論2：三力平衡必共點F1F2F3oBCFB二力桿FC50問題討論1：若q=a,求梁上分佈載荷的合力。aaar=aq2q解：

FR1=3qa=3a2

FR2=2a2-

a2/2

FR=5a2-

a2/2;由合力矩定理有：

FR

x=1.5aFR1+2aFR2=4.5a3+4a3-

a3=8.5a3-

a3

x=(8.5-)a/(5-/2)

FR2FR1xFR51問題討論2：判斷所列平衡方程組是否必要且充分的。(a)(b)(c)

Fx=0

Fy=0

M0(F)=0

Fy'=0

Fy'=0

MA(F)=0

MA(F)=0

MA(F)=0

MB(F)=0思路：平面力系簡化為一個力；或一力偶；或平衡。滿足任一力矩平衡方程，則不可能有合力偶；滿足任一投影平衡方程，若有合力則必垂直於投影軸。由此，用反證法判斷。

充分

可能有合力（過A垂直於y）

可能有合力（垂直於OAB）xyx

y

oABC52小結(jié)1)剛體靜力學研究的基本問題是：受力分析，平衡條件，解決靜力平衡問題。4)力F對任一點O之矩為Mo(F)=

F.h。合力對某點之矩等於其分力對該點之矩的代數(shù)和。5)作用在剛體上力的F，可平移到任一點，但須附加一力偶，其矩等於力F對平移點之矩MO(F)。3)約束力作用方向與其所限制的運動方向相反。2)只在二點受力而處於平衡的無重桿，是二力桿。53

7)同向分佈平行力系可合成為一個合力。合力的大小等於分佈載荷圖形的面積，作用線通過分佈載荷圖形的形心，指向與原力系相同。6)平面一般力系簡化的最終結(jié)果有三種可能：即一個力；一個力偶；或為平衡（合力為零）。一般匯交

平行力系；力系；

力系；8)平面力系的平衡方程（基本形式）為：54三個基本概念：力力偶約束三組平衡方程：（力系簡化後的結(jié)論）一般力系匯交力系平行力系三類基本定理：合力投影定理合力矩定理力的平移定理三種基本能力：力的投影力對點之矩約束反力分析55靜力平衡問題3.1平面力系的平衡問題3.2含摩擦的平衡問題3.3平面桁架3.4空間力系的平衡問題返回主目錄563.1平面力系的平衡問題思路：研究對象

受力分析

平衡方程

求解一、平面力系平衡問題的分析方法ABC靜力平衡問題，一般有二類：

對於完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。

對於未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時外載荷所應滿足的條件及約束力。60

ABCDF57例3.1

求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫整體受力圖。注意BC為二力桿。驗算，再寫一個不獨立平衡方程，看是否滿足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0

結(jié)果正確。2）取座標，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30

=0ABCF=2kNFq30q=0.5kN/m

L=2m1.5mFq=2q=1kNFCFAyFAxxy

Fy=FAy+FCsin30

-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4kN;FAy=1kN;FAx=2kN

矩心取在二未知力交點A處，力矩方程中只有一個未知量FC，可直接求解。58例3.3

夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸，求F力作用下工件所受到的夾緊力。研究整體，受力如圖。需要求的是FC。列平衡方程：

Fy=FB-F=0

FB=F

解：逐一討論A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFayxOFBFCFA

MA(F)=FB.ABcos

-FC.ABsin

=0

FC=Fctga。

越小，夾緊力越大。討論：若將矩心取在FA、FB二未知力交點O，則由力矩方程直接可得:

MO(F)=F

ABcos

-FC

ABsin

=0

FC=Fctg

59例3.4

梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B處的約束力。由(1)知，F(xiàn)Ax=0。剩餘二個方程中含三個未知約束反力，不足以求解。

列平衡方程：

Fx=FAx=0---(1)

Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)

MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系統(tǒng)整體為研究對象，畫受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA60

2)小車為研究對象，列平衡方程：

MD(F)=2FE-W-5P=0

FE=(50+50)/2=50kN

Fy=FD+FE-W-P=0

FD=10kN3)取BC梁為研究對象，有：

MC(F)=8FBy-FE=0

FBy=FE/8=6.25kN

將FBy代入(2)、(3)式，求得：

FAy=P+W-FBy=53.75kN

MA=4W+8P-12FBy=205kN.m有時需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBF

EFCyFByFCx=061補充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A(chǔ)、B

及D處的約束力。解：研究整體有：

Fy=FAy-F=0

FAy=F

MA(F)=FB

2a-Fa=0

FB=F/2

Fx=FAx+FB=0

FAx=-FB=-F/2

研究CD桿，有：

MC(F)=FDya=0

YD=0

Fy=FACsin45

-F=0

FAC

Fx=FDx-FACcos45

=0

FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC請驗算：AB桿(帶銷A)受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy62求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：弄清題意，標出已知量整體受力圖，列平衡方程，解決問題否？選取適當?shù)淖鴺溯S和矩心，注意正負號。檢查結(jié)果，驗算補充選取適當研究對象，畫受力圖，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一軸上的投影為零；力偶對任一點之矩即為M。63問題1：不計桿重，求連桿機構(gòu)在圖示平衡位置時F1、F2之關(guān)係。問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，求A、

B處的約束力。bＣMABac4560

ABCDF1F2問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束力。ABCF

q2aaa45

64問題1.

不計桿重，求連桿機構(gòu)在圖示平衡位置時

F1、F2之關(guān)係。4560

ABCDF1

F2FDFC

ME(F)=F2

AE-F1sin60

BE=0注意：BE=AB；AE=

AB可解得：

F2=......F12E

65問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計拱的重量，求A、B處的約束力。解:BC為二力桿;

外力只有力偶M,以AC為軸寫投影方程可知，A處反力為FAy=0,整體受力如圖所示。bＣMABacFBBＣFCFAxAMFAy=0F

CFAFBABbＣMcdaBAFF=BdFM=×+-0有0(F)=?AM又由可解得BF66問題2再論:不計拱重，分析三鉸拱的約束力。FBABＣMdFAＣABFBABＣFFBABＣFFAFA三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。67問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對象，再處理其上的分佈載荷。解：1）研究整體：

2）研究BC，受力如圖。求出FC即可。

MB(F)=2aFCcos45

-Fa-qa2/2=02一般力系，3個方程，

4個未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCF

q2aaa45

FCFAyFAxMA68討論：判斷下述分析的正誤。MA=

M+Fa-2Pa

固定鉸的約束力作用於銷釘上。多桿用同一銷釘連接，討論某桿時，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;

FAy=P;MA=

M？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy69第一種情形ACBlllF問題討論：試求圖示A、B、C處的約束力。llFABDCFBFAydFAx第二種情形lllACBM=F

l

MA(F)=0FB

d-F2l=0FB=22F

MB(F)=0FAy

l+F

l=0FAy=-F

Fx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F70第二種情形lllACBM=F

lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD桿受力M=F

l考察BC桿的平衡:FCx=FBx;FCy=FBy

MB(F)=0:FCy

lBC+Fl=02=-—F

2

FCy=FBy再考察AB桿，

由

MA(F)=0可求得FBx71由ABD桿的平衡有：

MA(F)=02

FBx=—Fˉ2

MB(F)=0FAy=

0

MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二種情形lllACBM=F

l更簡單方法以整體為研究對象如何？FAxlllABDCM=F

lFCxFAyFCy?BCM=F

lFCxFBxllABDFBxFAx?72二、靜不定問題的概念1)靜定問題完全約束住的n個物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處於平衡，共可寫出3n個平衡方程。若反力未知量是3n個，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題

--未知量數(shù)=獨立平衡方程數(shù)ABCF30如例1

系統(tǒng)

二根桿

六個平衡方程；約束

三處鉸鏈

六個反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個，但B、C處約束力未知量也減少了二個。73本題作用於小車的是平行於Y軸的平行力系，系統(tǒng)

三個物體

8個平衡方程；約束

固定端3；中間鉸2；活動鉸、車輪接觸處各1

共8個反力，是靜定問題。如例3系統(tǒng)

三個物體

9個方程，反力只有8個。小車可能發(fā)生水準運動。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數(shù)少於獨立的平衡方程數(shù)，有運動的可能。CABWP742）靜不定問題或超靜定問題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)>獨立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數(shù)m系統(tǒng)中物體數(shù)n<3n

未完全約束

m=3n

靜定問題

>3n

靜不定問題靜不定的次數(shù)為：

k=m-3n75ＣMAB討論：試判斷下列問題的靜定性。約束力數(shù)m=8

物體數(shù)n=3

m<3n

未完全約束

m=6

n=2

m=3n靜定結(jié)構(gòu)

m=3

n=1+2+2+4=9

m=3n靜定結(jié)構(gòu)60

ABCDF1F2ABCFDFABxFAByFACxFACyFAxFAy76思考題：3-1，習題：3-1，3-3，3-5，3-6。再見返回主目錄773.2含摩擦的平衡問題摩擦給運動帶來阻力，消耗能量，降低效率；利用摩擦可進行傳動、驅(qū)動、制動、自鎖。

摩擦是二物體接觸表面間有相對運動（或運動趨勢）時的阻礙作用。接觸表面間只有相對滑動趨勢時的摩擦，是靜滑動摩擦。一、靜滑動摩擦返回主目錄aABWGCFAOM512DdDABFLFTAFLFTFNAFBF

NAF

FNBFF0FT靜止滑動FmaxFTC78只要滑動未發(fā)生，物體仍靜止，則F由平衡方程確定。

摩擦力F也是被動力，它阻礙物體的運動，但不能完全約束物體的運動。

F作用在沿接觸面切向且指向與運動趨勢相反。APTNFVf是靜滑動摩擦係數(shù)，F(xiàn)N是法向反力。臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜（滑動）摩擦力與法向反力的大小成正比，即

Fmax=f

FNF0FT靜止滑動FmaxFTC

FT=0,

靜止，無運動趨勢；F=00<FT<FTC

,靜止，有運動趨勢；F=FT

FT=FTc,臨界狀態(tài)；F=FT=FTc=Fmax

FT>FTc,

運動狀態(tài)；一般有FT<Fmax79二、含摩擦的平衡問題的分析方法特點：5）有平衡方程和摩擦補充方程Fmax=f

FN。4）考慮可能發(fā)生滑動的臨界情況(此時F=Fmax)，並由此判斷摩擦力指向。3）二物體接觸面間的摩擦力，也是相互作用的作用力與反作用力。1）問題中含有可能發(fā)生相對滑動的摩擦面。AFLFTFNAFBF

NAF

FNBF2）受力圖中應包括摩擦力，摩擦力沿滑動面切向，指向與運動趨勢相反。80AOMCF1mineaL2）制動桿受力如圖。有平衡方程

MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0摩擦方程

Fmax=f

FN;

FN=M/fr代入後求得F1min=(Ma/fr-Me/r)/L

=M(a-fe)/frL1）取輪O研究，畫受力圖。有平衡方程

MO(F)=M-Fmax

r=0

得到Fmax=M/r解：討論F1最小而制動，摩擦力最大的臨界狀態(tài)。例3.5

剎車裝置如圖。塊C與輪間摩擦係數(shù)為f，求F1min。制動的要求是F1>F1min=M(a-fe)/frLMOFmaxFNFOxFOyAF1minFmaxFNFAxFAy81例3.6

圖示懸臂可沿柱滑動,摩擦係數(shù)為f。為保證不卡住，試確定力F0的作用位置。解：1)F0向下，懸臂下滑。臨界狀態(tài)x=xmax；有：

Fx=FND-FNA=0；

Fy=FA+FD-F0=0

MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0

及FA=f

FNA,FD=f

FND

解得：FNA=FND=F0/2f,xmax=h/2f.懸臂不卡住，應有xmax<h/2f而與F0無關(guān)。ABCDxmaxhdF0FDFNDFNAFA82例3.6

圖示懸臂可沿柱滑動,摩擦係數(shù)為f。為保證不卡住，試確定力Fo的作用位置。解：2)F0向上，懸臂上滑。臨界狀態(tài)x=xmax；有：

Fx=FNB-FNC=0；

Fy=F0-FB-FC=0

MB(F)=FCd-FNCh-F0(xmax-d/2)=0

及FB=f

FNB,FC=f

FNC

同樣解得：FNB=FNC=F0/2f

xmax=h/2f.ABCDxmaxhdF0FCFNCFNBFA懸臂不卡住，應有xmax<h/2f，而與F0無關(guān)；與上下滑無關(guān)。83含摩擦的平衡問題的分析方法：研究對象

受力分析

平衡方程

求解先回憶靜力平衡問題的一般方法：（此時F=Fmax）

可滑動的臨界情況分析摩擦力沿滑動面切向，指向與運動趨勢相反。加摩擦方程Fmax=f

FN解有一個區(qū)間範圍WaFTBA84討論一：摩擦角及自鎖現(xiàn)象設(shè)主動力之合力FA的作用線與法向夾角為a，若a<r，則無論FA多大，總有全反力FR與之平衡，物體保持靜止；這種現(xiàn)象稱為自鎖。摩擦角

：臨界狀態(tài)(F=Fmax)

時，F(xiàn)R與法向間的夾角。顯然有:tg

=Fmax/FN=f即摩擦角

的正切等於靜摩擦係數(shù)f。可知，全反力FR的作用線只能在摩擦角(錐)之內(nèi)。全反力FR:支承面法向反力

FN和摩擦力F之合力。FRFNFrmaxFRQfr自鎖FAa滑動FAa>r若a>r,則無論FA多小，物體都不能保持平衡。85

2.夾緊裝置如圖。夾緊後OA水準，欲在力F0除去後工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直徑

3.破碎機軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計）

1.木楔打入牆內(nèi)，摩擦角為

，試問a為多大時木楔打入後才不致退出？aa利用自鎖條件，研究下述問題：861.木楔打入牆內(nèi)，摩擦角為

，試問a為多大時木楔打入後才不致退出？aa

不計重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而處於平衡，則FR1、FR2必共線且沿鉛垂方向(對稱性)。臨界狀態(tài)有：

a=r;自鎖條件為：a

rFR1F1maxF2maxrFR2FN187問題：

2.夾緊裝置如圖。夾緊後OA水準，欲在F0力除去後工件不松，求偏心距e.自鎖條件：

a

tga=e/(d/2)

tg=f得:e

fd/2aFROAFA

3.破碎機軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計）

二力平衡必共線。臨界狀態(tài):tga=f(D+d)cosa/2=256

解得：d34mmfa1Cosa=(1+f)2-1/2OAeF0B工件D直徑aFRa88討論二：皮帶傳動的摩擦力

皮帶在輪O上，包角

。緊邊FT2，松邊FT1，輪O逆時針轉(zhuǎn)動。研究皮帶微段。法向壓力dFN，摩擦力dF，二端拉力為FT+dFT和FT。在臨界狀態(tài)下，dF=f

dFN。FT1oMbFT2oaFN=FN(a)F=F(a)FT1FT2FT2FT1研究皮帶受力。接觸面法向分佈壓力FN、摩擦力F都是

的函數(shù)。dadFNdFyda/2oFTFT+dFT有平衡方程：

Fx=FTcos(d

/2)+f

dFN-(FT+dFT)cos(d

/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d

/2)-(FT+dFT)sin(d

/2)=089注意d

是小量，有sin(d

/2)=d

/2,cos(d

/2)=1；略去二階小量dFTd

；得到：

fdFN=dFT和dFN=FTd

;再消去dFN，

即得：dFT/FT=f

d

積分,注意

=0時，F(xiàn)T=FT1；

=

時，F(xiàn)T=FT2；有：FT1oMbFT2由平衡方程已得到：

Fx=FTcos(d

/2)+f

dFN-(FT+dFT)cos(d

/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d

/2)-(FT+dFT)sin(d

/2)=0可見：1)若f=0，即光滑接觸，有FT1=FT2，輪O不能傳遞扭矩。2)摩擦存在時，有扭矩M作用在輪上，且

M=[FT2-FT1]

r=FT2r[1-exp(-f

)].3)摩擦係數(shù)f越大，皮帶包角

越大，輪徑r越大，可傳遞的扭矩M越大。90思考題：3-4習題：3-13,3-14,3-16(b)，3-17(b)。返回主目錄913.3平面桁架橋樑結(jié)構(gòu)節(jié)點：桿件間的結(jié)合點。桁架：桿組成的幾何形狀不變的框架。平面桁架:桿軸線和外力在同一平面內(nèi)。返回主目錄92平面桁架的基本假設(shè):2)載荷都在桁架平面內(nèi)，且作用於桁架的節(jié)點處，或可作為集中載荷分配到節(jié)點處。故：力系是平面力系；桿都是在二端節(jié)點處受力的二力桿。桿內(nèi)力是沿桿的拉/壓力。1)桿均為無重直桿，

節(jié)點均為鉸接點。3)桁架只在節(jié)點處受到約束。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFB93無餘桿桁架：除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。n個節(jié)點均為匯交力系，有2n個平衡方程；未知量有m根桿的內(nèi)力和三個約束，m+3=2n，是靜定問題。

基本三角形有三根桿和三個節(jié)點，其餘(n-3)個節(jié)點各對應二根桿，故無餘桿桁架中桿數(shù)m和節(jié)點數(shù)n應當滿足：m=3+2(n-3),即m=2n-3顯然，無餘桿桁架是靜定桁架。有餘桿桁架（m>2n-3）則是靜不定的。AB123C45D67保證桁架形狀的必要條件：以基本三角形框架為基礎(chǔ)，每增加一個節(jié)點就增加二根桿件。94F討論下列桁架及問題的靜定性桿數(shù)m=7節(jié)點數(shù)n=5m=2n-3靜定桁架約束力3

靜定問題

靜定桁架，反力4一次靜不定問題

桿數(shù)m=6節(jié)點數(shù)n=4m-(2n-3)=1靜不定桁架約束力3

一次靜不定

m-(2n-3)=2靜不定桁架，約束力4

三次靜不定問題

F953.3.1節(jié)點法用節(jié)點法求平面桁架中桿內(nèi)力的步驟為：1)研究整體，求約束反力。求反力FAx、FAy

由A節(jié)點平衡求F1、F2

由D節(jié)點求F3、F4

由C節(jié)點求F5、F6

3)從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點開始，

逐一列平衡方程求解。若求得的結(jié)果為負，則是壓力。2)選取節(jié)點，畫受力圖。假定桿內(nèi)力為拉力。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFBAF1FAyFAxF2DF

2F3F4CFCF

1F

3F6F5963.3.2截面法2)任取一截面，截取部分桁架作為研究對象，畫受力圖。桿內(nèi)力假定為拉力。截面法求解桁架問題時，不需逐個節(jié)點分析，其分析方法可歸納為：3)列平衡方程求解。因為作用在研究對象上的是平面一般力系，可以求解三個未知量。1)研究整體，求約束反力。97例3.11

求圖示桁架中各桿內(nèi)力。解：1)由整體求得：

FAx=0;FAy=FE/3;FB=2FE/32)截取上部研究，受力如圖。有

Fx=0

F2=0

MD(F)=-FE(2a/3)-F3a=0

F3=-2FE/3

Fy=-FE-F3-F1=0

F1=-FE/3綜合應用截面法和截點法，可提高求解的效率。ABCDEH123456789FEa/2a/2aaa333FBFAxFAyCD456FEF3F2F13)研究節(jié)點D，可求得F4、F6；4)研究節(jié)點C，可求得F5、F6；5)研究節(jié)點B，可求得F8、F9；6)研究節(jié)點A，可求得F7、F9；DF6F4F1CF6F5F3BF8F9F3FBF9F7F1FAxFAyA98討論1：求桁架指定截面內(nèi)力。FAB123aaaaa4FF1ABF2F3F41AB23aFaaaFFFF1F2F399AKEBDCJF討論2：看板由桿系支撐，風載作用如圖。如何求各桿內(nèi)力？思考：零桿是否可以不要？KEDCJF

FCB=0D

FCD=0EKCJF100思考題：3-4習題：3-13,3-14,3-16(b)，3-17(b)。

再見返回主目錄1013.4

空間力系的平衡問題

力F

為Fz、Fxy；

Fxy

Fx、Fy；顯然有：F=Fx+Fy+Fz；且各分力為：由定義知後者正是力在各軸上的投影。故正交坐標系中，投影和分力大小相等。二次投影法：先投影到座標面，再投影到軸上。1.力在空間坐標軸上的投影AA′abxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzog一、空間中力的投影及力對軸之矩返回主目錄102物體繞軸轉(zhuǎn)動效果的度量。以門繞Z軸的轉(zhuǎn)動為例來討論。顯然有：Mz(F1)=0；Mz(F2)=02.力對軸之矩

將力F分解成Fz和Fxy，可見

Mz(Fz)=0;Mz(Fxy)=MO(Fxy)

力F對軸z之矩Mz(F)等於力在垂直於z軸之平面內(nèi)的分量Fxy對軸z與該平面交點O之矩。正負用右手螺旋法確定，（圖中為正）。力與軸相交或平行，對軸之矩為零故力F對軸z之矩可寫為：Mz(F)=MO(Fxy)=

Fxy

h

zF1FF2yhOxFxyFz103例:

試寫出圖中力F在軸上的投影及對力軸之矩。Fx=0Fy=(4/5)F=40NFZ=(3/5)F=30NMx(F)=-Fy

z+Fz

y=-40+36=-4N.mMy(F)=-FZ

x=-6N.mMz(F)=Fy

x=8N.m利用合力矩定理，進一步有：

Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=Fx

y+Fy

xOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mA'F=50Naa=0.6mb=0.8maFyFZ104二、力偶矩的向量表示故：力偶對剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。力偶矩矢是自由矢，可平行移動。

空間力偶系的合成可按力偶矩向量求和進行。力偶矩矢

M：矢的長度--力偶矩的大??；

矢的指向--力偶作用平面的法向；轉(zhuǎn)向由右手螺旋規(guī)則確定。1）力偶矩矢：空間力偶對剛體的作用效果取決於力偶矩的大??；力偶作用平面；力偶的轉(zhuǎn)動方向。F'xyzFM1052）空間中力對點之矩與力對軸之矩間的關(guān)係如圖，力F對O點之矩矢MO垂直於OAB平面且大小為：

MO=MO(F)=F

h=2

OABAzBOMOFh另一方面：力F對軸z之矩等於其在垂直於軸z之的平面內(nèi)的分量F

對交點O之矩，即：故可知：力對某點之矩矢在過該點任一軸上的投影等於力對該軸之矩。Mz(F)=M0(F

)=2

Oab=2

OAB

cos

=MOcos

F'abMzg106三、空間一般力系的簡化和平衡1.空間中力的平移力F平移到A點，得到力F

和作用於Abc面以力偶矩矢表示的力偶M?？臻g匯交力系空間力偶系主矩MO力偶矩矢表示主矢FR'匯交於O空間一般力系向某點O平移2.空間力系的簡化力F向A點平移F

和M,F

M

xyzOFbAcF

M=MO(F)107當主矢和主矩都等於零時，空間力系為平衡力系?？臻g一般力系向某點O平移主矢FR'主矩MO若FR

0，MO=0；為一合力，且FR=FR空間力系簡化的最終結(jié)果：若FR

=0，MO0；為一合力偶且M=MO2)MO

FR’，在MO、FR平面內(nèi)將向量MO分解，得到力FR和與其平行的力偶矩矢MR，稱為力螺旋。1)MO

FR，反向應用力的平移定理，得到一合力。