4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版 (1)2

4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)怎么解呢？3，-1探究新知1xy0－132112－1－2－3－4...yx0－1212無實(shí)數(shù)根xy0－132112543結(jié)論：一元二次方程的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則相應(yīng)的二次函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)。

二次函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系

其他函數(shù)與方程之間也有同樣結(jié)論嗎？方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根

函數(shù)y=f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)0xyx1x2x3x4y=f(x)推廣到更一般的情況，得：

零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)實(shí)數(shù).問題2零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)嗎？函數(shù)的零點(diǎn)

數(shù)形

題型一、求函數(shù)的零點(diǎn)方法1：解方程得根1.觀察二次函數(shù)f(x)＝x2－2x－3的圖象：①在區(qū)間[-2，1]上有零點(diǎn)______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0(“＜”或“＞”)．－1－45<-22-2-41O1234-3-1-1yx在怎樣的條件下，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a,b]上存在零點(diǎn)？②在區(qū)間[2,4]上是否也具有這種特點(diǎn)呢？探究新知22.觀察函數(shù)的圖象并填空:①在區(qū)間(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．在區(qū)間(a,b)上______(有/無)零點(diǎn)；②在區(qū)間(b,c)上f(b)·f(c)_____0(“＜”或“＞”)．在區(qū)間(b,c)上______(有/無)零點(diǎn)；③在區(qū)間(c,d)上f(c)·f(d)_____0(“＜”或”＞”)．在區(qū)間(c,d)上______(有/無)零點(diǎn)；有<有<有<xyOabcd3.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)?f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.思考：若f(a)f(b)﹤0，則y=f(x)在區(qū)間(a,b)上一定有零點(diǎn)嗎？Ox“連續(xù)且異號(hào)”兩個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不一定成立“連續(xù)不異號(hào)”，“異號(hào)不連續(xù)”，“不連續(xù)不異號(hào)”等都不能判定該函數(shù)是否存在零點(diǎn)。

（1）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn). （）（3）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).，則f(x)必滿足f(a)·f(b)<0. （）（2）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)≥0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點(diǎn). （）（4）已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)且滿足

f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)區(qū)間(a,b)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。（）辨析：例2

求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)由表可知f(2)<0，f(3)>0，從而f(2)·f(3)<0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點(diǎn)．由于函數(shù)f(x)在定義域(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn)．解：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)列出x、f(x)的對(duì)應(yīng)值表，并畫出圖象：x123456789f(x)-4-1.31.13.45.67.89.912.114.2題型二判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例2

求函數(shù)f(x)=lnx+2x－6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)方法二：求方程lnx＋2x－6=0的解的個(gè)數(shù)，即求y=lnx和y=－2x＋6=0圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫圖可知這兩個(gè)函數(shù)圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6零點(diǎn)只有一個(gè)練習(xí)：1.(多選)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為(

)A．(1，2)B．(2，3)C．(5，6)D．(5，7)x1234567f(x)－4－2142－1－3解析：由所給的函數(shù)值表知，f(1)f(2)＞0，f(2)f(3)＜0，f(5)f(6)＜0，f(5)f(7)＜0，∴f(x)在區(qū)間(2，3)，(5，6)，(5，7)內(nèi)各至少有一個(gè)零點(diǎn)．故選BCD．個(gè)數(shù)為例3.函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_____．解法一：令f(x)＝0，可得方程lnx＋x2－3＝0，即lnx＝3－x2，故原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝lnx與y＝3－x2圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象(如圖)．由圖可知，函數(shù)y＝3－x2與y＝lnx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－3只有一個(gè)零點(diǎn)．練習(xí)：1.如圖，該函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有________個(gè)，零點(diǎn)為_____________.3-4,-2,3

2

0個(gè)1個(gè)1個(gè)3.BC練習(xí)

題型三已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或所在區(qū)間求參數(shù)范圍（0,2）23練習(xí)DA思考1：你能確定下列方程的解的個(gè)數(shù)及解所在區(qū)間嗎？題型四用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值我們已經(jīng)知道，函數(shù)y=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)．進(jìn)一步的問題是，如何求出這個(gè)零點(diǎn)呢?xy1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972問題探究問題探究12345

一個(gè)直觀的想法是：如果能將零點(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點(diǎn)的近似值．為了方便，可以通過取區(qū)間中點(diǎn)的方法，逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍．f(x)=lnx+2x-6∵f(2)<0，f(3)>0∴x0∈(2，3)∵f(2.5)<0，f(3)>0∴x0∈(2.5，3)∵f(2.5)<0，f(2.75)>0∴x0∈(2.5，2.75)∵f(2.5)<0，f(2.625)>0∴x0∈(2.5，2.625)∵f(2.5)<0，f(2.5625)>0∴x0∈(2.5，2.5625)∵f(2.53125)<0，f(2.5625)>0∴x0∈(2.53125，2.5625)二分法求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)近似值

由于(2，3)?(2.5，3)?(2.5，2.75)，所以零點(diǎn)所在的范圍變小了．如果重復(fù)上述步驟，那么零點(diǎn)所在的范圍會(huì)越來越小，這樣，我們就可以通過有限次重復(fù)相同的步驟，將零點(diǎn)所在范圍縮小到滿足一定精確度的區(qū)間，區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值．為了方便，我們把區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值．問題探究零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.56250.066(2.5，2.5625)2.53125-0.009(2.53125，2.5625)2.5468750.029(2.53125，2.546875)2.53906250.010(2.53125，2.5390625)2.535156250.001例如，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，因?yàn)閨2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，所以區(qū)間(2.53125，2.5390625)內(nèi)任意一點(diǎn)都可以作為零點(diǎn)的近似值，也可以將x=2.53125作為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點(diǎn)的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解.問題探究1、用二分法研究函數(shù)f(x)=x3＋3x－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過計(jì)算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________.(0，0.5)∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0，0.5)，