第5講函數(shù)圖象探究與性質(zhì)(學(xué)生用)

第5講函數(shù)的圖象與性質(zhì)典例剖析題型一根據(jù)圖象求不等式的解集例1在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程．以下是我們研究函數(shù)y＝性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程，請(qǐng)按要求完成下列各小題．（1）請(qǐng)把下表補(bǔ)充完整，并在圖中補(bǔ)全該函數(shù)圖象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y＝…﹣﹣﹣﹣303…（2）根據(jù)函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說法是否正確，正確的在答題卡上相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的在答題卡上相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“×”；①該函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸為y軸．②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，有最大值和最小值．當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值3；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最小值﹣3．③當(dāng)x＜﹣1或x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大．（3）已知函數(shù)y＝2x﹣1的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式：＞2x﹣1的解集（保留1位小數(shù)，誤差不超過0.2）．跟蹤訓(xùn)練1．探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù)y＝﹣的圖象并探究該函數(shù)的性質(zhì)．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…﹣a﹣2﹣4b﹣4﹣2﹣﹣…（1）列表，寫出表中a，b的值：a＝，b＝；描點(diǎn)、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象．（2）觀察函數(shù)圖象，判斷下列關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的結(jié)論是否正確（在答題卡相應(yīng)位置正確的用“√”作答，錯(cuò)誤的用“×”作答）：①函數(shù)y＝﹣的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)y＝﹣有最小值，最小值為﹣6；③在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)y的值隨自變量x的增大而減小．（3）已知函數(shù)y＝﹣x﹣的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式﹣＜﹣x﹣的解集．2．在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達(dá)式﹣﹣利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)一一運(yùn)用函數(shù)解決問題“的學(xué)習(xí)過程．在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們通過描點(diǎn)或平移的方法畫出了所學(xué)的函數(shù)圖象．同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義|a|＝．結(jié)合上面經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程，現(xiàn)在來解決下面的問題在函數(shù)y＝|kx﹣3|+b中，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1．（1）求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)用你喜歡的方法畫出這個(gè)函數(shù)的圖象并寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）已知函y＝x﹣3的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．題型二根據(jù)圖象求方程的近似解例2有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y＝2x+的圖象，并利用圖象解決問題．小澤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y＝2x+的圖象進(jìn)行了探究．下面是小澤的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）函數(shù)y＝2x+的自變量x的取值范圍是；（2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．x…﹣2﹣﹣1﹣﹣12…y…﹣﹣﹣1353m…其中m的值為；（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)．根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)2x+＝4時(shí)，x的值約為．跟蹤訓(xùn)練1．設(shè)函數(shù)y＝k1x+，且k1?k2≠0，自變量x與函數(shù)值y滿足以下表格：x……﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234……y……﹣3﹣2﹣101﹣101mn……（1）根據(jù)表格直接寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式及自變量x的取值范圍；（2）補(bǔ)全上面表格：m＝，n＝；在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)補(bǔ)全y關(guān)于x的函數(shù)圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題：①寫出函數(shù)y的一條性質(zhì)：；②當(dāng)函數(shù)值y≥時(shí)，x的取值范圍是；③當(dāng)函數(shù)值y＝﹣x時(shí)，結(jié)合圖象請(qǐng)估算x的值為（結(jié)果保留一位小數(shù)）．2．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y＝+1的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）函數(shù)y＝+1的自變量x的取值范圍是；（2）下表列出了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)寫出m，n的值：m＝，n＝；x…﹣﹣1﹣023…y…m0﹣1n2…（3）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，描全上表中以各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象．（4）結(jié)合函數(shù)的圖象，解決問題：①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：；②當(dāng)函數(shù)值+1＞時(shí)，x的取值范圍是：；③方程+1＝x的解為：．題型三根據(jù)圖象探究方程解的個(gè)數(shù)例3某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)y＝x2﹣2|x|的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中，m＝．（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫出該函數(shù)圖象的另一部分．（3）觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)．（4）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①函數(shù)圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的方程x2﹣2|x|＝0有個(gè)實(shí)數(shù)根；②方程x2﹣2|x|＝2有個(gè)實(shí)數(shù)根；③關(guān)于x的方程x2﹣2|x|＝a有4個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，a的取值范圍是．跟蹤訓(xùn)練1．根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探究函數(shù)y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0）的圖象和性質(zhì)：（1）下表給出了部分x，y的取值；x﹣3﹣2﹣1012345y30﹣1030﹣103由上表可知，a＝，b＝；（2）用你喜歡的方式在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的圖象；（3）結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（4）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．2．某課外學(xué)習(xí)小組根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y＝x3﹣3x的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．請(qǐng)補(bǔ)充完整以下探索過程：（1）列表：x…﹣2﹣1012…y…﹣2m20n2…請(qǐng)直接寫出m，n的值；（2）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)補(bǔ)全該函數(shù)的圖象；（3）若函數(shù)y＝x3﹣3x的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，則y1，y2，y3之間的大小關(guān)系為（用“＜”連接）；（4）若方程x3﹣3x＝k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出k的取值范圍．過關(guān)精練1．函數(shù)圖象在探索函數(shù)的性質(zhì)中有非常重要的作用，下面我們就一類特殊的函數(shù)展開探索．畫函數(shù)y＝﹣2|x|的圖象，經(jīng)歷分析解析式、列表、描點(diǎn)、連線過程得到函數(shù)圖象如圖所示；經(jīng)歷同樣的過程畫函數(shù)y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的圖象如圖所示．x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣6﹣4﹣20﹣2﹣4﹣6…（1）觀察發(fā)現(xiàn)：三個(gè)函數(shù)的圖象都是由兩條射線組成的軸對(duì)稱圖形；三個(gè)函數(shù)解析式中絕對(duì)值前面的系數(shù)相同，則圖象的開口方向和形狀完全相同，只有最高點(diǎn)和對(duì)稱軸發(fā)生了變化．寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)和函數(shù)y＝﹣2|x+2|的對(duì)稱軸．（2）探索思考：平移函數(shù)y＝﹣2|x|的圖象可以得到函數(shù)y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的圖象，分別寫出平移的方向和距離．（3）拓展應(yīng)用：在所給的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝﹣2|x﹣3|+1的圖象．若點(diǎn)（x1，y1）和（x2，y2）在該函數(shù)圖象上，且x2＞x1＞3，比較y1，y2的大?。?．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y＝+1的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）函數(shù)y＝+1的自變量x的取值范圍是；（2）如表列出了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)寫出m，n的值：m＝，n＝；x…﹣﹣1﹣023…y…m0﹣1n2…（3）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，描全上表中以各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象．（4）結(jié)合函數(shù)的圖象，解決問題：①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：．②當(dāng)函數(shù)值+1＞時(shí)，x的取值范圍是：．3．根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)“先確定自變量取值范圍﹣后觀察圖象歸納性質(zhì)”，對(duì)函數(shù)y＝圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究：（1）寫出自變量x的取值范圍是；（2）若下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值（如下圖所示），并在平面直角坐標(biāo)系中，描出了表格對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)．x…﹣2﹣1﹣01234…y…242m…①表中m的值為；②根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出函數(shù)y＝的大致圖象；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，①請(qǐng)寫出函數(shù)y＝的兩條性質(zhì)；②若此函數(shù)的圖象與直線y＝a的交點(diǎn)有2個(gè)，請(qǐng)寫出a的取值范圍．4．已知函數(shù)y＝x3﹣2x，如表是函數(shù)的幾組對(duì)應(yīng)值：x…﹣4﹣3.5﹣3﹣2﹣101233.54…y…﹣2.67﹣0.151.52.671.830﹣1.83﹣2.67﹣1.50.152.67…請(qǐng)你根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，利用表格所反映出的y與x之間的變化規(guī)律，對(duì)該函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究．下面是小騰的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)．根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象（2）根據(jù)函數(shù)圖象，按要求填空：①在y軸左側(cè)該函數(shù)圖象有最點(diǎn)，其坐標(biāo)為．②當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，該函數(shù)y隨x的增大而．③當(dāng)方程x3﹣2x﹣a＝0只有一個(gè)解時(shí)，則a的取值范圍為、．5．若一個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)表達(dá)式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．下面我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，探究分段函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)．列表：x…﹣3﹣﹣2﹣﹣1﹣0123…y…121012…描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示．（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，觀察描出的這些點(diǎn)的分布，作出函數(shù)圖象；（2）研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問題：①點(diǎn)A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函數(shù)圖象上，則y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②當(dāng)函數(shù)值y＝2時(shí)，求自變量x的值；③在直線x＝﹣1的右側(cè)的函數(shù)圖象上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y(tǒng)4，求x3+x4的值；④若直線y＝a與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．6．有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)．小彤根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y＝的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小彤探究的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是；（2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：x…﹣2﹣101245678…y…m0﹣132…則m的值為；（3）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出了圖象的一部分，請(qǐng)根據(jù)剩余的點(diǎn)補(bǔ)全此函數(shù)的圖象；（4）觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條質(zhì)：；（5）若函數(shù)y＝的圖象上有三個(gè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，則y1、y2、y3之間的大小關(guān)系為．7．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”對(duì)函數(shù)的函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）函數(shù)的自變量x的取值范圍是；下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．x…﹣3﹣2﹣102345…y…﹣﹣﹣﹣1﹣﹣3m…則表格中的m＝；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表格中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；（3）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3），結(jié)合函數(shù)圖象，寫出一條該函數(shù)的其它性質(zhì)；（4）該函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（，）成中心對(duì)稱，若直線y＝m與該函數(shù)的圖象無交點(diǎn)，請(qǐng)求出m的取值范圍．8．有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y＝﹣x的圖象與性質(zhì)．小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y＝﹣x的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小東的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并解決相關(guān)問題：（1）函數(shù)y＝﹣x的自變量x的取值范圍是；（2）下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣1﹣1234…y…﹣﹣m…則m的值為．（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)．根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；（4）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，），結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其它性質(zhì)（一條即可）：