2.2.2不等式的解集課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第二章等式與不等式

2.2不等式

2.2.2不等式的解集基礎(chǔ)知識(shí)從初中數(shù)學(xué)中我們已經(jīng)知道，能夠使不等式成立的未知數(shù)的值稱(chēng)為不等式的解，解不等式的過(guò)程中要不斷地使用不等式的性質(zhì)。一般地，不等式的所有解組成的集合稱(chēng)為不等式的解集，對(duì)于由若干個(gè)不等式聯(lián)立得到的不等式組來(lái)說(shuō)，這些不等式的解集的交集稱(chēng)為不等式組的解集。典例精析例1求不等式組2x＋1≥－9①

的解集

(－∞，－3)不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系是什么？提示：(1)不等式的解是指滿(mǎn)足這個(gè)不等式的未知數(shù)的一個(gè)值，而不等式的解集是指滿(mǎn)足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有值。不等式的解是不等式的解集中的一個(gè)。(2)不等式的解集必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是解集內(nèi)的數(shù)都是不等式的解；二是解集外的數(shù)都不是不等式的解。若m＝0或m<0時(shí)，不等式的解集是怎樣的？提示：不等式m＝0m<0|x|<m??|x|>m{x∈R|x≠0}R我們知道，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離稱(chēng)為數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|，而且；一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0。一般地，含有絕對(duì)值的不等式稱(chēng)為絕對(duì)值不等式。例如，|x|＞3，|

x－1|≤2都是絕對(duì)值不等式。嘗試與發(fā)現(xiàn)你能給出|x|＞3的解集嗎?(2)試總結(jié)出m>0時(shí)，關(guān)于x

的不等式|x

|＞m

和|x

|≤m

的解集。根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，|x|>3等價(jià)于x≥0x＞

3或x＜

0－x＞

3即x>3或x<－3，因此|x|>3的解集為(－∞，－3)∪(3，＋∞).不等式|x|>3的解集也可由絕對(duì)值的幾何意義得到：因?yàn)閨x|是數(shù)軸上表示數(shù)x

的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，所以數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)組成的集合就是|x|>3的解集，從而由圖可知所求解集為(－∞，－3)∪(3，＋∞)。用類(lèi)似方法可知，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的不等式|x|＞m的解為x＞m或x<－m，因此解集為(－∞，－m)∪(m，＋∞);關(guān)于x的不等式|x|≤m的解為－m≤x≤m，因此解集為_(kāi)_________________.[－m，m]嘗試與發(fā)現(xiàn)你能給出|a－1|≤2的解集嗎?

嘗試與發(fā)現(xiàn)任意給出幾個(gè)a

的值，求出對(duì)應(yīng)的|a－1|的值，并借助數(shù)軸考慮|a－1|的幾何意義。當(dāng)a=－2時(shí)，|a－1|=|－2－1|=3，而且在數(shù)軸上，表示－2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離是3；當(dāng)a=3時(shí)，|a－1|=|3－1|=2，而且在數(shù)軸上，表示3的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離是2。因此，如果數(shù)軸上表示a的點(diǎn)為A，表示1的點(diǎn)為B，則A，B之間的距離為|a－1|，如圖所示這樣一來(lái)，數(shù)軸上與表示1的點(diǎn)的距離小于或等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)組成的集合就是|a－1|≤2的解集，又因?yàn)閿?shù)軸上與表示1的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－1和3，因此由圖可知|a－1|≤2的解集為[－1，3].一般地，如果實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為AB=|a－b|，這就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式。更進(jìn)一步，如果線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則由AM=MB可知|a－x|=|x－b|，因此：當(dāng)a＜b時(shí)，有a<x<b，從而x－a=b－x，所以

當(dāng)a≥b

時(shí)，類(lèi)似可得上式仍成立，這就是數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。(3)絕對(duì)值不等式的幾何意義。不等式(m>0)解集的幾何意義|x|<m數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離小于m的所有數(shù)的集合|x|>m數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于m的所有數(shù)的集合|x－b|<m數(shù)軸上與表示b的點(diǎn)的距離小于m的所有數(shù)的集合|x－b|>m數(shù)軸上與表示b的點(diǎn)的距離大于m的所有數(shù)的集合不等式|x＋1|≤3的解集的幾何意義是什么？提示：數(shù)軸上與表示－1的點(diǎn)的距離小于或等于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)組成的集合。典例精析例2設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)A

與數(shù)3對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與數(shù)x對(duì)應(yīng)，已知線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不大于5，求x的取值范圍。

[－13，7]基礎(chǔ)自測(cè)1．不等式2x＋9≥3(x＋2)的解集是(

)A．(－∞，3]

B．(－∞，－3]C．[3，＋∞)

D．[－3，＋∞)解析：原不等式可化為2x＋9≥3x＋6，即x≤3.A

2.已知集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z)，則M∩N＝(

)A．{x|0<x≤2，x∈R}

B．{x|0<x≤2，x∈Z}C．{－1，－2,1,2}

D．{1,2,3}解析：由|x－1|≤2得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3。所以N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{1,2,3}．D

4．不等式|x－3|<2的解集為_(kāi)________.解析：∵|x－3|<2，∴－2<x－3<2，∴1<x<5，∴解集為(1,5)．5．若A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)分別為A(2)，B(－4)，則|AB|＝____，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)________.(1,5)

6

M(－1)

典例剖析不等式組的解集解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：思路探究：分別求出各不等式的解集，再求出各個(gè)解集的交集，并在數(shù)軸上表示出來(lái)即可。解析：(1)解不等式2x＋3>1，得x>－1，解不等式x－2<0，得x<2，則不等式組的解集為{x|－1<x<2}．將解集表示在數(shù)軸上如下：歸納提升：解不等式(組)的注意點(diǎn)(1)移項(xiàng)要改變項(xiàng)的符號(hào)。(2)利用性質(zhì)3時(shí)要改變不等號(hào)的方向。(3)不等式組的解集是構(gòu)成不等式組的各個(gè)不等式解集的交集。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練C

典例剖析解絕對(duì)值不等式解不等式3≤|x－2|<4.思路探究：此題的不等式屬于絕對(duì)值的連不等式，求解時(shí)可將其化為絕對(duì)值的不等式組再求解。歸納提升：絕對(duì)值不等式的解題策略：等價(jià)轉(zhuǎn)化法(1)形如|x|<a，|x|>a(a>0)型不等式：|x|<a?－a<x<a.|x|>a?x>a或x<－a.(2)形如a<|x|<b(b>a>0)型不等式：a<|x|<b(0<a<b)?a<x<b或－b<x<－a.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練不等式|2x＋1|>3的解集是___________________.解析：由|2x＋1|>3，得2x＋1>3或2x＋1<－3，因此x<－2或x>1，所以原不等式的解集為{x|x<－2或x>1}。{x|x<－2或x>1}

典例剖析數(shù)軸上的基本公式及應(yīng)用已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為A(－1)，B(3)，P(x)。(1)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離都是2時(shí)，求P(x)，此時(shí)P與線(xiàn)段AB是什么關(guān)系？(2)在線(xiàn)段AB上是否存在一點(diǎn)P(x)，使得P到A和B的距離都是3？若存在，求P(x)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思路探究：根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。(2)不存在這樣的P(x)，理由如下：∵AB＝|1＋3|＝4<6，∴在線(xiàn)段AB上找一點(diǎn)P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的．歸納提升：數(shù)軸上基本公式的應(yīng)用(1)已知數(shù)軸上兩點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩點(diǎn)間的距離公式求距離，若已知兩點(diǎn)間的距離，也可用距離公式求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以解決三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題．其中已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，可用公式求第三點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知數(shù)軸上，A(－2)，B(x)，C(6)．(1)若A與C關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)，求x的值；(2)若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到C的距離大于5，求x的取值范圍。典例剖析求解絕對(duì)值不等式時(shí)不理解絕對(duì)值的代數(shù)意義致錯(cuò)求不等式|x－1|＋|x－2|≥3的解集。錯(cuò)因探究：利用絕對(duì)值的代數(shù)意義去絕對(duì)值時(shí)，一定要弄清各式值的正負(fù)，否則就會(huì)出錯(cuò)。解析：令x－1＝0，x－2＝0，解得x＝1，x＝2.當(dāng)x<1時(shí)，原不等式可化為1－x＋2－x≥3，解得x≤0.∴原不等式的解集為{x|x≤0}．當(dāng)1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為x－1＋2－x≥3,1≥3顯然不成立．∴原不等式的解集為?.當(dāng)x>2時(shí)，原不等式可化為x－1＋x－2≥3，解得x≥3.∴原不等式的解集為{x|x≥3}．綜上可知原不等式的解集為{x|x≤0或x≥3}．誤區(qū)警示：解絕對(duì)值不等式時(shí)注意：①利用絕對(duì)值的代數(shù)意義去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，各式值的正負(fù)必須弄清；②在利用零點(diǎn)分段法對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，注意x的取值范圍，同時(shí)注意不要忘記解集的確定。典例剖析由不