滬科版初三數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

⑷若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例——全等形．相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例。注意：當(dāng)兩個相似的多邊形是全等形時，他們的對應(yīng)邊的長度的比值是1.知識點二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或）2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如4、比例外項：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項。5、比例內(nèi)項：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項。6、第四比例項：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。7、比例中項：如果比例中兩個比例內(nèi)項相等，即比例為（或a:b＝b:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì):（兩外項的積等于兩內(nèi)項積）2.合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）．注意：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：．3.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.）如果，那么．注意：(1)此性質(zhì)的證明運用了“設(shè)法”，這種方法是有關(guān)比例計算，變形中一種常用方法．(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零．(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．知識點三：黃金分割定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。其中≈0.618。2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點C使C是線段AB的黃金分割點.作法：①過點B作BD⊥AB，使；②連結(jié)AD，在DA上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE，則點C就是所求作的線段AB的黃金分割點.黃金分割的比值為：

.（只要求記?。?）矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形。知識點四：平行線分線段成比例定理(一)平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比.例.已知l1∥l2∥l3,ADl1BEl2CFl3可得2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.是“A是“A”字型是“8”字型經(jīng)?？?，關(guān)鍵在于找由DE∥BC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.(即利用比例式證平行線)4.定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例.5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一條直線上截得的線段也相等?！铩铩锶切我贿叺钠叫芯€性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應(yīng)成比例。幾何語言∵△ABE中BD∥CE∴簡記：歸納：和推廣：類似地還可以得到和★★★三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.★★★三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.★★★平行線分線段成比例定理1．平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.用符號語言表示：AD∥BE∥CF,.2．平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號語言表示：.重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍.知識點三：相似三角形相似三角形1）定義：如果兩個三角形中，三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個全等三角形一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。補充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；性質(zhì)：兩個相似三角形中，對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例。相似比：兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。如△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF。相似比為k。4）判定：①定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。②三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。相似三角形的性質(zhì)①相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.②相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、周長的比都等于相似比(對應(yīng)邊的比).③相似三角形對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.相似的應(yīng)用：位似1）定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。②兩個位似圖形的位似中心只有一個。③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。④位似比就是相似比。2）性質(zhì)：①位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。②位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離等于位似比（相似比）。③每對位似對應(yīng)點與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行。直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。∠A=30°可表示如下：BC=AB∠C=90°3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=AB=BD=ADD為AB的中點4、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項∠ACB=90°CD⊥AB6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC二、直角三角形的判定1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形。三、銳角三角函數(shù)的概念（3~8分）1、如圖，在△ABC中，∠C=90°①銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即2、銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在104、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°~90°之間變化時，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余切值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅秷A》圓的周長：C=2πr或C=πd、圓的面積：S=πr2圓環(huán)面積計算方法：S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）二、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi)點在圓內(nèi)；2、點在圓上點在圓上；3、點在圓外點在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有一個交點；3、直線與圓相交有兩個交點；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）無交點；外切（圖2）有一個交點；相交（圖3）有兩個交點；內(nèi)切（圖4）有一個交點；內(nèi)含（圖5）無交點；五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即：①是直徑②③④弧弧⑤弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧六、圓心角定理頂點到圓心的角，叫圓心角。圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：①；②；③；④弧弧七、圓周角定理頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角∴2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角∴推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在⊙中，∵是直徑或∵∴∴是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊形是內(nèi)接四邊形∴九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可