初中八年級(jí)數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)課件：正方形（測試）（解析版）

專題10正方形

專題測試

1.（2018春?巴南區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在線段DE上，若AB=AF,

貝I"BFE=（）

【答案】A

【解析】解：???四邊形ABCD是正方形,

，AB=AD,ZBAD=90",

VAB=AF,

/.△ABF和4ADF都是等腰三角形，

=N3=/4,

VZBAD+Zl+Z2+Z3+Z4=360°,

.*.2/2+2/3=270°,

.*.Z2+Z3=135",

/.ZBFE=180°-135°=45°,

故選：A.

2.（2018春?玄武區(qū)期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E,使得BE=CE,連接ED、BD.BD

與CE相交于點(diǎn)O,若NEOD=75°,則ABED的面積為（）

迅

A.2B.473-4c.G+lD.16-873

【答案】B

【解析】解：如圖所示：過點(diǎn)E作EF_LBC,垂足為F,作EGLDC,垂足為G.

AZECD=30°.

.".ZECB=60°.

XVBE=CE,

.,.△BCE為等邊三角形.

EC=BC=4.

，EF=GFC=2G.

:在RtZ\EGC中，ZECG=30°,

_1

AEG2EC=2.

Ill1

=+—=—xJ?+—x

；.S四邊形BDEC2cB?EF2DC?EG24X224X2=46+4.

_1

XVSABCD2BC?DC=8,

.?.△BED的面積=(4/+4)-8=4依-4.

故選：B.

3.（2018春?洛寧縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OAiBiC的對(duì)角線A1C和OBi

交于點(diǎn)Mi；以MiAi為對(duì)角線作第二個(gè)正方形A2A1B2M1,對(duì)角線AiMi和A2B2交于點(diǎn)M2;以M2Al

為對(duì)角線作第三個(gè)正方形A3A1B3M2,對(duì)角線A1M2和A3B3交于點(diǎn)M3；…，依此類推，這樣作第n個(gè)

【答案】C

【解析】解：???正方形OAiBiC的邊長為1,對(duì)角線AiC和OBi交于點(diǎn)Mi,

11

...第一個(gè)正方形的面積為1,點(diǎn)Ml(2,2),

1

則第二個(gè)正方形的面積為4；

以AiMi為對(duì)角線作第二個(gè)正方形A2A1B2M1,對(duì)角線AiMi和A2B2交于點(diǎn)M2,

31

.?.點(diǎn)M2(4,4),

3=1---=1---

則第三個(gè)正方形的面積為(14)21642.

以A1M2為對(duì)角線作第三個(gè)正方形A3A1B3M2,對(duì)角線A1M2和A3B3交于點(diǎn)M3,

71

.,.M3(8,8),

7

則第四個(gè)正方形的面積為(18)26443,

1

所以第n個(gè)正方形的面積為4"-1,

故選：C.

4.（2018春?樂亭縣期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中正確的有（）

①當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形；②當(dāng)AC_LBD時(shí)，它是菱形；

③當(dāng)NABC=90°時(shí)，它是矩形；④當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形.

A.3個(gè)B.4個(gè)C.1個(gè)D.2個(gè)

【答案】A

【解析】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

...當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形，故①正確，

當(dāng)ACLBD時(shí)，它是菱形，故②正確，

當(dāng)NABC=90°時(shí)，它是矩形，故③正確，

當(dāng)AC=BD時(shí)，它是矩形，故④錯(cuò)誤，

故選：A.

5.（2018秋?臨渭區(qū)期末）正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在CD、BC邊上，Z\AEF是等邊三角形.以下

結(jié)論：①EC=FC；②/AED=75°；（3）AF=A^CE；④EF的垂直平分線是直線AC.正確結(jié)論個(gè)數(shù)有

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】解：：四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD=BC=CD,NB=NC=ND=NDAB=90°

「△AEF是等邊三角形

；.AE=AF=EF,ZEAF=ZAEF=60°

VAD=AB,AF=AE

AAABF^AADE

r.BF=DE

；.BC-BF=CD-DE

/.CE=CF

故①正確

VCE=CF,ZC=90°

.,.EF=AA：E,ZCEF=45°

.?.AF=AA：E,

ZAED=180°-ZCEF-ZAEF

，NAED=75°

故②③正確

；AE=AF,CE=CF

AAC垂直平分EF

故④正確

故選：D.

6.（2018春?澄海區(qū)期末）如圖，已知直線h〃12〃13〃14,相鄰兩條平行線間的距離都是1,正方形ABCD

的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，則正方形ABCD的面積為（）

A.邪B.A/5C.3D.5

【答案】D

【解析】解：作EFJJ2,交h于E點(diǎn)，交14于F點(diǎn).

：h〃12〃13〃14,EF±12,

AEFlli,EF114,

即/AED=/DFC=90°.

；ABCD為正方形,

???NADC=900.

，NADE+NCDF=90°.

XVZADE+ZDAE=90°,

???NCDF=NDAE.

在4ADE和4DCF中

(A.DEA=乙CFD

\LEAD=Z.CDF

IAD=DC

/.△ADE^ADCF(AAS),

ACF=DE=1.

,:DF=2,

.*.CD2=l2+22=5,

即正方形ABCD的面積為5.

故選：D.

7.(2018春?慈溪市期末)如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上按如下操作：連結(jié)AC,作AC的垂直平

分線MN分別交AD、AC、BC于M、0、N,連結(jié)AN,CM,則四邊形ANCM是（）

*

A不_______M/D

A.矩形B.菱形C.正方形D.無法判斷

【答案】B

【解析】證明：：MN垂直平分AC,

A_不______M/_D

，AO=CO,ZAOM=90°,

又???AD〃BC,

；./MAC=/NCA,

在△AOPM和△CON中,

f^MAO=乙NCO

OA=OC

L10M=/C0N,

.?.△AOPM^ACON,

.,.OM=ON,

；.AC和MN互相垂直平分，

四邊形ANCM是菱形；

故選：B.

8.（2018春?如皋市期末）如圖，以RtZ\ABC的斜邊BC為邊，在aABC的同側(cè)作正方形BCEF,設(shè)正方

形的中心為0,連接AO.若AB=4,AO=6A/2,則AC的長等于()

二

B

A.12#B.16C.8+6艱D.4+6"

【答案】B

【解析】解：在AC上取一點(diǎn)G使CG=AB=4,連接OG

工

B

VZABO=90°-ZAHB,ZOCG=90°-ZOHC,ZOHC=ZAHB

AZABO=ZOCG

VOB=OC,CG=AB

.,.△OGC^AOAB

???OG=OA=6痣ZBOA=ZGOC

ZGOC+ZGOH=900

.,.ZGOH+ZBOA=90°

即：ZAOG=90°

.?.△AOG是等腰直角三角形，AG=12（勾股定理）

.*.AC=16.

故選：B.

9.（2018春?江夏區(qū)期末）如圖，正方形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O,DE平分NBDC交AC于E

交BC于E.若正方形ABCD的邊長為2,貝ij3OF+2CE=（）（供參考（m+1）1）=a-1,

其中a20）

A.3+*B.4+2企C.A/2+1D.也+2

【答案】D

【解析】解：在正方形ABCD中，：AD=DC=2,NADC=90°,

.'AC=2嫄，

，OC=媳，

VZBDC=45°,ZBCD=90°,

VED平分/BDC,

；.NBDE=NCDE=22.5°,

；./DEC=67.5°,

VZFCE=45°,

AZEFC=67.5°=NDEC,

，EC=FC,

2CE+2OF=2OC=2也

過F作FG±CD于G,

VAC±BD,ED平分/BDC,

.,.OF=FG,

VZACD=45°,

...△FCG是等腰直角三角形，

.*.CF=A^FG=A/2OF,

.*.OF+&OF=OC=/，

72J2(72-1)_

/.OF1+，212-鏡，

/.3OF+2CE=OF+2OF+2CE=2-#+2#=2+媳.

故選：D.

10.（2018春?江海區(qū)期末）如圖，E是邊長為4的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC,P為

CE上任意一點(diǎn)，PQLBC于點(diǎn)Q,PRLBR于點(diǎn)R,則PQ+PR的值是（）

0

8

B.2C.2GD.3

【答案】A

設(shè)點(diǎn)C到BE的距離為h,

0

則SABCE=SABCP+SABEP?

111

+—

即2BE，h2BC?PQ2BE?PR,

VBE=BC,

，h=PQ+PR,

正方形ABCD的邊長為4,

Ah=422嫄.

故選：A.

11.(2018春?遵義期末)如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,1),點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是4,則B,

C.(-3,4),(1,4)D.(-3,4),(1,3)

【答案】A

【解析】解：如圖所示：作CD_Lx軸于D,作AEJ_x軸于E,作BF_LAE于F,

則/AEO=NODC=/BFA=90°,

AZOAE+ZAOE=90°,

???四邊形OABC是正方形，

/.OA=CO=BA,ZAOC=90°,

.,.ZAOE+ZCOD=90°,

.,.ZOAE=ZCOD,

\LAEO-Z.ODC

/LOAE=Z.COD

在aAOE和aOCD中，tOA=CO

.'.△AOE^AOCD(AAS),

???AE=OD,OE=CD,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,1),

，OE=3,AE=1,

.'.OD=1,CD=3,

AC(1,3),

同理：△AOEZZ\BAF,

???AE=BF=1,0E-BF=3-1=2,

AB(-2,4)；

故選：A.

12.(2018春?安溪縣期末)將n個(gè)邊長為1的正方形按照如圖所示方式擺放，01,02,03,04,。5,…是

正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，那么陰影部分面積之和等于.

1

【答案】4(n-1)

11

【解析】解：由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的4,即是4.

11

—X——

n個(gè)這樣的正方形重疊部分(陰影部分)的面積和為4(n-1)

1

故答案為：4(n-1).

13.(2018春?江岸區(qū)期末)如圖，正方形ABCD中，AB=4cm,點(diǎn)E、F分別在邊AD和邊BC上，且BF

=ED=3cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P自A-F-B-A方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q自C-D-E

-C方向運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為lcm/s,3cm/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<tW8),當(dāng)A、C、P、Q

四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，貝h=.

【答案】3s或6s

【解析】解：由P、Q速度和運(yùn)動(dòng)方向可知，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)EC上，P在AF上運(yùn)動(dòng)時(shí),

若EQ=FP,A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四動(dòng)形是平行四邊形

.?.31-7=5-1

；.t=3

當(dāng)P、Q分別在BC、AD上時(shí)

若QD=BP,形A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

此時(shí)Q點(diǎn)已經(jīng)完成第一周

.,.4-(3(t-4)-4]=t-5+l

/.t=6

故答案為：3s或6s

14.(2018春?瓊中縣期末)如圖，正方形ABCD中，E是AD上任意一點(diǎn)，CF_LBE于F點(diǎn)，AG1.BE于

G點(diǎn).

求證：AG=BF.

【答案】見解析

【解析】證明：；CF_LBE于F點(diǎn)，AG_LBE于G點(diǎn),

.,.ZAGB=ZBFC=90°,

:四邊形ABCD是正方形,

；.AB=BC,

VZABC=ZABG+ZCBF=90°,

又?.?/BCF+NCBF=90°，

...NABG=/BCF,

在AABG和ABCF中,

■"GB=zBFC=9Q0

AABG=乙BCF

AB=BC

.,.△ABG^ABCF,

；.AG=BF.

15.(2018春?宿豫區(qū)期末)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且

CE=DF,AF、DE相交于點(diǎn)G.

(1)求證：ZXADF絲Z\DCE；

DG

(2)若BG=BC,求"G的值.

【答案】見解析

【解析】解：(1)證明：二?四邊形ABCD是正方形,

；.AD=DC,/ADF=/DCE=90°,

在4ADF和4DCE中

(AD=DC

\zJlDF=z.DCE

{DF=EC,

.".△ADF^ADCE(SAS),

(2)過點(diǎn)B作BH_LAG于H,

由（1）得4ADF絲z^DCE,

.?.NDAF=NCDE,

VZADG+ZCDE=90o,

NADG+/DAF=90°,

；.NAGD=90°,

VBH1AG,

；./BHA=90°,

r.ZBHA=ZAGD,

?.?四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD=BC,ZBAD=90°,

VZABH+ZBAH=90°,ZDAG+ZBAH=90°,

/.ZABH=ZDAG,

在aABH和4ADG中

f^BHA=/_AGD

\zJ\BH=z.DAG

{BA=DA,

AAABH^AADG（AAS）,

，AH=DG,

：BG=BC,BA=BC,

；.BA=BG,

AAH2AG,

_1

.*.DG2AG,

DG_1

?-?~AG~2?

16.（2018春?安慶期末）操作與證明：如圖，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺

放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接

AC、AE、AF.其中AC與EF交于點(diǎn)N,取AF中點(diǎn)M,連接MD、MN.

（1）求證：4AEF是等腰三角形；

（2）在（1）的條件下，請判斷MD,MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出證明.

D

【答案】見解析

【解析】證明：(1)如圖，???四邊形ABCD是正方形,

，AB=AD=BC=CD,/ABE=/ADF=90°,

???△EFC是等腰直角三角形，

；.CE=CF,

；.BE=DF,

.".△ABE^AADF(SAS),

；.AE=AF,

/.△AFE是等腰三角形；

(2)DM=MN,且DM_LMN,

理由是：如圖，在RtAADF中，是AF的中點(diǎn)，

1

=—

ADM2AF,

；EC=FC,AC平分/ECF

/.AC1EF,EN=FN

.\ZANF=90o

AMN2AF,

；.MD=MN,

由(1)得：AABE^AADF,

；.NBAE=NFAD,

_1

VDM2AF=AM,

NFAD=NADM,

VZFMD=ZFAD+ZADM=2ZFAD,

VAM=FM,EN=FN

??.MN〃AE,

???NFMN=NEAF,

/BAD=ZEAF+ZBAE+ZFAD=NEAF+2NFAD=90°,

JNDMN=NFMN+NFMD=NEAF+2NFAD=90°,

AMD1MN.

17.(2018春?鄰水縣期末)已知：四邊形ABCD是正方形，E是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長線上一點(diǎn)，且

DE=DF.

(1)如圖1,求證：DFXDE；

(2)如圖2,連接AC,EF交于點(diǎn)M,求證：M是EF的中點(diǎn).

【答案】見解析

【解析】證明：(1)??,四邊形ABCD是正方形,

???DA=DC,NDAE=NDCB=90°.

.,.ZDCF=180°-90°=90°.

.\ZDAE=ZDCF.

(DE=DF

在RtADAE和RtADCF中，W4=DC,

：.RtADAE^RtADCF(HL).

.'.ZADE=ZCDF,

VZADE+ZCDE=90°,

AZCDF+ZCDE=90°,

即NEDF=90°,

ADF1DE.

(2)過點(diǎn)F作GF1CF交AC的延長線于點(diǎn)G,

則NGFC=900.

???正方形ABCD中，ZB=90°,

AZGFC=ZB.

???AB〃GF.

，NBAC=NG.

???四邊形ABCD是正方形，

，AB=BC,

，NBAC=NBCA=45°.

/.ZBAC=ZBCA=ZFCG=ZG=45°.

???FC=FG.

VADAE^ADCF,

???AE=CF.

???AE=FG.

在△AEM和△GFM中，

("ME=乙GMF

乙EAM=

IAE=GF,

.?.△AEM絲△GFM(AAS).

，ME=MF.

即M是EF的中點(diǎn).

18.(2018春?增城區(qū)期末)如圖①，正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是延長線上一點(diǎn).MN_LDM,

且交NCBE的平分線于N.

(1)若點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，求證：MD=MN；

(2)若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB上的任意一點(diǎn)”，其它條件不變.如圖②所

示，則結(jié)論“MD=MN”是否成立.若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.

DD

圖①圖②

【答案】見解析

【解析】解：（I）如圖，取AD的中點(diǎn)F,連接FM.

VZFDM+ZDMA=ZBMN+ZDMA=90°,

.?.ZFDM=ZBMN,

_1_1

VAF2AD2AB=AM=MB=DF,

_1

；BN平分NCBE,即NNBE2/CBE=45°,

又?.?AM=AF,

；./AFM=45°,

；./DFM=NMBN=135°.

VDF=MB.

在△DFM和aMBN中

(Z.FDM=Z.BMN

DF=BM

.,.△DFM^AMBN(ASA).

/.DM=MN.

(2)結(jié)論“DM=MN”仍成立.

證明如下：如圖，在AD上截取AF=AM,連接EM.

D

VDF'=AD-AF',MB=AB-AM,AD=AB,AF'=AM,

...DF'=MB.

VZF'DM+ZDMA=ZBMN+ZDMA=90°,

，/FDM=NBMN.

又NDF'M=NMBN=135°,

在△DF'M和aMBN中

fzF'DM=乙BMN

DF'=BM

(/.DF'M=^MBN,

/.△DF'M^AMBN(ASA).

ADM=MN.

19.(2018春?岳池縣期末)如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)B作BP〃AC,過

點(diǎn)C作CP〃BD,BP與CP相交于點(diǎn)P.

(1)判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；

(2)若將平行四邊形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，得到的四邊形BPCO是什么四邊形，并

說明理由：

(3)若得到的是正方形BPCO,則四邊形ABCD是.(選填平行四邊形、矩形、菱形、正方形中

【答案】見解析

【解析】解：(1)四邊形BPCO為平行四邊形，理由如下:

'.?BP〃AC,CP〃BD,

二四邊形BPCO為平行四邊形.

(2)四邊形BPCO為矩形，理由如下:

?.?四邊形ABCD為菱形，

.\ACJ_BD,則NBOC=90°,

由(1)得四邊形BPCO為平行四邊形,

(3)四邊形ABCD是正方形，理由如下：

；四邊形BPCO是正方形，

r.OB=OC,且OB_LOC.

又?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.\OD=OB,OA=OC,

；.AC=BD,

又：ACJ_BD,

...四邊形ABCD是正方形.

20.(2018春?祿勸縣期末)已知，如圖，點(diǎn)D是AABC的邊AB的中點(diǎn)，四邊形BCED是平行四邊形.

(1)求證：四邊形ADCE是平行四邊形；

(2)在aABC中，若AC=BC,則四邊形ADCE是；(只寫結(jié)論，不需證明)

(3)在(2)的條件下，當(dāng)ACLBC時(shí)，求證：四邊形ADCE是正方形.

【解析】證明：(1)?四邊形BCED是平行四邊形,

；.BD〃CE,BD=CE；

是AB的中點(diǎn)，

；.AD=BD,

，AD=CE；

又：BD〃CE,

/.四邊形ADCE是平行四邊形.

(2)在△ABC中，若AC=BC,則四邊形ADCE是矩形,

故答案為：矩形；

(3)VAC1BC,

；./ACB=90°；

?在RtZ\ABC中，D是AB的中點(diǎn)，

；.CD=AD2AB；

?在aABC中，AC=BC,D是AB的中點(diǎn)，

；.CD_LAB,

.,.ZADC=90°；

平行四邊形ADCE是正方形.

21.(2018春?中山市期末)如圖，在AABC中，BD、CE分別為AC、AB邊上的中線，BD、CE交于點(diǎn)H,

點(diǎn)G、F分別為HC、HB的中點(diǎn)，連接AH、DE、EF、FG、GD,其中HA=BC.

(1)證明：四邊形DEFG為菱形；

(2)猜想當(dāng)AC、AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DEFG為正方形，并說明理由.

【答案】見解析

【解析】解：(I)證明：.；D、E分別為AC、AB的中點(diǎn),

，ED〃BC,ED2BC.

_1

同理FG〃BC,FG2BC,

，ED〃FG,ED=FG,

四邊形DEFG是平行四邊形，

VAE=BE,FH=BF,

AEF2HA,

VBC=HA,

_1

；.EF2BC=DE,

...oDEFG是菱形；

(2)猜想：AC=AB時(shí)，四邊形DEFG為正方形,

理由是：；AB=AC,

AZACB=ZABC,

：BD、CE分別為AC、AB邊上的中線，

_1_1

.,.CD2AC,BE2AB,

ACD=BE,

在4DCB和AEBC中，

DC=EB

乙DCB=Z.EBC

CB=BC,

/.△DCB^AEBC(SAS),

.?.ZDBC=ZECB,

；.HC=HB,

?點(diǎn)G、F分別為HC、HB的中點(diǎn)，

_1_1

AHG2HC,HF2HB,

；.GH=HF,

由(1)知：四邊形DEFG是菱形，

；.DF=2FH,EG=2GH,

；.DF=EG,

...四邊形DEFG為正方形.

22.(2018春?韓城市期末)如圖，以AABC的各邊為邊長，在邊BC的同側(cè)分別作正方形ABDI,正方形

BCFE,正方形ACHG,連接AD,DE,EG.

(1)求證：ZXBDE嶺ZXBAC；

(2)①設(shè)/BAC=a,請用含a的代數(shù)式表示NEDA,ZDAG；

②求證：四邊形ADEG是平行四邊形；

(3)當(dāng)aABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEG是正方形？請說明理由.

【答案】見解析

【解析】解：(1)證明：?.?四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形,

；.AC=AG,AB=BD,BC=BE,NGAC=NEBC=NDBA=90°.

.\ZABC=ZEBD(同為NEBA的余角).

?￡ABDEABAC中，

BD=BA

RDBE=zABC

,BE=BC,

/.△BDE^ABAC(SAS),

(2)(DVABDE^ABAC,ZADB=45°,

；./EDA=a-45°,

,.'/DAG=360°-45°-90°-a=225°-a,

②證明：VABDE^ABAC,

；.DE=AC=AG,ZBAC=ZBDE.

VAD是正方形ABDI的對(duì)角線，

，/BDA=/BAD=45°.

?.*/EDA=ZBDE-NBDA=NBDE-45°,

ZDAG=3600-ZGAC-ZBAC-ZBAD

=360°-90°-ZBAC-45°

=225°-ZBAC

AZEDA+ZDAG=ZBDE-45°+225°-ZBAC=180°

；.DE〃AG,

四邊形ADEG是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等).

(3)結(jié)論：當(dāng)四邊形ADEG是正方形時(shí)，ZDAG=90°,且AG=AD.

理由：由①知，當(dāng)NDAG=90°時(shí)，ZBAC=135°.

:四邊形ABDI是正方形，

，AD=#AB.

又?.?四邊形ACHG是正方形，

，AC=AG,

，AC=&AB.

.,.當(dāng)NBAC=135°且AC=A^AB時(shí)，四邊形ADEG是正方形.

23.(2018春?曲陽縣期末)已知：如圖，在矩形ABCD中，M,N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E,F分別

是線段BM,CM的中點(diǎn).

(1)求證：BM=CM；

(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)矩形ABCD的長和寬滿足什么條件時(shí)，四邊形MENF是正方形？為什么？

【答案】見解析

【解析】解：(1)證明：.??四邊形ABCD是矩形,

???AB=DC,NA=ND=90°,

???M為AD中點(diǎn)，

AAM=DM,

在aABM和△DCM中，

(BA=CD

[AM=DM

/.△ABM^ADCM(SAS),

???BM=CM；

(2)四邊形MENF是菱形.

證明：：N、E、F分別是BC、BM,CM的中點(diǎn),

_1

.?.NE〃CM,NE2CM,

_1

VMF2CM,

；.NE=FM,

；NE〃FM,

???四邊形MENF是平行四邊形，

由(1)知AABM絲ADCM,

，BM=CM,

：E、F分別是BM、CM的中點(diǎn),

；.ME=MF,

平行四邊形MENF是菱形；

(3)當(dāng)AD：AB=2：1時(shí)，四邊形MENF是正方形.

理由：：M為AD中點(diǎn)，

；.AD=2AM,

VAD：AB=2：I,

AAM=AB,

VZA=90

，/ABM=NAMB=45°,

同理NDMC=45°,

.,.ZEMF=180°-45°-45°=90°,

:四邊形MENF是菱形，

...菱形MENF是正方形，

即