必修1-20屆人教版高中數(shù)學(xué)講義 2

第二章基本初等函數(shù)(1)

2.2對數(shù)函數(shù)

及知識

一、對數(shù)

i.對數(shù)的概念

(1)對數(shù)：一般地，如果優(yōu)=N(a>0,且"1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作,其

中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常用對數(shù)：通常我們將以為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把loggN記為IgN.

(3)自然對數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自

然對數(shù)，并把log,N記為InN.

2.對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

當(dāng)a>0,且存1時，，/=Nob=log?N.即

a>0aWl匕

ab=N^N>0?“A7

3.對數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)log,,N(a>0,且a工1)具有以下性質(zhì):

(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，即N>0；

(2)1的對數(shù)等于0,即log11=0；

(3)底數(shù)的對數(shù)等于I,即log“a=l.

二、對數(shù)的運算

1.基本性質(zhì)

若a>0,且“H1,N>0,則

(1)*"N=;

⑵log?ah=.

2.對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a>0,且aHl,M〉O,N〉O,那么：

(1)\og,a(M-N)=；

,八,M

(2)log”—=--------；

(3)10gM=(nGR).

三、換底公式及公式的推廣

1.對數(shù)的換底公式

log,,N=iO^N(b>l；c>0,1;AT>0).

log,力

【注】速記口訣：

換底公式真神奇，換成新底可任意，

原底加底變分母，真數(shù)加底變分子.

2.公式的推廣

(1)logflh--!—(其中。>0且QW1；比>0且bwl)；

log/

n

(2)log,b=\og(lb(其中a>0且aW1；h>0)；

IT!

(3)log?b'"=一logb(其中a>0且awl；Z?0)；

°nu

(4)log,Z?=-logu/?(其中〃>0且awl；b>0)；

(5)log^/j-logic-log,,J=log?J(其中a,b,c均大于。且不等于1,d>0).

四、對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)函數(shù)的概念

一般地，我們把函數(shù)丁=1。8“宜。>0,且。聲1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中尤是自變量，函數(shù)的定義域是

2.對數(shù)函數(shù)y=a'(a>0,且。工1)的結(jié)構(gòu)特征

(1)對數(shù)符號前面的系數(shù)是1；

（2）對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正實數(shù)（常數(shù)）；

（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.

五、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.一般地，對數(shù)函數(shù)丫=108“8（4>0,且。/1）的圖象和性質(zhì)如下表所示：

Q<a<\a>1

圖象T"

yiX=11

1

1

1__.：/Tog/

oN%

1尸log/

定義域(0,+oo)

值域R

奇偶性非奇非偶函數(shù)

過定點過定點（1,0）,即x=l時，y=（）

單調(diào)性在（0,+o。）上是—函數(shù)在（0,+oo）上是___函數(shù)

函數(shù)值的當(dāng)0cx<1時，y>0；當(dāng)0<x<l時，y<0；

變化情況

當(dāng)%>1時，y<0當(dāng)x>l時，y>0

【注】速記口訣:

對數(shù)增減有思路，函數(shù)圖象看底數(shù)；

底數(shù)只能大于0,等于1了可不行；

底數(shù)若是大于1,圖象從下往上增；

底數(shù)0到I之間，圖象從上往下減；

無論函數(shù)增和減，圖象都過（1,0）點.

2.對數(shù)函數(shù)y=log“x（a>0,且a聲1）中的底數(shù)對其圖象的影響

在直線戶1的右側(cè)，當(dāng)時，底數(shù)越大，圖象越靠近X軸；當(dāng)0<4<1時，底數(shù)越小，圖象越靠近X軸,

即“底大圖低”.

六、反函數(shù)

根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式y(tǒng)="(a〉O,且awl)(其中x是自變量，且xeR,y是x的函數(shù),

yG(0,+8))化成對數(shù)式，即x=log“y,于是對于任意一個ye(0,+00),通過式子x=log4y都有唯

---個xeR與之對應(yīng)，這樣將y看成自變量，x是y的函數(shù)，這時我們就說x=log”y(ye(0,+8))是

函數(shù)y=R)的反函數(shù).

由于習(xí)慣上將x看成自變量，而將y看成因變量，因此，我們將x=log〃y中的x,y互換，寫成

y=lognx(xe(0,+00)),即對數(shù)函數(shù)y=log“e(0,+oo))是指數(shù)函數(shù)y=a'(xeR)的反函數(shù)，它

們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

運.?。運°-g。.?運.?莪富冬,?:纜—運入<。.?運培.：：延-,.<

K知識參考答案:

一、1.(1)x=loguN(2)10

二、1.(1)N(2)b

2.(1)log“M+k)g“N(2)log“MTog“N(3)〃k)g“M

四、1.(0,+OO)

五、1.減增

運?.:%:運。.?電.??：?,<?

底重點

1.對數(shù)，對數(shù)的運算性質(zhì)，換底公式；

K一重點

2.對數(shù)函數(shù)的概念、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

1.對數(shù)的運算性質(zhì)；

K—難點

2.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.

1.對于對數(shù)運算，不僅要注意“真數(shù)大于0”這一隱含條件，還

K一易錯

應(yīng)準(zhǔn)確掌握對數(shù)的運算法則，保證對數(shù)運算的每一步都是等價

的；

2.關(guān)于對數(shù)函數(shù)常見的易錯點有三個：

(1)忽略對數(shù)函數(shù)定義域的限制；

(2)對于字母為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)不加討論；

(3)解有關(guān)對數(shù)函數(shù)的不等式時，忽略真數(shù)大于0這一基本條

件，使解集擴大.

1.對數(shù)的概念

解決使對數(shù)式有意義的參數(shù)問題，只要注意滿足底數(shù)和真數(shù)的條件，然后解不等式(組)即可.對數(shù)的

概念是對數(shù)式和指數(shù)式互化的依據(jù)，在互化過程中應(yīng)注意對數(shù)式和指數(shù)式之間的對應(yīng)關(guān)系.

【例1】在對數(shù)式log(i)(3-x)中，實數(shù)x的取值范圍應(yīng)該是

A.l<x<3B.x>l且在2

C.x>3D.l<x<3且在2

【答案】D

3-x>0

【解析】要使對數(shù)式log：xf(3—x)有意義，需，x-l>0,解得l<x<3且/2.

x-1^1

【名師點睛】本題極易忽略底數(shù)的限制范圍，底數(shù)*-1需大于0且不等于1.

2.對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用

對數(shù)的運算性質(zhì)是進行對數(shù)運算和化簡的基礎(chǔ)，所以要熟記對數(shù)的運算性質(zhì)以及對數(shù)恒等式，化簡的原

則是：

(1)盡量將真數(shù)化為“底數(shù)”一致的形式；

(2)將同底的多個對數(shù)的和(差)合成積(商)的對數(shù)；

(3)將積(商)的對數(shù)分成若干個對數(shù)的和(差).運算時要靈活運用對數(shù)的相關(guān)公式求解，如bg“a=

1(?！?,且aHl),log,/?log}a=1等.

【例2】計算：⑴log鳳小鳳揚-2*:(2)(Ig5)2+lg2xlg5+lg2.

【答案】(1)-1-V3；(2)1.

【解析】(1)因為log<_.(6-遮)=log/<丁;=-1,

、73+72

2崛9=2卬=26檢石=出,

所以log7qSf郃-即產(chǎn);=7-忑.

(2)(lg5)2+lg2xlg5+lg2=lgXlg5+lg2)+lg2=lg(2x5)=l.

］

【名師點睛】在計算log亞+石（6-&）的值H寸，注意將由-J5化為即可求解.在求解（2）

6+應(yīng)

時，注意提取公因式，利用Ig2+lg5=l求解.

3.換底公式的應(yīng)用

換底公式即將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應(yīng)用時究

竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以e為底的自然對數(shù).

【例3】已知=1,log74=￡>,試用a/表示log4948.

【答案】log4948=為^.

(1V1123

【解析】-=±,;.a=生士.

⑺31g7

Vlog74=b,：.b=畀.

愴7

,..1g48lg4lg3,a2b+a

則nlog4948o=-^—=工+-^=人+—=------

49lg49lg721g722

【名師點睛】在解題的方向還不清楚的情況下，一般統(tǒng)一為常用對數(shù)（當(dāng)然也可以換成其他非1的正數(shù)

為底）.

4.對數(shù)方程的求解

解對數(shù)方程時，（1）等號兩邊為底數(shù)相同的對數(shù)式，則真數(shù)相等；（2）化簡后得到關(guān)于簡單對數(shù)式的

一元二次方程，再由對數(shù)式與指數(shù)式的互化求解.

［例4］方程log2(9i-5)=log2(3i-2)+2的解為

【答案】x=2

[解析]..Tog式9小—5)=log式—2)+2,

I1x1

.?.log2(9--5)=log2[(3--2)x4],

xx

-9x-i_5=4(3x-i-2),即(3*)2-12x3*+27=0,g[l(3-3X3-9)=0,解得3"=3或3'=9,

則x=l或x=2.

當(dāng)x=l時，9^-5<0,3i—2<0,故舍去.

從而x=2.

【名師點睛】本題所給方程的底數(shù)相同，若底數(shù)不同，則還需化為同底數(shù)再求解.另外，解對數(shù)方程必

須把所求得的解代入原方程進行檢驗，以確保所有的真數(shù)都大于零，這是必不可少的步驟.

5.與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域和值域

定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題時，要注意對數(shù)函數(shù)的

概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于0;若自變量在底數(shù)上，應(yīng)保證底數(shù)大于0且不等于1.同

時還要注意偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)，分母不能為零等.

求值域時，一方面要抓住對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，另一方面，若是復(fù)合函數(shù)，則要抓住中間變量的

取值范圍.

【例5】已知函數(shù)f(x)=log3(2-x)+log3(x+6).

(1)求函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求函數(shù)/(x)的最大值.

【答案】(1)(-6,2)；(2)410g32.

2—x>0

【解析】(1)由題意得1，解得-6<x<2,

x+6>0

故函數(shù)/(x)的定義域是(一6,2).

(2)/(x)=log3(2-x)+k)g3(x+6)=log3(-x2-4x+12),xe(-6,2).

令，=一%2-4x+i2=-(x+2)2+i6,則fG(0,16].

又y=log3，在fe(0,16]上為增函數(shù)，

:.fM的最大值是/(—2)=log316=410g32.

【名師點睛】求函數(shù)的最值，一定要堅持“定義域優(yōu)先”的原則.由對數(shù)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)的最值問

題，可利用換元法求解，但要注意中間變量的取值范圍.

6.對數(shù)函數(shù)的圖象

對數(shù)函數(shù)y=log〃x(a>0,且的圖象過定點(1,0),所以討論與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象過定點

的問題，只需令真數(shù)為1,解出相應(yīng)的x,y,即可得到定點的坐標(biāo).

當(dāng)?shù)讛?shù)?！?時，對數(shù)函數(shù)/(x)=logaX是(0,+oo)上的增函數(shù)，當(dāng)x>l時，底數(shù)a的值越小，函數(shù)圖

象越“陡”，其函數(shù)值增長得越快；當(dāng)?shù)讛?shù)0<。<1時，對數(shù)函數(shù)/(x)=log“x是(0,+oo)上的減函數(shù)，

當(dāng)0<x<l時，底數(shù)。的值越大，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值減小得越快.也可作直線y=l與所給圖

象相交，交點的橫坐標(biāo)即為各個底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸

變大，可比較底數(shù)的大小.

【例6】設(shè)a>0,且awl,函數(shù)y=2+log〃(x+2)的圖象恒過定點P,則P點的坐標(biāo)是

A.(―1,2)B.(2,-1)

C.(3,-2)D.(3,2)

【答案】A

【解析】當(dāng)x+2=l,即x=T時，j=2+log[x+2)=2恒成立，故函數(shù)y=2+log)(x+2)的圖象恒

過定點P(-L2),故選A.

【名師點睛】本題求定點坐標(biāo)的依據(jù)是對數(shù)函數(shù)、=1。8/(4>0,且。工1)的圖象過定點(1，0),不必分

a>1和0<a<1兩種情況討論.

7.對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(1)比較對數(shù)式的大?。喝舯容^同底數(shù)的兩個對數(shù)式的大小，可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；若比較

底數(shù)不同、真數(shù)相同的兩個對數(shù)式的大小，可以先用換底公式化為同底后，再進行比較，也可以利用順

時針方向底數(shù)增大畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，再進行比較；若比較底數(shù)與真數(shù)都不同的兩個對數(shù)式的大小，

常借助1,0等中間量進行比較.

(2)解簡單的對數(shù)不等式：形如log,,尤>log“。的不等式，常借助y=log“x的單調(diào)性求解，如果。的取

值不確定，需分a>l與0<。<1兩種情況進行討論；形如log“x>人的不等式，應(yīng)將人化為以a為底數(shù)

的對數(shù)式的形式，再借助y=log“x的單調(diào)性求解.

,11

【例7】已知a=23,/?=k)g2—,c=log1—，貝ij

3g3

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>h>a

【答案】C

,A

【解析】Q<a=2-<2=1.6=log2—<Iog,l=0,c=log1—=log23>log22=1,：.c>a>b,

353

故選C.

【名師點睛】本題中既有指數(shù)式，又有對數(shù)式，無法直接比較大小，可借助中間量1，0來進行比較.

8.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

(1)對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)y-J［g(x)］是由y-f(x)與y=g(x)復(fù)合而成，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合

函數(shù)Hg(x)］為增函數(shù)；若/(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)/［g(x)］為減函數(shù).

對于對數(shù)型復(fù)合函數(shù)y=logj(x)來說，函數(shù)y=log/(x)可看成是y=log?〃與(x)兩個簡單函數(shù)復(fù)

合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律即可判斷.另外，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，首先要

考慮函數(shù)的定義域.

(2)對于形如)=1ogJ(x)(a>0,且存1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：

①分解成y=log“〃，(x)兩個函數(shù)；

②求/(x)的定義域；

③求〃的取值范圍；

④利用產(chǎn)1。&"的單調(diào)性求解.

2

【例8］討論函數(shù)"X)=loga(3x-2x-l)的單調(diào)性.

【答案】答案詳見解析.

【解析】由3f-21>0,得函數(shù)的定義域為{.很>1或x<—g}.

①當(dāng)a>l時，

若%>1,,..”=3%2-2%-1為增函數(shù)，

：.f(x)=1og〃(3/—2x—l)為增函數(shù).

x<--,W=3X2-2X-1為減函數(shù)，

3

.V(x)=loga(3r—2x-l)為減函數(shù).

②當(dāng)0<a<l時，

若x>l,則f(x)=log”(3f-2xT)為減函數(shù)，

若則/(x)=log?(3f-2x-l)為增函數(shù).

【名師點睛】求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求>=/"(〃)，

u=(p(x)的單調(diào)性；(4)按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

9.K易錯——忽略真數(shù)大于0

【例9】已知lgx+lgy=21g(2x-3y),求log^：的值.

【錯解】因為Igx+lg.y=21g(2x—3y),

9

y

所以個=(2x—3y)2,即4》2—13刈+9y2=0,即(x—y)(4x—9y)=0,解得x=y或x4-

y-v-OQ

2

所以10g3—=10g31=0或log3—=log3-=log3(-)=2.

5y5"2422

【錯因分析】錯解中，lgx+lg>=21g(2x—3y)與孫=(2x-3y)2對的取值范圍要求是不同的,

即求解過程不等價，因此，得出解后要代入原方程驗證.

9

【正解】同錯解，得到工二'或工=jy.

由Igx+lgy=2Ig(2x-3y)知，x>0,y>0,2x-3y>0,

當(dāng)x=y時，2x-3y<0,此時lg(2x-3y)無意義，所以x=y,

x

B|Jlog,—=log31=0應(yīng)舍去；

"2

9X9

og2

-3-=og3-

4y4

2-2-

【名師點睛】求解有關(guān)對數(shù)恒等式或不等式的過程中，經(jīng)常需要將對數(shù)符號“脫掉”，此時很容易忽略

原式中對數(shù)的真數(shù)大于0這一隱性限制條件，從而導(dǎo)致求出的最終結(jié)果中產(chǎn)生增根或范圍擴大，因此要

求我們對于此類題，一定要將求出的結(jié)果代入原式中進行檢驗.

10.K易錯——忽略對底數(shù)的討論

【例10］不等式log.(4-x)>-log|x的解集是.

【錯解】v-log,x=log?X,

...原不等式等價于log"(4—x)>log“X,

A4-x>x,解得x<2.

二不等式log“(4-x)>-log,x的解集為(-o。,2).

【錯因分析】錯解中的底數(shù)。的值不確定，因此要分類討論.另外，求解時要保證真數(shù)大于0.

CiEil]V-logjx=logax,

a

，原不等式等價于log<4-X)Alog^X,

x>0

當(dāng)a>l時，<4-x>0,解得(Kx<2.

4-x>x

x>0

當(dāng)0<a<l時，，4-x>0,解得2cx<4.

4-x<x

二不等式log<4-x)>-loglx的解集為(02)U(Z4).

【名師點睛】解對數(shù)不等式時，要防止定義域擴大，途徑有兩種：一是不同解變形，最后一定要檢驗；

二是解的過程中加上限制條件，如正解，使定義域保持不變，即進行同解變形，最后通過解不等式組得

到原不等式的解，這樣得出的解就不用檢驗了.

K好題

2

1.Iog2§+10g26等于

A.1B.2C.5D.6

2.實數(shù)(—g)°+lg4+21g5的值為

A.1B.2C.3D.4

3.已知函數(shù)f(x)=log2(3+x)+log2(3-x),則/(I)=

A.1B.Iog26

C.3D.Iog29

4.^log2a+logl/?=2,則有

2

A.a=2bB.b=2a

C.a=4bD.h=4a

5.設(shè)〃log2O)=2*(x>0),則/⑶的值是

A.128B.256

C.512D.8

6.Iog5：+log53等于

A.0B.1

10

C.-1D.Iog5—

1331

7.若〃=(一)"b=(—)2,c=log23,則a,b,c大小關(guān)系是

24

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

8.若。=3°、/?=0.43,c-logo.43,則

A.b<a<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

c

9.若5a=2&=105且出存0,則￡+-=

ah

A.2B.1C.3D.4

10.已知log/<log/,則下列不等式一定成立的是

22

A.')"<(￥11

B.—>—

ah

C.In(a-b)>0D.3a-b<l

11.函數(shù)y=Jlg(x+2)的定義域為.

12.函數(shù)y=lgi?的反函數(shù)是.

13.函數(shù)/(x)=yj\-\nx的定義域為

14.設(shè)2x=5y=m，且L+工=2,則m的值是.

%y

15.方程log2(2-X)+log2(3-X)=log212的解x=.

G犍力

16.已知/(無)=lg(10+x)+lg(10-x),則/(無)是

A./(x)是奇函數(shù)，且在(0,10)是增函數(shù)

B.f(x)是偶函數(shù)，且在(0,10)是增函數(shù)

C./(%)是奇函數(shù)，且在(0,10)是減函數(shù)

D.f(x)是偶函數(shù),且在(0,10)是減函數(shù)

17.設(shè)正實數(shù)mb滿足6〃=2”,則

b.b.

A.0<—<1B.lv—<2

aa

bb人

C.2<-<3oD.3<-<4

aa

18.根據(jù)有關(guān)資料?，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N為io8o,

則下列各數(shù)中與絲最接近的是

N

A.1()33B.1()53

C.IO73D.1093

19.若k>g2(logja)=log3(logM=log4(log2C)=1>則a,b,c的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>hD.h>c>a

20.若正實數(shù)x,y滿足log?(x+3y)=logu2+log2(2y),則1+3y的最小值是

A.12B.10

C.8D.6

21.對任意的正實數(shù)居y,下列等式不成立的是

y

A,lgy-lgr=lg—B.1g(x+y)=lgx+lgy

x

二Inx

C.1"=3*D.lgx=----

InlO

22.設(shè)函數(shù)產(chǎn)/'(X)的圖象與)=log2(x+a)的圖象關(guān)于直線產(chǎn)-x對稱，且/(-2)+f(-1)=2,則。=

A.3B.1C.2D.4

23.已知函數(shù)/(x)=ln(—f—2x+3),則/(x)的增區(qū)間為

A.(-00,-1)B.(-3,-1)

C.[-1,+00)D.[-1,1)

24.已知函數(shù)/(x)=logI(J—?7),則函數(shù)/(X)的減區(qū)間是

2

A.(-00,2)B.(2,+00)

C.(5,+00)D.(y,-1)

25.已知R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)KO時,f(x)=log2(IT),則/(/(D)=

A.-1B.-2

C.1D.2

2

26.若實數(shù)a,b滿足。>b>l,優(yōu)=loga(1og〃A),n=(loga/?),/=log尸，則m,n,/的大小關(guān)系為

A.m>l>nB.l>n>m

C.n>l>mD.l>in>n

27.函數(shù)fG)=log”(3-辦)(a>0且存1)在區(qū)間(a-2,a)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為.

28.已知函數(shù)/(x)=〃?2工+3-a(a￡R)的反函數(shù)為尸尸(x),則函數(shù)月[(x)的圖象經(jīng)過的定點的坐標(biāo)

為.

29.若函數(shù)/(x)=log?(f-ax+l)(〃>0且存1)沒有最小值，則。的取值范圍是.

39

l08s3

30.(1)2log32-log3y+log38-25；

,og72

(2)log3+1g25+1g4+7.

31.求函數(shù)f(x)=logj(f-3)的單調(diào)區(qū)間.

3

32.已知函數(shù)f(x)=lg(x+1)-1g(1-x).

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性.

33.已知函數(shù)f(x)=loga(1+x)-logfl(1-x)>其中a>0且aWL

(1)求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)判斷了(x)的奇偶性，并說明理由；

3

(3)若/(《)=2，求使f(X)>0成立的x的集合.

34.（2018?天津）已知a=log2e,8=ln2,c=log1,則a,b,c的大小關(guān)系為

23

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>h>aD.c>a>b

71J

35.（2018?天津）已知a=log3—,b=（一>，c=logj—,則a,b,c的大小關(guān)系為

2435

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>h>aD.c>a>b

36.（2018?新課標(biāo)HI）設(shè)a=logo.20.3,ft=log20.3,則

A.a+b<ab<QB.ab<a+b<Q

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

37.（2018?上海）設(shè)常數(shù)a￡R,函數(shù)/（x）=log2（x+a）.若/（x）的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3,1）,則

38.【2018年全國卷HI文】已知函數(shù)〃x）=ln（J=巨—x）+l,〃a）=4,則/（—a）=

K好題參考答宗

123456789101617

BCCCBAADAADC

181920212223242526343536

DDDBDBCCBDDB

1.【答案】B

【解析】原式=log2（|x6）=log222=2.故選B.

2.【答案】C

【解析】（-g）°+lg4+21g5=l+lg4+lg25=l+lg100=3.故選C.

3.【答案】C

【解析】/（1）=log24+log22=2+1=3.故選C.

4.【答案】C

【解析】log2a+log,/>=2,得log2(*]=2,即斫44故選C.

5.【答案】B

l28

【解析】設(shè)log2X=z,則x=2f所以/(Z)=22,即/(x)=2.則/(3)=2?=2=256.故選B.

6.【答案】A

【解析】原式=log5(gx3)=log51=0.故選A.

7.【答案】A

121131

【解析】???〃=(/)"<(])’<。=(])2，C=log23>l,則〃</?<(:,故選A.

8.【答案】D

【解析】。=3°*>1,nodG(0,j),c=iog043<0,則cy*a.故選D.

9.【答案】A

C

[解析]因為5a=2,=10工，取常用對數(shù)得：alg5=61g2=￡,所以￡+￡=21g5-21g2=2(Ig5-lg2)=2.

2ab

選A.

10.【答案】A

【解析】?；log]a<log，，；.a>b>0,；.([)"<(§)"<(§)",—<—,In(.a—b)與0的大小關(guān)系不

確定，32>l.因此只有A正確.故選A.

11.【答案】(-1,+00)

fx+2>0

【解析】應(yīng)該滿足L小、八，即2+x>l,解得x>-l,所以函數(shù)的定義域為(-1,+oo).故答案

lg(2+x)>0

為：(-1,+oo).

12.【答案】)=10'

【解析】函數(shù)y=lgx,可得下10丫，所以函數(shù)y=lgx的反函數(shù)是產(chǎn)10，.故答案為：y=10'.

13.【答案】(0,e]

【解析】函數(shù)〃x)=S—Inx的定義域為:國\;[。卜解得0〈爛e.故答案為：(0,e].

14.【答案】回

【解析】由2A=5V=//7，得x=log2"7，)=log5M,由'+'=2,得一--十—-—=2,即log,〃2+log,〃5=2，

xylog27n\og5m

/.log/z/10=2,.\m=y/lQ.故答案為：A/TO.

15.【答案】一I

【解析】二.方程log:(2-x)-log：(3T)=logJ2,

2-x>0『,

.I3-X>0，即v2uQ解得X=-l.故答案為：-1.

,、，、x2-5x-6=0

[(2-x)(3-x)=12

16.【答案】D

flO+x>O

【解析】由1得：xW(-10,10),故函數(shù)F(x)的定義域為(-10,10),關(guān)于原點對稱，

10-x>0

又由/(-x)=lg(10-A-)+lg(10+x)=fCx)，故函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，而/(x)=lg(10+x)+lg(10-x)

=lg(100-x2),y=100-/在(0,10)遞減，y=lgx在(0,10)遞增，故函數(shù)/(x)在(0,10)遞減，

故選D.

17.【答案】C

,h

【解析】'.'6'=2,<jln6=/?ln2./.—==In2+ln3_|+j￡3._|+|,/]<iog23<2.2<—<3,

aln2ln2In2-a

故選C.

18.【答案】D

【解析】由題意:M-336',心1。80,根據(jù)對數(shù)性質(zhì)有：3=10lg3=10°-48,：.M~336'~(1O048)36|=10173,

故選D.

19.【答案】D

【解析】由log2(log36z)=1,可得log3a=2,lga=21g3,a=32=9,由log3(logM=1>可得log4b=3,

lgZ?=31g4,故匕=4，=64,由log4(log2C)=1,可得log2c=4,lgc=41g2,故c=24=16,b>c>a.故選D.

20.【答案】D

【解析】Vlog2(x+3y)=log^v+log?(2y),Iog2(x+3y)=log*+log2(2y),即x+3y=2yx.可得：

x+3>=|?3yx.A|(x+3y)〈(三包門，當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時取等.令x+3y=f,(/>0),則6￡巴解得:

侖6,即x+3y>6.故選D.

21.【答案】B

【解析樹于A項,當(dāng)Q0,y>0時,lgy-lgxMg｝，故A正確;對于B項，令戶戶1,則lg(x+y)=lg2>lgl=0,

x

而lgx-lgi=O,不成立，故B錯誤；對于C項，當(dāng)Q0時，有=31gx,故C正確；對于D項，由對數(shù)的

換底公式得1g片”:，故D正確.故選B.

InlO

22.【答案】D

【解析】函數(shù))『/(X)的圖象與尸10g2(X+〃)的圖象關(guān)于直線)口-4對稱，設(shè)/(X)上任意一點為(X,

y),則(x,y)關(guān)于直線y—x對稱的點為(-y,-x),把(-y,-x)代入y=log2(.x+a),得一x二log2

C-y+a),.*./(x)=2-*+。，V/(-2)+f(-1)=2,?\-21+a-2+a=2,解得〃=4.故選D.

23.【答案】B

【解析】由-f-2￥+3>0,解得：-3a<1,而產(chǎn)t2-2x+3的對稱軸是x=-l,開口向下，故尸-/-21+3在

(-3,-1)遞增，在(T,1)遞減，由y=lnx遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，得f(x)在(-3,

-1)遞增，故選B.

24.【答案】C

【解析】設(shè)t=x2-4x-5,由f>0可得大>5或則y=log]，在(0,+8)遞減，由f=A2-4x-5在(5,+8)

2

遞增，可得函數(shù)/(工)的減區(qū)間為(5,4-00).故選C.

25.【答案】C

【解析】設(shè)x>0,-x<0,f(X)為R匕的奇函數(shù)，且XV。時，/(x)=log2(1-x),則/'(-x)=log2(1+x)

=-f(x),.*./(x)—log2(1+x),.**/(1)=-L.*./(/(1))=f(-1)=log22=l.故選C.

26.【答案】B

2

【解析】??,實數(shù)a,b滿足a>b>1,m=log〃(logj?),n=(log/),/=log4,0=\oga1<logflZKlog?a=1,

22

.\m=\oga(log?fe)<log?l=0,0<〃=(log/)2<l,1>/=logflZ?=2\ogab>n=(logfl/?).:.m,n,/的大

小關(guān)系為/>心優(yōu).故選B.

27.【答案】｛a\l<a<y/3]

fa>\

【解析】?.,函數(shù)/(x)=logrt(3-ax)(〃>0且分1)在區(qū)間(。-2,a)上單調(diào)遞減，<2，求

3—。>0

得1<?<>/3,故答案為：｛〃|1<日6｝.

28.【答案】（3,0）

【解析】V/（%）=。?2"+3-。="（2*-1）+3過定點（0,3）,/./（%）,的反函數(shù)尸尸（x）的圖象經(jīng)過

定點（3,0）.故答案為：（3,0）.

29.【答案】（0,1）U[2,+oo）

【解析】函數(shù)/（X）=loga（xJn-1）（d>0fia=l）沒有最小值，當(dāng)0<興1時，沒有最小值，當(dāng)a>l

時，即xJzrXWO有解，視，解得a22,綜上，a的取值范圍是（0,1）U[2,-o）.故答案

為：（0,1）U[2,+oo）.

30.【答案】（1）-7：（2）—.

4

3?

8239