5.2.2函數(shù)的和差積商的導(dǎo)數(shù)及簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)校本講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

編號(hào)：035課題:§5.函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)§5.簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)課時(shí)安排1、上課時(shí)間：_________________．2、課時(shí)安排：_________________．3、上課班級(jí)___________________．學(xué)科目標(biāo)要求1、通過(guò)實(shí)例分析，了解利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并會(huì)利用公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3、能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解決與曲線的切線有關(guān)的問(wèn)題．學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)通過(guò)具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無(wú)窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類(lèi)智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：利用公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；難點(diǎn)：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解決與曲線的切線有關(guān)的問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程賞析基礎(chǔ)知識(shí)積累1.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和、差的導(dǎo)數(shù)[f(x)±g(x)]′＝_________________積的導(dǎo)數(shù)[f(x)·g(x)]′＝__________________________商的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝________________________________(g(x)≠0)【課前預(yù)習(xí)思考】(1)如果f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，c為常數(shù)，則函數(shù)f(x)＋c的導(dǎo)數(shù)是什么？(2)如果f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，c為常數(shù)，則函數(shù)cf(x)的導(dǎo)數(shù)是什么？(3)兩個(gè)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則能否推廣到多個(gè)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)情形？2．復(fù)合函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(1)定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))和u＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))和u＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的復(fù)合函數(shù)，記作y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)))).(2)求導(dǎo)法則：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))))，y′x＝________，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于______的導(dǎo)數(shù)與_____的導(dǎo)數(shù)的乘積．【課前預(yù)習(xí)思考】(1)對(duì)函數(shù)y＝eq\f(1,（3x＋1）4)求導(dǎo)時(shí)如何選取中間變量？(2)函數(shù)y＝log2(x＋1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？【課前小題演練】題1．函數(shù)y＝x(x2＋1)的導(dǎo)數(shù)是()A．x2＋1B．3x2C．3x2＋1D．3x2＋x題2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值是()A.B.C.D.題3．若函數(shù)f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，則f′(－1)的值為()A．－1B．0C．1D．2題4.曲線f(x)＝x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為()A.B.C.D.題5．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0等于()A．e2B．eC.D．ln2題6．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿(mǎn)足f′(1)＝2，則f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0題7．設(shè)f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為()A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1,0)題8.(多選題)．下列運(yùn)算中正確的是()A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′C.D．(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′題9(多選題)．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xex))′＝(x＋1)exC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x))′＝2e2x D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln2x))′＝eq\f(2,x)題10．已知函數(shù)f(x)＝ex·sinx，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程是____________．題11．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.題12.設(shè)f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題13．曲線y＝xlnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離是()A.B.C．1D．2題14.已知曲線在點(diǎn)(1，f(1))處切線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)a等于()A．1B．－1C．7D．－7題15．已知曲線f(x)＝(x＋a)·lnx在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線2x－y＝0垂直，則a等于()A.B．1C．D．－1題16．如圖，有一個(gè)圖象是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則f(－1)等于()A.B．C.D．－或題17（多選題）．若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋x＋1C．f(x)＝sin2x D．f(x)＝ex＋x題18(多選題)．當(dāng)函數(shù)(a＞0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，那么x0可以是()A．a(chǎn)B．0C．－aD．a(chǎn)2題19．已知函數(shù)f(x)＝x3－mx＋3，若f′(1)＝0，則m＝_________________________________.題20．已知函數(shù)f(x)＝f′cosx＋sinx，則f的值為_(kāi)_______．題21．已知函數(shù)若f′(a)＝12，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．題22．已知函數(shù)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0，則a，b的值分別為_(kāi)_______．題23.曲線y＝f(x)＝(x－1)ex在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為_(kāi)_______．題24．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)＝x5＋x3；(2).題25．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2；(3)；(4).題26．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝________.【答案】4096題27．已知函數(shù)，且f(x)的圖象在x＝1處與直線y＝2相切．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)為f(x)圖象上的任意一點(diǎn)，直線l與f(x)的圖象切于P點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍．題28．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程．【課堂跟蹤拔高】題29．已知f(x)=(x2+1)cosx,則其導(dǎo)函數(shù)為 ()A.f'(x)=(x2+1)sinxB.f'(x)=(x2+1)sinxC.f'(x)=2xcosx(x2+1)sinxD.f'(x)=2xcosx+(x2+1)sinx題30.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且滿(mǎn)足f(x)=2xf'(1)+ln,則f(1)= ()A.e B.2 C.2 D.e題31.給出定義:設(shè)f'(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),f″(x)是函數(shù)f'(x)的導(dǎo)函數(shù),若f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱(chēng)點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(xf(x)=4x+3sinxcosx的拐點(diǎn)是M(x0,f(x0)),則點(diǎn)M在直線 ()A.4x+y=0上 B.x3y=0上C.3x+y=0上 D.4xy=0上題32.設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)=的導(dǎo)函數(shù),則f'(0)的值為 ()A.1 B.0 C.1 D.題33.已知函數(shù)f(x)=xexa,曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處的切線方程為y=3x+b,則a+b= ()A.4 B.2 C.2 D.4題34(多選題).下列計(jì)算正確的是 ()A.y=(x23x+1)ex,則y'=(x2x2)exB.y=cos,則y'=sinC.y=,則y'=D.y=2x,則y'=2xln2題35(多選題).已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),則稱(chēng)x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列函數(shù)中,有“巧值點(diǎn)”的是 ()A.f(x)=x2 B.f(x)=ex C.f(x)=lnx D.f(x)=題36(多選題)．若存在過(guò)點(diǎn)O(0，0)的直線l與曲線f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，則a的值可以是()A．1B．eq\f(1,64)C．eq\f(1,32)D．－eq\f(1,64)題37.英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了一個(gè)恒等式e2x=aixi,則a1+2a2+3a3+…+nan=.題38.寫(xiě)出下列函數(shù)式的求導(dǎo)結(jié)果:(ex+sin)'=;()'=.題39.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(2x2+3)(3x1);(2)f(x)=;(3)y=ln.題40.已知函數(shù)f(x)=x2+xlnx.(1)求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x);(2)求這個(gè)函數(shù)在x=1處的切線方程.題41．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x2＋xlnx；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．題42．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)．編號(hào)：035課題:§5.函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)§5.簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)課時(shí)安排1、上課時(shí)間：_________________．2、課時(shí)安排：_________________．3、上課班級(jí)___________________．學(xué)科目標(biāo)要求1、通過(guò)實(shí)例分析，了解利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并會(huì)利用公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3、能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解決與曲線的切線有關(guān)的問(wèn)題．學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)通過(guò)具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無(wú)窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類(lèi)智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：利用公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；難點(diǎn)：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解決與曲線的切線有關(guān)的問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程賞析基礎(chǔ)知識(shí)積累1.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和、差的導(dǎo)數(shù)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)積的導(dǎo)數(shù)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)商的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)【課前預(yù)習(xí)思考】(1)如果f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，c為常數(shù)，則函數(shù)f(x)＋c的導(dǎo)數(shù)是什么？提示：由于常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即(c)′＝0，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1，得[f(x)＋c]′＝f′(x).(2)如果f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，c為常數(shù)，則函數(shù)cf(x)的導(dǎo)數(shù)是什么？提示：由于常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，即(c)′＝0，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則2，得[cf(x)]′＝cf′(x).(3)兩個(gè)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則能否推廣到多個(gè)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)情形？提示：能推廣．容易證明：[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x).2．復(fù)合函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(1)定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))和u＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))和u＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的復(fù)合函數(shù)，記作y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)))).(2)求導(dǎo)法則：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))))，y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．【課前預(yù)習(xí)思考】(1)對(duì)函數(shù)y＝eq\f(1,（3x＋1）4)求導(dǎo)時(shí)如何選取中間變量？提示：對(duì)于函數(shù)y＝eq\f(1,（3x＋1）4)，可令u＝3x＋1，y＝u－4；也可令u＝(3x＋1)4，y＝eq\f(1,u).顯然前一種形式更有利于計(jì)算．(2)函數(shù)y＝log2(x＋1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？提示：函數(shù)y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的．【課前小題演練】題1．函數(shù)y＝x(x2＋1)的導(dǎo)數(shù)是()A．x2＋1B．3x2C．3x2＋1D．3x2＋x【答案】C【解析】∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x，∴y′＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.題2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.題3．若函數(shù)f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，則f′(－1)的值為()A．－1B．0C．1D．2【答案】A【解析】因?yàn)閒(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，所以f′(x)＝f′(－1)x－2.所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，所以f′(－1)＝－1.題4.曲線f(x)＝x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為()A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)閒′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，所以在x＝1處的切線的傾斜角為.題5．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0等于()A．e2B．eC.D．ln2【答案】B【解析】∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，即lnx0＝1，解得x0＝e.題6．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿(mǎn)足f′(1)＝2，則f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0【答案】B【解析】∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)為奇函數(shù)，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.題7．設(shè)f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為()A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1,0)【答案】C【解析】f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，又由，解得x>2，所以f′(x)>0的解集為(2，＋∞)．題8.(多選題)．下列運(yùn)算中正確的是()A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′C.D．(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′【答案】AD【解析】A項(xiàng)中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正確；B項(xiàng)中，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)中，，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)中，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′，故正確．題9(多選題)．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的有()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xex))′＝(x＋1)exC．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x))′＝2e2x D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln2x))′＝eq\f(2,x)【解析】選BC.對(duì)于A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))′＝－x－2＝－eq\f(1,x2)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xex))′＝x′ex＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex))′＝(x＋1)ex，故正確；對(duì)于C，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e2x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x))′e2x＝2e2x，故正確；對(duì)于D，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln2x))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x))′eq\f(1,2x)＝eq\f(1,x)，故錯(cuò)誤．題10．已知函數(shù)f(x)＝ex·sinx，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程是____________．【答案】y＝x【解析】∵f(x)＝ex·sinx，∴f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y－0＝1×(x－0)，即y＝x.題11．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.【解析】(1)y′＝′－′＋′＝5x4－3x2－sinx.(2)y′＝(lgx－ex)′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.【反思感悟】?jī)蓚€(gè)函數(shù)和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，對(duì)于每一項(xiàng)分別利用函數(shù)的求導(dǎo)法則即可．題12.設(shè)f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．【解析】f′(x)＝(a·ex)′＋(blnx)′＝a·ex＋，由f′(1)＝e，f′(－1)＝，得解得所以a，b的值分別為1,0.【反思感悟】(1)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式．(2)涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程等問(wèn)題時(shí)，會(huì)根據(jù)題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并分清“在點(diǎn)”和“過(guò)點(diǎn)”的問(wèn)題．【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】題13．曲線y＝xlnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離是()A.B.C．1D．2【答案】B【解析】設(shè)曲線y＝xlnx在點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線x－y－2＝0平行．∵y′＝lnx＋1，∴k＝lnx0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．∴切點(diǎn)(1,0)到直線x－y－2＝0的距離為，即曲線y＝xlnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離是.題14.已知曲線在點(diǎn)(1，f(1))處切線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)a等于()A．1B．－1C．7D．－7【答案】C【解析】∵，又f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7.題15．已知曲線f(x)＝(x＋a)·lnx在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線2x－y＝0垂直，則a等于()A.B．1C．D．－1【答案】C【解析】因?yàn)閒(x)＝(x＋a)·lnx，x>0，所以f′(x)＝lnx＋(x＋a)·，所以f′(1)＝1＋a.又因?yàn)閒(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝－，所以a＝－.題16．如圖，有一個(gè)圖象是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則f(－1)等于()A.B．C.D．－或【答案】B【解析】f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，圖(1)與圖(2)中，導(dǎo)函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸都是y軸，此時(shí)a＝0，與題設(shè)不符合，故圖(3)中的圖象是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象．由圖(3)知f′(0)＝0，即f′(0)＝a2－1＝0，得a2＝1，又由圖(3)得對(duì)稱(chēng)軸為－＝－a>0，則a<0，解得a＝－1.故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.題17（多選題）．若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋x＋1C．f(x)＝sin2x D．f(x)＝ex＋x【解析】選BC.對(duì)于A，f(x)＝3cosx，f′(x)＝－3sinx為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A不正確；對(duì)于B，f′(x)＝3x2＋1為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，B正確；對(duì)于C，f′(x)＝2cos2x為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，C正確；對(duì)于D，f′(x)＝ex＋1為非奇非偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，D不正確．題18(多選題)．當(dāng)函數(shù)(a＞0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，那么x0可以是()A．a(chǎn)B．0C．－aD．a(chǎn)2【答案】AC【解析】，由，得x0＝±a.題19．已知函數(shù)f(x)＝x3－mx＋3，若f′(1)＝0，則m＝_________________________________.【答案】3【解析】因?yàn)閒′(x)＝3x2－m，所以f′(1)＝3－m＝0，所以m＝3.題20．已知函數(shù)f(x)＝f′cosx＋sinx，則f的值為_(kāi)_______．【答案】1【解析】∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴＝1.題21．已知函數(shù)若f′(a)＝12，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．【答案】或－4【解析】若f′(a)＝12，則或解得a＝或a＝－4.題22．已知函數(shù)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0，則a，b的值分別為_(kāi)_______．【答案】1,1【解析】.由于直線x＋2y－3＝0的斜率為－，且過(guò)點(diǎn)(1,1)，故即解得題23.曲線y＝f(x)＝(x－1)ex在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為_(kāi)_______．【答案】1【解析】由題意可知，f′(x)＝x·ex，f′(1)＝2，∴切線方程為y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲線y＝(x－1)ex在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為S＝×2×1＝1.題24．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)＝x5＋x3；(2).【解析】(1)∵f(x)＝x5＋x3，∴f′(x)＝x4＋4x2.(2)∵，∴.題25．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2；(3)；(4).【解析】(1).(2).(3).(4).題26．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝________.【答案】4096【解析】因?yàn)閒′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212＝4096.題27．已知函數(shù)，且f(x)的圖象在x＝1處與直線y＝2相切．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)為f(x)圖象上的任意一點(diǎn)，直線l與f(x)的圖象切于P點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍．【解析】(1)由題意得，因?yàn)閒(x)的圖象在x＝1處與直線y＝2相切，所以解得則.(2)由(1)可得，，所以直線l的斜率，令，則t∈(0,1]，所以k＝4(2t2－t)＝，則在對(duì)稱(chēng)軸t＝處取到最小值－，在t＝1處取到最大值4，所以直線l的斜率k的取值范圍是.題28．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲線g(x)在x＝0處的切線方程．【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲線g(x)在x＝0處的切線方程為y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.【課堂跟蹤拔高】題29．已知f(x)=(x2+1)cosx,則其導(dǎo)函數(shù)為 ()A.f'(x)=(x2+1)sinxB.f'(x)=(x2+1)sinxC.f'(x)=2xcosx(x2+1)sinxD.f'(x)=2xcosx+(x2+1)sinx【解析】選C.因?yàn)閒(x)=(x2+1)cosx,所以f'(x)=2xcosx(x2+1)sinx.題30.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且滿(mǎn)足f(x)=2xf'(1)+ln,則f(1)= ()A.e B.2 C.2 D.e【解析】選B.因?yàn)閒(x)=2xf'(1)+ln,所以f'(x)=2f'(1)+·（）'=2f'(1)+x·（）=2f'(1),所以f'(1)=2f'(1)1,解得f'(1)=1.所以f(x)=2x+ln,f(1)=2+ln1=2.題31.給出定義:設(shè)f'(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),f″(x)是函數(shù)f'(x)的導(dǎo)函數(shù),若f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱(chēng)點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(xf(x)=4x+3sinxcosx的拐點(diǎn)是M(x0,f(x0)),則點(diǎn)M在直線 ()A.4x+y=0上 B.x3y=0上C.3x+y=0上 D.4xy=0上【解析】選A.依題意f'(x)=4+3cosx+sinx,f″(x)=3sinx+cosx,令f″(x)=3sinx+cosx=0,得3sinx0cosx0=0,所以y0=f(x0)=4x0,所以點(diǎn)M(x0,y0)在直線4x+y=0上.題32.設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)=的導(dǎo)函數(shù),則f'(0)的值為 ()A.1 B.0 C.1 D.【解析】選C.f'(x)==,則f'(0)==1.題33.已知函數(shù)f(x)=xexa,曲線y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處的切線方程為y=3x+b,則a+b= ()A.4 B.2 C.2 D.4【解析】選B.由題得y'=(x+1)exa,所以y'=a+1=3,所以a=2,所以f(x)=xex2,所以f(2)=2e22=2,所以切點(diǎn)為(2,2),將(2,2)代入切線方程得b=4,所以a+b=2.題34(多選題).下列計(jì)算正確的是 ()A.y=(x23x+1)ex,則y'=(x2x2)exB.y=cos,則y'=sinC.y=,則y'=D.y=2x,則y'=2xln2【解析】選ACD.A.由y=(x23x+1)ex可得y'=(x23x+1)(ex)'+(x23x+1)'ex=(x2x2)ex,因此A正確;B.因?yàn)閥=cos=為常數(shù),所以y'=0,因此B不正確;C.由y=可得y'===,因此C正確;D.由y=2x可得y'=2xln2,因此D正確.題35(多選題).已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),則稱(chēng)x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列函數(shù)中,有“巧值點(diǎn)”的是 ()A.f(x)=x2 B.f(x)=ex C.f(x)=lnx D.f(x)=【解析】選ACD.在A中,若f(x)=x2,則f'(x)=2x,則x2=2x,這個(gè)方程顯然有解,故A符合要求;在B中,若f(x)=ex,則f'(x)=[（）x]'=()xln=ex,即ex=ex,此方程無(wú)解,故B不符合要求;在C中,若f(x)=lnx,則f'(x)=,由lnx=,令y=lnx,y=(x>0),作出兩函數(shù)的圖象如圖所示,由兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)可知該方程存在實(shí)數(shù)解,故C符合要求;在D中,若f(x)=,則f'(x)=,由=,可得x=1,故D符合要求.題36(多選題)．若存在過(guò)點(diǎn)O(0，0)的直線l與曲線f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，則a的值可以是()A．1B．eq\f(1,64)C．eq\f(1,32)D．－eq\f(1,64)【解析】選AB.因?yàn)?0，0)在直線l上，當(dāng)O(0，0)為f(x)的切點(diǎn)時(shí)，因?yàn)閒′(0)＝2，所以直線l的方程為y＝2x，又直線l與y＝x2＋a相切，所以x2＋a－2x＝0滿(mǎn)足Δ＝4－4a＝0，得a＝1；當(dāng)O(0，0)不是f(x)的切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2x0)(x0≠0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋2，所以eq\f(xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2x0,x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－6x0＋2，得x0＝eq\f(3,2)，所以f′eq\b