福建省寧德市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期區(qū)域性學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)（期末）數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末高二區(qū)域性學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1.若直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線斜率等于其傾斜角的正切值求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)橹本€傾斜角的范圍為，所以故選：C2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由雙曲線方程可判斷雙曲線的焦點(diǎn)位置并同時(shí)求出，，由此可求其漸近線方程.【詳解】由雙曲線得，所以漸近線方程為，故選：B3.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)與半徑，由圓心距與半徑之間的關(guān)系即可判斷【詳解】由題意，，圓心為，半徑，，圓心為，半徑，由，可知，兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：B.4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求等于（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】【分析】利用數(shù)列的項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.【詳解】由題可知故選：C5.已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（）A.y2＝12x B.y2＝－12xC.x2＝12y D.x2＝－12y【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由題意可知|MA|＝|MN|，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義即可得到答案.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)，圓M與直線l：x＝－3的切點(diǎn)為N，則|MA|＝|MN|，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：x＝－3的距離相等.∴點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點(diǎn)，以直線l：x＝－3為準(zhǔn)線，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y2＝12x.故選：A.6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種【答案】C【解析】【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.7.如圖所示，一只裝有半杯水的圓柱形水杯，將其傾斜使杯底與水平桌面成，此時(shí)杯內(nèi)水面成橢圓形，此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題干條件作出輔助線，求出，即，進(jìn)而求出離心率.【詳解】如圖，由題意得：∠BAC=30°，，，且AC=DE，則在直角三角形ABC中，，所以，所以此橢圓的離心率.故選：C8.中國(guó)自古就有“橋的國(guó)度”之稱，福建省寧德市保留著50多座存世幾十年甚至數(shù)百年的木拱廊橋，堪稱木拱廊橋的寶庫.如圖是某木拱廊橋的剖面圖是拱骨，是相等的步，相鄰的拱步之比分別為，若是公差為的等差數(shù)列，且直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用題中關(guān)系建立等式求解即可.【詳解】由題可知因?yàn)樗?，又是公差為的等差?shù)列，所以，所以，故選:B二、多項(xiàng)選擇題（本題每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線，直線，則下列命題正確的有（）A.直線恒過點(diǎn)B.直線的方向向量為，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知直線方程，逐個(gè)驗(yàn)證直線過的定點(diǎn)、方向向量和垂直平行所需的條件.【詳解】把代入直線的方程，等式不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；直線的方向向量為，則直線斜率，得，B選項(xiàng)正確；直線方向向量為，直線的方向向量為，若，則有，解得，當(dāng)時(shí)，與重合，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則有，即，D選項(xiàng)正確.故選：BD10.在的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數(shù)項(xiàng)為160B.第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大C.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為【答案】ACD【解析】【分析】先求的通項(xiàng)公式可得選項(xiàng)A的正誤，利用的值可得選項(xiàng)B、C的正誤，所有項(xiàng)的系數(shù)和可以利用賦值法求解【詳解】展開式的通項(xiàng)為，由，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，A正確；二項(xiàng)式展開式中共有項(xiàng)，所以第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，B錯(cuò)誤；由及二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)知，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，C正確；令，得，所有項(xiàng)的系數(shù)和為，D正確；故選：ACD11.為了考察冰川融化狀況，一支考察隊(duì)在某冰川劃定一考察區(qū)域，考察區(qū)域的邊界曲線由曲線和曲線組合而成，其方程為：和.則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于軸成軸對(duì)稱圖形B.曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形C.曲線上兩點(diǎn)之間的距離的最大值為D.直線到曲線的最短距離為3【答案】ACD【解析】【分析】畫圖即可驗(yàn)證選項(xiàng)A,B選項(xiàng)，通過圖像可知曲線上兩點(diǎn)之間的距離的最大值為左右兩個(gè)端點(diǎn)的距離即可求解選項(xiàng)C，選項(xiàng)D利用平行與的直線相切與曲線時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最短即可求解.【詳解】如圖所示可知，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤.由圖像可知曲線上兩點(diǎn)之間的距離的最大值為左右兩個(gè)端點(diǎn)的距離，在中，令，在中，令，所以曲線上兩點(diǎn)之間的距離的最大值為左右兩個(gè)端點(diǎn)的距離為：，故C正確，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，當(dāng)平行與直線的直線與曲線的部分相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最小，設(shè)此時(shí)直線方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，由解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，故，聯(lián)立解得切點(diǎn)為：所以直線到曲線的最短距離為點(diǎn)到的距離：即，故D正確，故選：ACD.12.已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項(xiàng)，若且，則以下結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的特性判斷AC；再判斷等差數(shù)列單調(diào)性判斷BD作答.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，則，，而的正負(fù)不確定，因此不能確定和的正負(fù)及大小關(guān)系，AC錯(cuò)誤；顯然和異號(hào)，又且，則中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)，而，于是等差數(shù)列的公差，即數(shù)列單調(diào)遞減，因此，且，BD正確.故選：BD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置）13.已知，則兩平行線與間的距離為__________.【答案】2【解析】【分析】?jī)善叫芯€與間的距離，轉(zhuǎn)化為上一點(diǎn)到的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算.【詳解】，過點(diǎn)，點(diǎn)到的距離為，所以兩平行線與間的距離為2.故答案為：214.某中學(xué)為迎接新年到來，籌備“唱響時(shí)代強(qiáng)音，放飛青春夢(mèng)想”為主題的元旦文藝晩會(huì).晩會(huì)組委會(huì)計(jì)劃在原定排好的5個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，若保持原來5個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序不變，則有__________種不同排法.（用數(shù)字作答）【答案】42【解析】【分析】分兩種情況討論：2個(gè)教師節(jié)目相鄰與不相鄰，分別算出相加即可.【詳解】①當(dāng)2個(gè)教師節(jié)目相鄰時(shí)利用插空法則有：種情況，②當(dāng)2個(gè)教師節(jié)目不相鄰時(shí)有：種情況，所以共有種情況，故答案為：42.15.數(shù)列滿足，則________.【答案】【解析】【分析】將變形得到，然后逐項(xiàng)列舉，累加可得到，又，代入即可得出結(jié)果【詳解】由題意可得，所以，，，上式累加可得，又，所以.故答案為：16.反比例函數(shù)的圖象是雙曲線（其漸近線分別為軸和軸）；同樣的，“對(duì)勾函數(shù)”的圖象也是雙曲線.設(shè)，則此“對(duì)勾函數(shù)”所對(duì)應(yīng)的雙曲線的焦距為__________.【答案】【解析】【分析】求得雙曲線為可得漸近線方程，運(yùn)用對(duì)稱性可得實(shí)軸所在的直線方程，與函數(shù)聯(lián)立，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式，可得的值，從而可得值，即可得雙曲線的焦距．【詳解】由題可得雙曲線為，所以漸近線為及，漸近線夾角為,則所以，焦點(diǎn)所在的直線方程為，由,得解得或此時(shí)，則所以，則焦距為.故答案為：.四、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知等差數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列公差為，依題意得到關(guān)于的方程，解得，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1），利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得【小問1詳解】方法設(shè)數(shù)列公差為，由得，所以，所以；方法2：設(shè)數(shù)列公差，由得，解得，所以，所以；【小問2詳解】解：由（1），所以.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，.（1）求直線的方程；（2）記的外接圓為圓，求直線被圓截得的弦長(zhǎng).【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）直線交軸于點(diǎn)，由題意可得為等邊三角形，故，可求直線的方程；（2）由可求的外接圓方程，幾何法求直線被圓截得的弦長(zhǎng).【小問1詳解】（如圖）直線交軸于點(diǎn)，中，，所以，故，

所以直線的方程為【小問2詳解】設(shè)圓的方程為，由（1）知，滿足圓的方程，則，解得，圓的方程為，即所以圓心半徑圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng).注：方法二（2）設(shè)圓的方程為，由（1）知，滿足圓的方程，則，解得，圓的方程為，可得，圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng).注：方法三（2）因?yàn)?，，AB的中點(diǎn)為

所以的垂直平分線方程為：①，所以的垂直平分線方程為：②，由①②得，圓心為，圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng).19.定義：為廣義組合數(shù)，其中是正整數(shù)，且.這是組合數(shù)是正整數(shù)，且一種推廣.（1）計(jì)算：與；（2）猜想并證明：__________（用的形式表示，其中是正整數(shù)）.【答案】（1），（2），證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)廣義組合數(shù)公式，計(jì)算即可求解．（2）結(jié)合(1)中的結(jié)果，根據(jù)廣義組合數(shù)公式，化簡(jiǎn)等號(hào)左邊的算式，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】所以【小問2詳解】猜想：時(shí)，，猜想成立.時(shí)，由得又所以.綜上，.20.在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積最大值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及橢圓過一點(diǎn)，列方程求解，即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓求解交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，即可得相交弦長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線距離求得點(diǎn)到直線的距離，即可得的表達(dá)式，利用函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【小問1詳解】設(shè)橢圓方程為，由橢圓過點(diǎn)，離心率所以，解得，所以橢圓的方程為：【小問2詳解】設(shè)，則，得，，得，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離所以的面積當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值1.21.已知數(shù)列前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列與的關(guān)系，利用相減法得，檢驗(yàn)首項(xiàng)后可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）直接根據(jù)錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和即可；（3）利用數(shù)列單調(diào)性判斷方法確定最值，即可得實(shí)數(shù)的范圍.【小問1詳解】時(shí)，有，時(shí)有，又，也符合上式，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，.【小問2詳解】由（1）知，，①，②由①-②有：【小問3詳解】記則所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即所以當(dāng)時(shí)，有最大值故實(shí)數(shù)的范圍為22.雙曲線，恰好過中的三點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）記雙曲線上不同的三點(diǎn)，其中為雙曲線的右頂點(diǎn)，若直線的斜率之積為1，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由雙曲線的對(duì)稱性知，雙曲線過，代入雙曲線方程即可求出；（2）法一：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，由韋達(dá)定理結(jié)合題意即可表示出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出直線的方程，求出直線過的定點(diǎn)；法二：設(shè)直線方程為：，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，由韋達(dá)定理結(jié)合題意即可表示出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出直線的方程，求出直線過的定點(diǎn)；法三：依據(jù)對(duì)稱性可知，直線必過設(shè)直線方程為：，由結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，即可求出直線過的定點(diǎn)；法四：以為原點(diǎn)，構(gòu)建新的直角坐標(biāo)系，則，雙曲線方程，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，由可求出的值，即可得出答案.【小問1詳解】由雙曲線的對(duì)稱性知，雙曲線過所以，因?yàn)闈M足，解得所以雙曲線的方程為：【小問2詳解】法一：設(shè)直線的