第05講-函數(shù)的單調(diào)性與最值(講義版)

第05講-函數(shù)的單調(diào)性與最值考情分析借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間M?A，如果取區(qū)間M中任意兩個值x1，x2，改變量Δx＝x2－x1>0，則當Δy＝f(x2)－f(x1)>0時，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)Δy＝f(x2)－f(x1)<0時，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值[方法技巧]1.(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點處取到.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(或最小值).2.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反.3.“對勾函數(shù)”y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間是[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)].經(jīng)典例題考點一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)【例1－1】（2019·安徽省泗縣第一中學高二開學考試（理））如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結論不正確的是()A．>0B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0D．>0【答案】B【解析】試題分析：函數(shù)在[a，b]上是增函數(shù)則滿足對于該區(qū)間上的，當時有，因此，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，均成立，因為不能確定的大小，因此f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)不正確【例1－2】（2020·諸城市教育科學研究院高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B． C． D．【答案】A【分析】由解析式知函數(shù)圖像為開口向下的拋物線,且對稱軸為軸,故可得出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】∵函數(shù),∴函數(shù)圖像為開口向下的拋物線,且其對稱軸為軸∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.規(guī)律方法1.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，如例1(1).(2)單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表達，且圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要用“和”“，”連接.2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導數(shù)法.(2)函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性應根據(jù)外層函數(shù)y＝f(t)和內(nèi)層函數(shù)t＝g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.考點二求函數(shù)的最值【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函數(shù)，則的值域為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分子分離法化簡，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)的值域.【詳解】，又，的值域為，故選：C.【例2－2】（2020·民勤縣第一中學高二期中（理））下列結論正確的是()A．當時，的最小值為 B．當時，C．當時，無最大值 D．當且時，【答案】B【分析】結合函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式逐個判斷即可．【詳解】對于A，x+在[2，+∞）上單調(diào)增，所以x=2時，的最小值為，故A錯誤；對于B，當x＞0時，，當且僅當x=1時，等號成立，故B成立；對于C，在（0，2]上單調(diào)增，所以x=2時，取得最大值，故C不成立；對于D，當0＜x＜1時，lgx＜0，＜0，結論不成立；規(guī)律方法求函數(shù)最值的四種常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)均值不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用均值不等式求出最值.(4)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值.考點三函數(shù)單調(diào)性的應用【例3－1】（2020·安徽師范大學附屬中學高三月考（理））若函數(shù)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出兩段的范圍，結合圖象即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】作出的圖象：當時，，當時，在上在上則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∴，函數(shù)有最小值，則，即，故選：B【例3－2】（2020·江蘇省高一期末）函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為（）.A． B．C． D．【答案】A【分析】利用分離常數(shù)的方法，將式子化簡，可得，根據(jù)單調(diào)性以及值域，可得結果.【詳解】因為所以，可知是遞增的函數(shù)，所以為遞減的函數(shù)，則是遞減的函數(shù)，且所以則，所以A正確故選：A【例3－3】（2019·會澤縣第一中學校高二開學考試（理））已知函數(shù)設，若關于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式為(*)，當時，(*)式即為，，又（時取等號），（時取等號），所以，當時，(*)式為，，又（當時取等號），（當時取等號），所以，綜上．故選A．規(guī)律方法1.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)的思路是：根據(jù)其單調(diào)性直接構建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解.對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值.2.(1)比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)求解函數(shù)不等式，其實質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用，由條件脫去“f”.[思維升華]1.利用定義證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：(1)取值；(2)作差；(3)定號；(4)判斷.2.確定函數(shù)單調(diào)性有四種常用方法：定義法、導數(shù)法、復合函數(shù)法、圖象法，也可利用單調(diào)函數(shù)的和差確定單調(diào)性.3.求函數(shù)最值的常用求法：單調(diào)性法、圖象法、換元法、利用均值不等式.[易錯防范]1.區(qū)分兩個概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集.2.函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接，不要用“∪”.例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1，0)上是減函數(shù)，在(0，1)上是減函數(shù)，但在(－1，0)∪(0，1)上卻不一定是減函數(shù)，如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x).課時作業(yè)1．（2020·湖南省茶陵三中高二開學考試）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．2．（2020·湖北省高一月考）下列四個函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．（2019·湖南省長郡中學高二期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．（2019·江蘇省高一月考）下列函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．5．（2020·吉林省高三二模（理））下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（）A． B． C． D．6．（2020·北京高三零模）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．7．（2019·全國高三二模（理））若定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，則滿足的的取值范圍是A． B． C． D．8．（2020·河北省衡水中學高三月考（理））函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．9．（2020·湖北省高一期末）用表示a，b兩個數(shù)中的最小值，設，則的最大值為（）A．-2 B．-3 C．-4 D．-610．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（2019·河南省高三月考（理））若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則函數(shù)在上的值域為（）A． B． C． D．12．（2019·安徽省毛坦廠中學高三月考（理））已知函數(shù)，則函數(shù)有（）A．最小值，無最大值 B．最大值，無最小值C．最小值1，無最大值 D．最大值1，無最小值13．（2020·九臺市第四中學高一期末）給定函數(shù)：①，②，③，④，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是__________．14．（2019·江蘇省高三月考）已知函數(shù)，．若對任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的值為____．15．（2019·嘉興市第五高級中學高一期中）已知t為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則16．（2018·安徽省六安二中高一月考）定義在上的函數(shù)滿足且，又當且時，有.若對所有，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.17．（2020·棗莊市第三中學高二月考）已知函數(shù)在時有最大值1和最小值0，設.（1）求實數(shù)的值；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（2018·湖南省衡陽市八中高一月考）已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.（1）證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有局部對稱點；（2）若函數(shù)在R上有局部對稱點，求實數(shù)m的取值范圍.19．（2020·湖南省高一開學考試）已知函數(shù)，且.（1）求實數(shù)的值，并指出函數(shù)的定義域；（2）將函數(shù)圖象上的所有點向右平行移動1個單位得