《第1章 有理數有理數》教案

1.1正數和負數

一、教學目標

1、在熟悉的生活情景中，能用正數和負數表示生活中具有相反意義的量、

知道負數的寫法和讀法，會用負數表示一些日常生活中的量。

2、使學生經歷數學化，符號化的過程，體會負數產生的必要性。

3、感受正、負數和生活的密切聯(lián)系，享受創(chuàng)造性學習的樂趣，并結合史料

對學生進行愛國主義思想教育。

二、教學重點、難點

1、教學重點：體會負數的意義，學會用正、負數表示日常生活中具有相反

意義的量。

2、教學難點：體會負數的意義，通過描述性定義認識正數、負數和“0”。

三、教法設計：合作探究式分層次教學，講授、練習相結合。

四、教學過程

㈠情景導入

?課前談話：“上下”是表示什么的詞？再如“勝負”，你能舉出哪些意思

相反的一組詞呢？詞匯真豐富，說明你們的語文學得好。今天，是數學課,

離不開“數”。

1、出示信息：

在下列橫線上填上適當的詞，使前后構成意義相反的量：

(1)媽媽在銀行存入1300元,1300元；

(2)電梯30米，下降30米；

(3)小紅向北走30米，向走30米.

(4)淘氣昨天數學作業(yè)，做對5道，做_5道。

2、指名讀信息，你發(fā)現(xiàn)了什么？

同樣的數帶上了相反意思的方向詞，就成了“方向數”。

你能把這件事情說得更簡單些嗎？

請大家把意思為相反方向的數記錄在本子上，但是數字前面的文字不能

照抄，你得創(chuàng)造另外的方法記錄，要求既簡單，又明白。

3、師：剛才同學們用了不同的方法去記錄，大家說得也都有道理?？墒?/p>

如果每個人都按照自己的想法去表示，結果會怎么樣呢？那你覺得應該怎么

辦？要想讓大家都明白，數學家們制定出了一個統(tǒng)一的標準。那你認為數學

家們會怎樣表達呢？

4、總結正負數

(1)這些數很特別，都帶上了符號，它們是一種“新數”。-1300、-80等

都叫負數；+1300、+80等都叫正數。你會讀嗎？請你讀給大家聽。

注意“-”叫負號，“+”叫正號。

(2)讀給你的同伴聽。

(3)把你新認識的負數再寫兩個讀一讀。

下面讓我們走進正數和負數的世界，進一步了解它們。(板書課題)

㈡新授

1、用正數或負數表示下列數量。

（1）贏利10000元，用+10000元表示；那么虧損10000元用（）元

表示。

（2）如果向東走10.5米，用+10.5米表示;那么向西走10.5米用（）

米表示。

（3）球隊勝利4場，用+4場表示；那么失敗3場用（）場表示。

（4）零上15度用+15度表示；那么零下15度用（）度表示。

2、像這樣的例子有很多，你能說出一組這樣的情況來嗎？誰愿意和老師合

作？

上車15人和下車8人；

公元前221年和公元后2006年；

地面以上6層和地面以下2層；

種了100棵樹，死了5棵樹；

我在銀行存入了500元（取出了500元）。

知識競賽中，四（1）班得了20分（扣了20分）。

10月份，學校小賣部賺了500元。（虧了500元）。

零上10攝式度（零下10攝式度）。

樹上飛來了5只鳥。

3、同桌同學一人說信息，一人說正負數。

4、出示北京地區(qū)天氣情況，你發(fā)現(xiàn)負數了嗎？有正數嗎？它怎么沒有“+”

呢？那么，負數可以把“-”去掉嗎？

5、出示圖片，你知道了什么？人們是利用什么工具來測量溫度的呢？

6、溫度計上有。嗎？（板書）這里的0與以前學習的0有什么不同？

科學家把水結冰的溫度定為0℃。讀作：0攝氏度。

觀察溫度計上的刻度是怎樣排列的？你覺得它像哪種測量工具？

溫度計零上有刻度10,零下也有刻度10,這兩個刻度一樣嗎？為什么？

比0C低的溫度用帶“一”號的數表示，如：-io℃;

比0℃高的溫度用帶“+”號的數表示，如：+1℃（“+”號可以省略不寫）。

7、出示課件，讀出溫度計上所顯示的溫度。

比較三個溫度的大小。

㈢0的新意義理解。（利用數軸，了解負數、0和正數的大小關系。）

1、出示溫度計，與尺子對比，再變化成數軸。

（1）如果我以這里為起點，前進1米用正數表示，后退1米用負數表示，那么,

站在起點不動用什么數表示？

（2）前進2米、3米、4米……；回到起點，然后，后退2米、3米、4米、5

米……分別用正負數表示出來。如果不停地前進數會怎樣變化？如果不停地后

退，數又會怎樣變化？

如果不停地前進或后退，能走得完嗎？我們把這個東西叫數軸。

（3）你看大樓的電梯，能用這種數軸來表示嗎？

（4）還有什么也可以用數軸表示？

（5）這個數軸太神奇了，看著它你能想到什么數學問題？

（學生會想：T和-4誰大？負數有多少？負數有小數嗎？）

2、歸納板書，給數字歸類：你能用集合圖給他們分類嗎？

3、誰能用大于號表示出負數、。和正數的關系？

㈣介紹負數的發(fā)展歷史。

1、文字錄音播放。

2、聽完了，你有什么感想？

㈤課堂小結

1、你這節(jié)課有什么收獲？

2、說一說：你眼中的正數和負數

五、布置作業(yè)

1、想一想：你眼中的正數和負數是什么樣子的？

2、課后練習與習題

六、板書設計

正數和負數

正號

七、教學反思

世界是由許多相互矛盾的事物組成的。要想認識這個世界，改造這個世界，

就要從這些矛盾的事物入手。數學研究亦是如此。奇與偶，正與負，左與右，一

與眾，直與曲，動與靜等，是一組組對立概念，其中蘊含了對立統(tǒng)一、聯(lián)系發(fā)展

這些最樸素的哲學思想，如何通過我們的數學課堂向學生滲透這些思想呢？

開始時，引出對立的一組矛盾，用一個數無法表達兩種相反意義的量，怎么

辦？學生利用已有的生活經驗解決矛盾，在數前用不同符號表達兩種相反意義的

量，使這對矛盾在符號化的思想下得到統(tǒng)一，讓學生感受到符號的作用。

數學活動需要通過學生的操作實驗、思考討論、合作交流等一定的形式來

完成,恰當的活動形式有利于數學活動的開展，有利于學生感悟數學思想與方法。

但是，數學活動不是教學形式的“花樣翻新”，更不是“作秀”。課堂讓學生

通過對話、傾聽、欣賞、互動和共享，實現(xiàn)了數學活動的有效性。

數學教學是數學活動的教學。數學活動必須關注全體學生，充分調動他們

主動參與數學活動的積極性，使他們真切地體驗、感悟和理解數學，引發(fā)數學思

考，有效地建構數學知識。這樣的活動才是數學課堂所需要的有效活動，才能全

面地實現(xiàn)數學教學的目標。

實踐讓我深深體會到：教學的真境界應是“樸實無華、真實有效”的。它是

真實、真效、真智慧的生動過程，是師生智慧共生的樂園！

1.2數軸、相反數和絕對值

一、教學目標

1.使學生正確理解數軸的意義，掌握數軸的三要素；

2.使學生學會由數軸上的已知點說出它所表示的數，能將有理數用數軸上

的點表示出來；

3.使學生初步理解數形結合的思想方法.

4.使學生理解相反數的意義；

5.給出一個數，能求出它的相反數；

6.理解絕對值的意義，熟悉絕對值符號；

7.給一個數，能求它的絕對值。

二、教學重點、難點

1、教學重點：

⑴初步理解數形結合的思想方法，正確掌握數軸畫法和用數軸上的點表示

有理數.

⑵理解有理數的絕對值概念，并掌握其表示方法

2、教學難點：

⑴正確理解有理數與數軸上點的對應關系。

⑵熟練掌握求一個有理數的絕對值的方法。

三、課時：3課時

四、教學過程

㈠導入：從學生原有認知結構提出問題

1.小學里曾用“射線”上的點來表示數，你能在射線上表示出1和2嗎？

2.用“射線”能不能表示有理數？為什么？

3.你認為把“射線”做怎樣的改動，才能用來表示有理數呢？

待學生回答后，教師指出，這就是我們本節(jié)課所要學習的內容一一數軸.

㈡講授新課

[11數軸

讓學生觀察掛圖一一放大的溫度計，同時教師給予語言指導：利用溫度計

可以測量溫度，在溫度計上有刻度，刻度上標有讀數，根據溫度計的液面的不同

位置就可以讀出不同的數，從而得到所測的溫度.在0上10個刻度，表示10℃；

在0下5個刻度，表示-5℃.

與溫度計類似，我們也可以在一條直線上畫出刻度，標上讀數，用直線上

的點表示正數、負數和零.具體方法如下（邊說邊畫）：

1.畫一條水平的直線，在這條直線上任取一點作為原點（通常取適中的位置,

如果所需的都是正數，也可偏向左邊）用這點表示0（相當于溫度計上的0℃）；

2.規(guī)定直線上從原點向右為正方向（箭頭所指的方向），那么從原點向左為

負方向（相當于溫度計上0℃以上為正，0℃以下為負）；

3.選取適當的長度作為單位長度，在直線上，從原點向右，每隔一個長度

單位取一點，依次表示為1,2,3,…從原點向左，每隔一個長度單位取一點，

依次表示為T,-2,-3,…

提問：我們能不能用這條直線表示任何有理數？（可列舉幾個數）

在此基礎上，給出數軸的定義，即規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線

叫做數軸.

進而提問學生：在數軸上，已知一點P表示數-5,如果數軸上的原點不選

在原來位置，而改選在另一位置，那么P對應的數是否還是-5?如果單位長度改

變呢？如果直線的正方向改變呢？

通過上述提問，向學生指出：數軸的三要素一一原點、正方向和單位長度，

缺一不可.

㈢運用舉例變式練習

例1畫一個數軸，并在數軸上畫出表示下列各數的點：

1,-5,-2.5,0.

例2指出數軸上A,B,C,D,E各點分別表示什么數.

?A.1E.ID.1，，C■iB*

-4-3-2-10123456x

課堂練習

112

1.將-3,2-,2.25,+7.3,-5.1各數用數軸上的點表

示出來.

2.說出下面數軸上A,B,C,D,0,M各點表示什么數？

DC0AMB

-4-3-2-10123456x

最后引導學生得出結論：正有理數可用原點右邊的點表示，負有理數可用原

點左邊的點表示，零用原點表示.

[2]相反數

1.相反數的概念：

首先，咱們來畫一條數軸，然后在數軸上標出下列各點：3和-3,1.6和-1.6,

請同學們觀察：（1）上述這兩對數有什么特點？（2）表示這兩對數的數軸上的

點有什么特點？（3）請你再寫出同樣的幾對點來？

顯然：（1）上面的這兩對數中，每一對數，只有符號不同。

（2）這兩對數所對應的點中每一組中的兩個點，一個在原點的左邊，一個

在原點的右邊，而且離開原點的距離相同。

44“

(3)像上面這種特征的數非常多，比如：5和-5,4和-4,1和-鼻，⑶和-1.#等

等。

一3—1.6H-1.63

----1------1--?---1!1?1*1---->

—4--—3—2---—1----O-1-----2----3-----4

像以上這樣，只有符號不同的兩個數互稱為相反數，例如和-12互為相反數，

22

是一1’的相反數，一1_1是1工的相反數。

2222

我們還規(guī)定：0的相反數是0

說明：

（1）注意理解相反數定義中“只有”的含義。

（2）相反數是相對而言的，即如果6是-6的相反數，則-6也是6的相反數,

因而相反數全是成對出現(xiàn)的。

(3)兩個互為相反數的數在數軸上的對應點(除0外)，在原點的兩旁，并

且距離原點距離相等的兩個點，至于0的相反數是0的幾何意義，可理解為這兩

點距離原點都是零。

例L(1)分別指出9和-7的相反數；

3

(2)分別指出-2.4和各是什么數的相反數。

5

解：由相反數的定義可知：

(1)9的相反數是-9,-7的相反數是7；

(2)-2.4是2.4的相反數，3三是-32的相反數。

55

從例1可以看出：一個正數的相反數是一個負數，而一個負數的相反數是一

個正數。

2.典型例題：

例2.指出下列各對數中，哪幾對是相等的數？哪幾對互為相反數？

<1>+(-3)與-3<2>+(+8)與8

<3>-(+3)與3<4>-(-7)與-7

解：

<1>+(-3)=-3

<2>+(+8)=8

<3>-(+3)與3互為相反數

<4>-(-7)與-7互為相反數

由上面的這個例題可以看出：如<3>和<4>所示，在一個數前面添上“-”號，

用這個新數表示原來那個數的相反數；如<1>、<2>所示：在一個數的前面添上“+”

號，表示這個數本身。

例3.簡化下列各數的符號：

(1)-(+7)；(2)+(-5)；(3)-(-3.1)；

(4)-[+(-2)]；(5)(-6)]

解：

(1)一(+7)=—7

(2)+(-5)=-5

(3)—(—3.1)=3.1

(4)一[+(-2)]=+2

(5)-[-(-6)]=-6

觀察這道題目發(fā)現(xiàn)：在一個數前面如果有奇數個負號，則這個數是負數，表

示它的相反數，例如(1)(5)；如果有偶數個負號，則表示它本身，例如(3)、

(4)0

例3.數軸上表示互為相反數的兩個點相互之間的距離是8.4,求這兩個數。

分析：在數軸上，由相反數的定義可知：互為相反數的兩個數離原點的距離

是相等的。由題意可知，它們到原點的距離之和又為8.4。顯然，只需用除法就

可以算出這兩個數。

解：由題意可知：8.44-2=4.2

所以，這兩個數應該是4.2和-4.2。

[3]絕對值

1.定義：

在上面一節(jié)中，知道6的相反數是-6,而6與-6表示的點雖然在原點的兩

邊，但它們到原點的距離是相等的。如果我們不考慮兩點在原點的哪一邊，只考

慮它們離開原點的距離，這個距離是6o此時我們稱這個距離6是6與-6的絕對

值，那么，什么叫絕對值呢？

實際上，我們把在數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記

作Ia|。

如下圖所示：在數軸上表示-5的點與原點的距離是5,即-5的絕對值是5,

記作|-5|=5o

同樣，-3!=3!，J=表示0的點與原點的距離是0,所以|0|=0。

223311

-5-4-3-2-101234

下面咱們根據絕對值的定義，來看一組題目：

(1)|+2|=2,||,|+8.2|=8.2

(2)|q=o

(3)|-3|=_3_,|-0.2|=0.2,|-8.2|=8.2

觀察上面這三S題目會發(fā)現(xiàn)：(1)組中要求絕對值的數全是正數，而求出的

絕對值也是正數，恰恰是它本身，而(2)組中0的絕對值是0,(3)組中要求

絕對值的數全是負數，而求得的絕對值全都是正數，因而全都是其相反數，由此

可以得到：

(1)一個正數的絕對值是它本身。

(2)一個負數的絕對值是它的相反數。

(3)0的絕對值是0。

因為正數可用a〉0來表示，負數可用a<0來表示，所以上述三條可改寫成：

(1)如果a>0,那么|a|=a,

(2)如果a<0,那么|a|=-a,

(3)如果a=0,那么|a|=0,

上面這幾個式子可合并寫成：

a(cz>0)

同=<0(a=0)

-a(a<0)

由上面的幾個式子可以看出，不論a取何值，它的絕對值總是正數或0(通

常也稱為非負數)，即對任意有理數a而言，總有

\a\>0

這是一條非常重要的性質，這里的“非負”就是“不是負數”，而有可能是

正數或者是0。

上面的這幾個式子還告訴咱們怎樣求一個數的絕對值：

如果求一個正數的絕對值，根據法則，就直接寫出結果即可。

如果求一個負數的絕對值，根據法則，就需要找它的相反數。

而就“0”而言，它的絕對值就是它本身。

根據上面的這些法則來看例子：

例1.求下列各數的絕對值:

+—,-4.75,05

10

解:-L,|-4.75|=4.75,|05|=0.5

I

例

化;(2

2,

解

1T1

⑴-

(+2-2-

例3.回答下列問題：

（1）絕對值是12的數有幾個？是什么？

（2）絕對值是0的數有幾個？是什么？

（3）有沒有絕對值是-3的數？為什么？

答：（1）絕對值是12的數有兩個：+12和-12。因為絕對值是代表數a表示

的點到原點的距離，而在數軸上，到原點距離為12的點共有兩個，它們是+12

和T2。

（2）絕對值是。的數僅有一個，因為只有。的絕對值才是零。

（3）沒有。因為根據絕對值的意義可知：不論a取值為何數，它的絕對值

總是正數或0,而沒有負數。因而沒有絕對值為-3的數。

例4.設a、b是有理數，判斷下列語句是否正確，并簡要說明理由，若不正

確，也可舉出反例。

（1）若2=（則|a|=|b|；（2）若|a|=|b|,則a=b。

解：（1）正確。因為兩個數若是相等，則表示它到原點的距離相等，因而

|a|=|b|o

（2）不正確。因為絕對值相等的兩個數，它們不僅可以相等，而且還可以

互為相反數，比如相反數31,但3*3。因而原語句錯誤。

例5.數軸上與原點距離小于3的且表示整數的點有多少個？

絕對值小于2的整數有多少個？它們是什么？

解：先觀察數軸：

-3-2-1OL234

經過觀察，發(fā)現(xiàn)：在數軸上與原點距離小于3的點有無數個，但是表示整數

的點卻只有-2,T,0,1,2這樣5個，而絕對值小于2的整數則有3個，它們

分別是0,1,-lo

例6.設m、n是有理數，要使|+In=0,則m、n的關系是（）

A.互為相反數B.相等C.符號相反D.都為零

解：

顯然應該選。。因為要|加+|川=0,而依|20,|/?|>0,顯然只有zn=0,〃=0。

A答案提示為互為相反數，互為相反數的兩個數之絕對值之和一定不為零（零

除外）。

B答案提示相等，若兩個數相等，則它們的絕對值之和一定也不為零（零除

外）。

C答案提示兩個數符號相反，符號相反的數，其絕對值之和也一定不為0。

㈣課堂小結

1、數軸是非常重要的數學工具，它使數和直線上的點建立了對應關系，它

揭示了數和形之間的內在聯(lián)系，為我們研究問題提供了新的方法。能掌握數軸的

三要素，正確地畫出數軸，所有的有理數都可用數軸上的點來表示，但是反過來

不成立，即數軸上的點并不是都表示有理數，至于數軸上的哪些點不能表示有理

數，這個問題以后再研究。

2、通過學習，了解相反數的意義及找到一個數的相反數的方法。

3、了解絕對值的代數意義和它在數軸上表示的意思。

4、理解兩個有理數大小比較的方法。

五、作業(yè)布置

1.在下面數軸上：

(1)分別指出表示-2,3,-4,0,1各數的點.

(2)A,H,D,E,0各點分別表示什么數？

BDFH0GECA

11tli1■11>

-4-3-2-101234x

2.課后練習與習題。

六、板書設計

1.2數軸

一、(1)數軸的定義

(2)數軸的三要素

例1、例2

二、互為相反數

三、絕對值

七、教學反思

從學生已有知識、經驗出發(fā)研究新問題，是我們組織教學的一個重要原則.小

學里曾學過利用射線上的點來表示數，為此我們可引導學生思考：把射線怎樣做

些改進就可以用來表示有理數？伴以溫度計為模型，引出數軸的概念.教學中，

數軸的三要素中的每一要素都要認真分析它的作用，使學生從直觀認識上升到理

性認識.直線、數軸都是非常抽象的數學概念，當然對初學者不宜講的過多，但

適當引導學生進行抽象的思維活動還是可行的.例如，向學生提問：在數軸上對

應一億萬分之一的點，你能畫出來嗎？它是不是存在等.

作為教師，我們在備課時不但要備教材，更要備學生，學會換位思考，學生

可能會出現(xiàn)怎樣的問題和疏忽，我們要有所準備，及時預防和糾正。但另外，我

又想，如果先放手讓學生自己畫，讓他們犯錯，然后把學生自己畫的數軸(特別

是有錯誤的)展示，相互指正，以示警戒，是否效果會更好呢？我們有時侯是否

也需要學會適當放手，建議下次大家都可試試。

1.3有理數的大小

一、教學目標

1、使學生能說出有理數大小的比較法則

2、能熟練運用法則結合數軸比較有理數的大小，特別是應用絕對值概念比

較兩個負數的大小，能利用數軸對多個有理數進行有序排列。

3、能正確運用符號寫出表示推理過程中簡單的因果

關系。

二、教學重點、難點

1、教學重點：運用法則借助數軸比較兩個有理數的大小。

2、教學難點：利用絕對值概念比較兩個負分數的大小。

三、教學準備：多媒體課件

四、課時：2課時

五、教學過程

㈠交流對話，探究新知

1、說一，說

（多媒體顯示）某一天我們5個城市的最低氣溫

武漢5X：上海0七

從剛才的圖片中你獲得了哪些信息？（從常見的氣溫入手，激發(fā)學生的求知

欲望，可能有些學生會說從中知道廣州的最低氣溫10℃比上海的最低氣溫

高，有些學生會說哈爾濱的最低氣溫零下20C比北京的最低氣溫零下10C低等；

不會說的，老師適當點拔，從而學生在合作交流中不知不覺地完成了以下填空。

比較這一天下列兩個城市間最低氣溫的高低（填“高于”或“低于”）

廣州_______上海；北京________上海；北京哈爾濱；武漢

哈爾濱；武漢廣州。

2、畫一畫：（1）把上述5個城市最低氣溫的數表示在數軸上，（2）觀察這

5個數在數軸上的位置，從中你發(fā)現(xiàn)了什么？

(IIIII).

-20-100510

（3）溫度的高低與相應的數在數軸上的位置有什么？

（通過學生自己動手操作，觀察、思考，發(fā)現(xiàn)原點左邊的數都是負數，原點

右邊的數都是正數；同時也發(fā)現(xiàn)5在0右邊，5比0大；10在5右邊，10比5

大，初步感受在數軸上原點右邊的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。教師趁機

追問，原點左邊的數也有這樣的規(guī)律嗎？從而激發(fā)學生探索知識的欲望，進一步

驗證了原點左邊的數也有這樣的規(guī)律。從而使學生親身體驗探索的樂趣，在探究

中不知不覺獲得了知識。）由小組討論后，教師歸納得出結論：

在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數。

（二）應用新知，體驗成功

1、練一練（師生共同完成例1后，學生完成隨堂練習1）

例1：在數軸上表示數5,0,-4,-1,并比較它們的大小，將它們按從

小到大的順序用號連接。（師生共同完成）

分析：本題意有幾層含義？應分幾步？

要點總結：小組討論歸納，本題解題時的一般步驟：①畫數軸②描點；③

有序排列；④不等號連接。

2、做一做

（1）在數軸上表示下列各對數，并比較它們的大小

①2和7②一6和一1③一6和一36④一;和一1.5

（2）求出圖中各對數的絕對值，并比較它們的大小。

（3）由①、②從中你發(fā)現(xiàn)了什么？

（學生小組討論后，代表站起來發(fā)言，口述自己組的發(fā)現(xiàn)，說明自己組發(fā)現(xiàn)

的過程，逐步培養(yǎng)學生觀察、歸納、用數學語言表達數學規(guī)律的能力。）

要點總結：兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕

對值大的數反而小。

在學生討論的基礎上，由學生總結得出有理數大小的比較法則。

（1）正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數。

（2）兩個正數比較大小，絕對值大的數大。

（3）兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小。

3、師生共同完成例2后，學生完成隨堂練習2、3、4。

例2比較下列每對數的大小，并說明理由：（師生共同完成）

32

（1）1與-10,（2）—0.001與0,（3）—8與+2；（4）-7與一可；（5）

3

—（+~）與一I—0.8|

0

分析：第（4）（5）題較難，第（4）題應先通分，第（5）題應先化簡，再

比較。同時在講解時，要注意格式。

注：絕對值比較時，分母相同，分子大的數大；分子相同，則分母大的數

反而??；分子分母都不相同時，則應先通分再比較，或把分子化相同再比較。

兩個負數比較大小時的一般步驟：①求絕對值；②比較絕對值的大??；③

比較負數的大小。

思考：還有別的方法嗎？（分組討論，積極思考）

4、想一想：我們有幾種方法來判斷有理數的大小？你認為它們各有什么特

點？

由學生討論后，得出比較有理數的大小共有兩種方法，一種是法則，另一

種是利用數軸，當兩個數比較時一般選用第一種，當多個有理數比較大小時，一

般選用第二種較好。

練一練：P>9TZ、3、4

5、考考你：請你回答下列問題：

（1）有沒有最大的有理數，有沒有最小的有理數，為什么？

（2）有沒有絕對值最小的有理數？若有，請把它寫出來？

（3）在于一1.5且小于4.2的整數有個，它們分別是—o

（4）若a〉0,b<0,a<|b|,則你能比較a、b、一a、一b這四個數的大小嗎？

（本題屬提高題，不要求全體學生掌握）

（新穎的問題會激發(fā)學生的好奇心，通過合作交流，自主探究等活動，培

養(yǎng)學生思維的習慣和數學語言的表達能力）

㈢課堂小結

本節(jié)課主要學習了有理數大小比較的兩種方法，一種是按照法則，兩兩比較,

另一種是利用數軸，運用這種方法時，首先必須把要比較的數在數軸上表示出來,

然后按照它們在數軸上的位置，從左到右（或從右到左）用（或“>”）連接,

這種方法在比較多個有理數大小時非常簡便。

六、布置作業(yè)：課后練習與習題

七、板書設計

1.3有理數的大小

一、有理數的大小比較：

在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數。

八、教學反思

如何來比較兩個負數的大小，這對有些學生來講可能比較難，為什么一2>

-5?要講清楚這一點，利用數軸較直觀，并注意采用從特殊的例子到一般的規(guī)

律。另外在講解例題的時候，首先得強調兩個負數的前提下，再比較絕對值。所

以應先看是如何的兩個數進行比較，正數之間的比較我們早已會了，我們也知道

正數大于負數。而有時候我們也往往需要對一些數先進行化簡再比較，這一點在

練習中有很多同學還是沒有注意。

1.4有理數的加減

（第一課時）

一、教學目標

1、知識與技能

⑴通過足球賽中的凈勝球數，使學生掌握有理數加法法則，并能運用法則進

行計算；

⑵在有理數加法法則的教學過程中，注意培養(yǎng)學生的運算能力.

2、過程與方法

⑴通過觀察，比較，歸納等得出有理數加法法則。

⑵能運用有理數加法法則解決實際問題。

3、情感態(tài)度價值觀

認識到通過師生合作交流，學生主動叁與探索獲得數學知識，從而提高學生

學習數學的積極性。

二、教學重點、難點

1、教學重點：會用有理數加法法則進行運算.

2、教學難點：異號兩數相加的法則.

三、教學過程

㈠問題與情境

我們已經熟悉正數的運算，然而實際問題中做加法運算的數有可能超出正數

范圍。例如，足球循環(huán)賽中，通常把進球數記為正數，失球數記為負數，它們的

和叫作凈勝球數。章前言中，紅隊進4個球，失2個球；藍隊進1個球，失1個

球。于是紅隊的凈勝球為

4+(-2),

黃隊的凈勝球為

1+(-1)O

這里用到正數與負數的加法。

㈡師生共同探究有理數加法法則

前面我們學習了有關有理數的一些基礎知識，從今天起開始學習有理數的運

算.這節(jié)課我們來研究兩個有理數的加法.

兩個有理數相加，有多少種不同的情形？

為此，我們來看一個大家熟悉的實際問題：

足球比賽中贏球個數與輸球個數是相反意義的量.若我們規(guī)定贏球為

“正”，輸球為“負”，打平為“0”.比如，贏3球記為+3,輸1球記為T.學

校足球隊在一場比賽中的勝負可能有以下各種不同的情形：

(1)上半場贏了3球，下半場贏了1球，那么全場共贏了4球.也就是

(+3)+(+1)=+4.

(2)上半場輸了2球，下半場輸了1球，那么全場共輸了3球.也就是

(-2)+(-1)=-3.

現(xiàn)在，請同學們說出其他可能的情形.

答：上半場贏了3球，下半場輸了2球，全場贏了1球，也就是

(+3)+(-2)=+1；

上半場輸了3球，下半場贏了2球，全場輸了1球，也就是

(-3)+(+2)=-1；

上半場贏了3球下半場不輸不贏，全場仍贏3球，也就是

(+3)+0=+3；

上半場輸了2球，下半場兩隊都沒有進球，全場仍輸2球，也就是

(-2)+0=-2；

上半場打平，下半場也打平，全場仍是平局，也就是

0+0=0.

上面我們列出了兩個有理數相加的7種不同情形，并根據它們的具體意義得

出了它們相加的和.但是，要計算兩個有理數相加所得的和，我們總不能一直用

這種方法.現(xiàn)在請同學們仔細觀察比較這7個算式，你能從中發(fā)現(xiàn)有理數加法的

運算法則嗎？也就是結果的符號怎么定？絕對值怎么算？

這里，先讓學生思考，師生交流，再由學生自己歸納出有理數加法法則：

1.同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

2.絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數符號，并用較大的

絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個數相加得0;

3.一個數同0相加，仍得這個數.

㈢應用舉例變式練習

例1口答下列算式的結果

(1)(+4)+(+3)；(2)(-4)+(-3)；(3)(+4)+(-3)；(4

)(+3)+(-4)；

(5)(+4)+(-4)；(6)(-3)+0；(7)0+(+2)；

(8)0+0.

學生逐題口答后，師生共同得出

進行有理數加法，先要判斷兩個加數是同號還是異號，有一個加數是否為零;

再根據兩個加數符號的具體情況，選用某一條加法法則.進行計算時，通常應該

先確定“和”的符號，再計算“和”的絕對值.

例2(教科書的例1)

解：(1)(-3)+(-9)(兩個加數同號，用加法法則的第2條計算)

=-(3+9)(和取負號，把絕對值相加)

=-12.

(2)(-4.7)+3.9(兩個加數異號，用加法法則的第2條計算)

=-(4.7-3.9)(和取負號，把大的絕對值減去小的絕對值)

=-0.8

例3(教科書的例2)教師在算出紅隊的凈勝球數后，學生自己算黃隊和藍

隊的凈勝球數

下面請同學們計算下列各題以及教科書第23頁練習第1與第2題

(1)(-0.9)+(+1.5)；(2)(+2.7)+(-3)；(3)(-1.1)+(-2.9)；

學生書面練習，四位學生板演，教師巡視指導，學生交流，師生評價。

㈣課堂小結

1.本節(jié)課你學到了什么？

2.本節(jié)課你有什么感受？(由學生自己小結)

四、作業(yè)布置：

1、課后練習與習題

2、計算：

(1)(-0.9)+(-2.7)；(2)3.8+(-8.4)；(3)(-0.5)+3；

(4)3.29+1.78；(5)7+(-3.04)；(6)(-2.9)+(-0.31)；

3、用“〉”或“<”號填空：

(1)如果a>0,b>0,那么a+b0；

(2)如果aVO,b<0,那么a+b0；

(3)如果a>0,b<0,]a]>|b|,那么a+b0；

(4)如果aVO,b>0,a'>IbI,那么a+b0.

五、板書設計

1.4有理數的加減

一、有理數的加法

1、法則

同正

同號

同負

［正數絕對值大于負數細寸值

兩個加數的符，異號負數絕對值大于正數維（寸值

兩個加數的絕對值相等

“兩個加數中至少有一個為零

2、解題一般金驟

3、例題

六、教學反思

“有理數的加減”中有理數的加法的教學，可以有多種不同的設計方案.大

體上可以分為兩類：一類是較快地由教師給出法則，用較多的時間（30分鐘以上）

組織學生練習，以求熟練地掌握法則；另一類是適當加強法則的形成過程，從而

在此過程中著力培養(yǎng)學生的觀察、比較、歸納能力，相應地適當壓縮應用法則的

練習，如本教學設計.

現(xiàn)在，試比較這兩類教學設計的得失利弊.

第一種方案，教學的重點偏重于讓學生通過練習，熟悉法則的應用，這種教

法近期效果較好.

第二種方案，注重引導學生參與探索、歸納有理數加法法則的過程，主動獲

取知識.這樣，學生在這節(jié)課上不僅學懂了法則，而且能感知到研究數學問題的

一些基本方法.

這種方案減少了應用法則進行計算的練習，所以學生掌握法則的熟練程度可

能稍差，這是教學中應當注意的問題.但是，在后續(xù)的教學中學生將千萬次應用

“有理數加法法則”進行計算，故這種缺陷是可以得到彌補的.第一種方案削弱

了得出結論的“過程”，失去了培養(yǎng)學生觀察、比較、歸納能力的一次機會.權

衡利弊，我們主張采用第二種教學方法。

（第二課時）

一、教學目標

1、知識與技能

⑴有理數減法法則.

⑵有理數減法法則的應用.

2、過程與方法

⑴經歷探索有理數減法法則的過程，理解有理數減法法則.

⑵能熟練進行整數減法的運算.

3、情感態(tài)度價值觀

⑴為學生創(chuàng)設熟悉的生活環(huán)境，使其在輕松愉快中，體會數學知識在實際生

活中的應用.

⑵通過與學生的交流、探索，逐步培養(yǎng)學生的抽象概括能力及口頭表達的能

力.

二、教學重點、難點

1、教學重點：有理數減法法則.

2、教學難點：有理數減法的意義.

三、教學方法

引導啟發(fā)式

讓學生在應用舊知識的過程中探究，通過老師的引導啟發(fā)得到新的結論.通

過比較、分析、應用獲得新知識，從而達到理解并掌握的目的.

四、教具準備

溫度計、小黑板

投影片五張

第一張：引例（記作§2.5A）

第二張：練習（記作§2.5B）

第三張：例1及練習（記作§2.5C）

第四張：例2、例3（記作§2.5D）

第五張：試一試及習題2.6的第5題（記作§2.5E）

五、教學過程

㈠創(chuàng)設情景問題，引入課題

［師］今天天氣怎么樣呢？

［生］今天天氣晴朗、暖和.

［師］可以說是風和日麗，那明天的天氣呢？是晴天呢？還是多云？有風

嗎？

［生］不知道

［師］要想知道明天的天氣情況，怎么辦？

［生］需要看天氣預報.

［師］好，下面我們看一則某天的全國主要城市的天氣情況：（出示投影片

§2.5A）

全國主要城市天氣預報

城市天氣高溫低溫城市天氣高溫低溫

哈爾濱小雨159長春多云1810

沈陽小雨197天津小雨128

呼和浩特雨夾雪8-3烏魯木齊晴4-3

西寧小雪5-4銀川小雪0-3

苣州雨夾雪3-3西安小雨167

拉薩多云151成都底陣雨1710

重慶3”.2211貴陽雷陣雨238

昆明晴2813太原小雨100

看呼和浩特的最高溫度為8°C,最低溫度為-3°C,這天呼和浩特的溫差為

多少？你是怎么算的？

［生］溫差就是算兩個溫度的差，用減法計算.所以，這天呼和浩特的溫差

為：8—(—3)

［師］8—(一3)等于多少呢？由前面的知識知道8和-3是有理數.兩個有理

數的差怎么算呢？這就是我們這節(jié)課重點研究的內容：有理數的減法.

㈡講授新課

［師］在小學里，我們已探討了減法，那什么是減法呢？

［生］已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算，叫做減

法.

［師］在什么情況下運用減法運算呢？

［生］求一個數比另一個數大多少.

［師］對，現(xiàn)在有了負有理數后，減法的意義同樣是“已知兩個加數的和與

其中的一個加數，求另一個加數的運算”.由減法的意義可知減法與加法是互為

逆運算.

現(xiàn)在要計算：8—(-3)=?應如何算呢？大家想想辦法.

［生］要算8—(-3)=?可先考慮一下：+(-3)=8.利用有理數的加法法

則可知：11+

(-3)=8,所以8—(-3)=11.

［師］很好.這位同學從加法和減法是互為逆運算的角度

來考慮的，并且他計算正確.想一想，還可以怎樣考慮？

［生］還可以利用溫度計.因為溫度是由溫度計測出的.

所以可以在溫度計上找到8℃與一3C所表示的點，然后看

這兩個點之間有多少小格，數數一共有11個小格，因而8—

(-3)=11.

［師］這位同學想得辦法也很好.他利用了溫度計從零上

8"C數到零下3℃.這中間相隔11個小格.(出示溫度計及小

黑板以幫助其他學生理解)

上面8個小格加下面3個小格等于11個小格,即：8+3=11

所以8-(-3)=11,而8+3=11.大家觀察這兩個算式及結果，你發(fā)現(xiàn)什么？

［生甲］這兩個算式的結果都是11,所以：8-(-3)=8+3.

［生乙］一3與3是互為相反數.因為這兩個算式的結果相同，所以可以說：

8減去一3等于8加上一3的相反數.

［生丙］還可以說：一個數減去另一個數等于加上另一個數的相反數.老師,

對嗎？

［師］可以這么說.因為這只是從這個特例中得到的，它是否滿足所有的有

理數的減法呢？還有待大家探索.下面我們做一練習(出示投影片§2.5B)

計算下列各式

(1)50-20=_____,50+(-20)=

(2)50-10=,50+(-10)=

(3)50-0=_50+0=_

(4)50-(-10)=,50+10=

(5)50-(-20)=,50+20=

大家在計算時，可運用上面談到的兩種方法中的任一種，還需注意：有理數

加法法則的運用.

［生］(1)30,30;(2)40,40；(3)50,50;(4)60,60;(5)70,70;

［師］很好.大家計算得非常正確.現(xiàn)在大家比較每橫行的兩個算式，能得出

什么結論？(分組討論)

［生甲］一個數減去一個正數，等于加上這個正數的相反數一一負數.

［生乙］一個數減去0,等于加上0.

［生丙］一個數減去一個負數，等于加上這個負數的相反數一一正數.

［師］總結得很好.由每橫行的兩個算式的結果相同，知道這兩個算式相等.

由此得到剛才大家討論的結論.三個同學總結歸納了三個結論，對嗎？

［生］不對，這三位歸納的實際是一個結論.

［師］那這個結論，應該怎么說呢？

［生］減去一個數，等于加上這個數的相反數.

［師］對.這就是有理數減法的法則：減去一個數，等于加上這個數的相反

數.這時，減法運算就可以轉化為什么運算呢？

［生］減法可以轉化為加法.

［師］對，利用有理數減法法則，把減法都可以轉化為加法運算.在進行有

理數減法時要注意：

(1)首先應弄清減數的符號(是“+”號，還是“一”號)

(2)將有理數減法轉化為加法時，要同時改變兩個符號，一個是運算符號由

“一”變?yōu)椤?”；另一個是減數的性質符號.

(3)注意有理數與0的減法運算.

下面我們通過例題來熟悉有理數的減法法則(出示投影片§2.5C)

［例1］計算下列各題：

(1)9—(—5)；(2)(—3)—1；(3)0—8;(4)(—5)—0;

分析：這個題可直接運用有理數減法法則.在進行計算時，一定要注意性質

符號和運算符號的變化.

解：(1)9-(-5)=9+5=14

(2)(-3)-1=(-3)+(-1)=-4

(3)0-8=0+(-8)=-8

(4)(一5)—0=—5

評述：通過此題要求學生正確運用有理數減法法則.

［師］下面通過練習進一步熟悉有理數減法法則.(出示投影片§2.5C)

口算下列各題：

(1)3—5;(2)3—(—5);

(3)(—3)—5;(4)(—3)—(—5);

(5)—6—(—6);(6)-7-0;

(7)0—(—7);(8)(—6)—6;

(9)9—(—11)

答案：(1)一2(2)8(3)-8(4)2(5)0(6)-7(7)7(8)-12

(9)20

［師］下面我們通過例題進一步熟悉有理數減法的法則的應用.(出示投影片

§2.5D)

［例2］世界上最高的山峰是珠穆朗瑪峰，其海拔高度是8848米，吐魯番盆

地的海拔高度是一155米，兩處高度相差多少米？

分析：此題是有理數減法法則在現(xiàn)實中的應用，數字較大.注意運算的正確

性.

［師］本題求的是“兩處高度相差多少米”，應該用什么方法計算呢？

［生］用減法計算.

［師］珠穆朗瑪峰的海拔高度是8848米，那8848米有多少層樓高呢？一般

地，每層樓高為3米左右，我們按3米計算一下.

［生］大約有2949層樓高.

［師］噢，好高呀.那吐魯番盆地與它相差多少米？

［生j9003米

解:8848—(-155)=8848+155=9003(米)

因此，兩處高度相差9003米.

［師］下面我們回頭看一下引例(出示投影片§2.5A)

剛才我們計算的是呼和浩特這天的溫差.現(xiàn)在來計算一下：蘭州這天的溫差

是多少？西寧呢？烏魯木齊、銀川呢？

［生］蘭州的溫差是6-℃.西寧的溫差是9-℃.烏魯木齊的溫度是7-℃,銀川

的溫差是3-℃

［師］回答正確.接下來大家看一個題(出示投影片§2.5D).能否通過自己

的努力，做出來？

［例3］全班學生分為五個組進行游戲，每組的基本分為100分，答對一題

加50分，答錯一題扣50分，游戲結束時，各組的分數如下：

第一組第二組第三組第四組第五組

100150-400350-100

(1)第一名超出第二名多少分？

(2)第一名超出第五名多少分？

(教師引導學生認真閱讀題目，使學生確定出題目中的數量關系，然后作答)

解：由上表可以看出，第一名得了350分，第二名得了150分，第五名得了

-400分.

(1)350—150=200(分)

(2)350—(—400)=750(分)

因此，第一名超出第二名200分，第一名超出第五名750分.

［師］好.大家都做得很好，說明大家已基本掌握了有理數減法的法則.下面

㈢隨堂練習

課本P54習題2.61、2.

1.計算：

(1)(—3)—(—7);(2)(—10)—3;

(3)33-(-27);(4)0-12;

(5)(—11)—0;(6)(-4)—16.

答案：(1)4(2)-13(3)60(4)-12⑸-11(6)-20

2.填空

(1)-7+()=21;

(2)31+()=-85

(3)()-(-21)=37,?

(4)()-56=-40

答案：(1)28(2)-116(3)16(4)16

㈣課堂小結

本節(jié)課我們重點研究了有理數的減法法則：減去一個數，等于加上這個數的

相反數.

在進行有理數減法運算時，首先要先把減法轉化為加法.轉化時要注意符號

的變化.其次要利用有理數加法法則運算.最后得出結果.

六、作業(yè)布置：課后練習與習題

七、板書設計

1.4有理數的加減

二、有理數減法

1、例題

例1

例2

例3

2、隨堂練習

3、課時小結

4、課后作業(yè)

八、教學反思

教學設計的初衷是希望學生在愉快輕松的學習氛圍中掌握有理數減法法則

并通過老師板演及學生練習的展示進一步強調作業(yè)書寫格式的規(guī)范。從整節(jié)課的

效果來看，這連個任務基本完成了。其次，在教學過程中，能夠貫徹以學生為主

體，充分調動學生的積極性，引導學生思考、探索并以自己的語言概括出有理數

的減法法則。為初中數學學習方法的逐漸形成奠定了基礎。

然而也存在了以下的不足：

1、教學時間上把握不準，出現(xiàn)虎頭蛇尾的情況，計劃中的小結部分未能體現(xiàn)。

2、應該根據學生不同的層次設計例題和練習。所以感覺部分學生反響不強烈。

沒有很投入到練習中去。

(第三課時)

一、教學