貴州省銅仁市2022-2023學年高三上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學（理）試題（含解析）

銅仁市2022~2023學年度第一學期期末質(zhì)量監(jiān)測試卷高三數(shù)學（理科）本試卷共4頁，23題（含選考題）．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑．答案寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．5．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，且，則整數(shù)x，y分別（）A.6，3 B.6，3或 C.3，6 D.3，6或【答案】C【解析】【分析】由集合相等元素對應相同解方程組.【詳解】由集合相等的定義，有，解得，不合題意舍去，或，解得，滿足題意．故選：C．2.若復數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則（）A.5 B.12 C.13 D.17【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的模的性質(zhì)、模長公式和共軛復數(shù)的模的性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以．故選：C．3.在三維空間中，三個非零向量滿足，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.直角或銳角三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件推出，得為銳角．同理可得也為銳角．由此可得答案.【詳解】因為，所以，，所以，即知為銳角．同理可知也為銳角．故是銳角三角形．故選：A．4.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為()A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤【答案】A【解析】【詳解】由題意得，金箠的每一尺的重量依次成等差數(shù)列，從細的一端開始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中項性質(zhì)可知，第三段重3斤，第二段加第四段重斤.5.已知拋物線的焦點為，點是拋物線上不同兩點，且中點的橫坐標為，則（）A4 B.5 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式求解即可.【詳解】解：由題知，即，設，因為中點的橫坐標為，所以，所以，由拋物線焦半徑公式得故選：D．6.已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)絕對值三角不等式取等號的條件，將轉(zhuǎn)化為且，再根據(jù)不等式的性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】因為，當且僅當，即時，等號成立，，當且僅當，即時，等號成立，所以，當且僅當且時，等號成立，所以等價于且，所以，所以.故選：C7.在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論錯誤的是（）A.B.若E是棱的中點，則平面C.正方體的外接球的表面積為D.的面積是【答案】D【解析】【分析】對于A,連接，利用線面垂直的判定定理可得平面，即可判斷；對于B，利用線面平行的判定定理即可判斷；對于C，利用正方體外接球的直徑長度為體對角線長度即可判斷；對于D，為等邊三角形，利用面積公式即可【詳解】對于A，連接，由正方體可得平面，平面，所以，在正方形中，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，故A正確；對于B，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，故B正確；對于C,正方體的外接球的直徑長度為正方體體對角線的長度，所以外接球的表面積為，故正確，對于D，因為是正三角形，其邊長為，所以它的面積為，即D錯誤．故選：D．8.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】設公比為，則，由，得，根據(jù)為遞增數(shù)列，推出，再推出，，，，，，，可得結(jié)果.【詳解】設公比為，則，由，得，因為，所以為遞增數(shù)列，所以，所以，，，，，，，，所以n的最小為8.故選：D．9.如圖，在三棱錐中，平面平面，，點M在上，，過點M作三棱錐外接球的截面，則截面圓周長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特設求出外接球的半徑，再根據(jù)圓心到平面距離最大時，截面面積最小即可求解.【詳解】由題意知，和為等邊三角形，如圖所示，取中點為E，連接，則，由平面平面，平面平面，故平面，，球心O在平面的投影為的外心，過O作于H，易得，則在中，，所以外接球半徑，連接，因為，所以H，O，M三點共線，所以，當M為截面圓圓心時，截面圓的周長最小，此時，截面圓半徑，所以截面圓周長的最小值為，故選:D．10.已知p，q是方程根，則函數(shù)在上是遞增函數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出方程的解集，得出p，q的所有取值，再得到所求事件所需條件的p，q取值，即可得到所求事件的概率.【詳解】因為方程的根的集合為，所以有．記事件A為“函數(shù)在上是遞增函數(shù)”．對函數(shù)求導，得．由題意，知在上恒成立，有，且．當時，有，所以p可以取到1，2，3，4這4個值；當時，有，所以p可以取到2，3，4這3個值；當時，有，所以p可以取到3，4這2個值；當時，有，所以p的值不存在．綜合以上，事件A包含的基本事件共有種．因為，所以所有的基本事件共有種．則所求事件的概率為．故選：D．11.已知是雙曲線的左、右焦點，過的直線l與雙曲線的左支交于點A，與右支交于點B，若，且雙曲線的離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件和雙曲線的定義可得，，，，由，應用余弦定理，化簡可得【詳解】由雙曲線定義和題設條件，得，，．如圖所示，因為，所以．又由雙曲線定義，得,因為，所以．在和中，，有，應用余弦定理，得，得，化簡得，所以．故選：B．12.設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)函數(shù)函數(shù)，根據(jù)為奇函數(shù)，得為偶函數(shù).求導并利用已知得到在上單調(diào)遞增，再根據(jù)為偶函數(shù)得到在上單調(diào)遞減，利用的單調(diào)性可求出結(jié)果.【詳解】設，因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，對求導得，因為當時，，所以，則在上單調(diào)遞增，又因為為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，因為，所以當時，，當時，，所以使得成立的x的取值范圍是.故選：B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，13.一支田徑隊有男女運動員98人，其中男運動員有56人．按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為42的樣本，那么應抽取女運動員人數(shù)是____________．【答案】18【解析】【分析】求出男女運動員的比例，從而求出答案.【詳解】女運動員的人數(shù)為，故男女運動員的人數(shù)比例為，所以女生應抽取人．故答案為：1814.過點的直線l將圓分成兩段弧，當劣弧所對圓心角最小時，直線l的斜率__________．【答案】1【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為可求出結(jié)果.【詳解】劣弧所對的圓心角最小時，劣弧所對的弦長最短，此時，，因為，所以．故答案為：.15.已知函數(shù)的圖像與直線所圍區(qū)域的面積是，則函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是_____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由割補法求出所圍區(qū)域的面積得到，函數(shù)解析式化簡后利用整體代入法求單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】如圖所示，區(qū)域與，區(qū)域與組成的圖形是中心對稱圖形，面積分別對應相等，故函數(shù)的圖像與直線所圍區(qū)域的面積等于矩形的面積，由，，矩形的面積為，所以．于是．由，解得．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是令，其中一個單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：16.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當時，（符號表示不超過的最大整數(shù)），若方程有6個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】當時，不符合題意；當時，根據(jù)方程有6個不同的實數(shù)解，結(jié)合圖象可知函數(shù)與圖象有6個交點，即可求解.【詳解】由題意知，有6個不同的實數(shù)解，即為函數(shù)與圖象有6個交點.當時，顯然不成立；當時，如圖所示，只需，解得.故答案為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.設的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，的面積為S．且有關(guān)系式：．（1）求C；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及正弦定理和余弦定理得到，再根據(jù)的范圍可求出結(jié)果；（2）利用三角形的面積公式可得，再根據(jù)余弦定理以及不等式知識可證不等式成立.【小問1詳解】因為，所以，即，由正弦定理得，所以，又因為，所以．【小問2詳解】因為，由余弦定理，得，當且僅當時等號成立，所以．18.如圖，已知三棱柱中，平面平面，，，，E，F(xiàn)分別是的中點．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)題意得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得平面，，根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，再得到；（2）以E為原點，在平面中，過點E作的垂線為x軸，所在直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量可求出結(jié)果.【小問1詳解】連接，∵E是的中點，，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，因為平面，∴，又，∴，因為平面，平面，，∴平面，因為平面，∴．【小問2詳解】以E為原點，在平面中，過點E作的垂線為x軸，所在直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，，∴，易知平面的法向量為，設平面的法向量為，則,令，∴，∴，，所以.∴二面角的正弦值為.19.如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學生更是頻頻使用網(wǎng)絡外賣服務.市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡外賣在該市各大學的發(fā)展情況，在某月從該市大學生中隨機調(diào)查了人，并將這人在本月的網(wǎng)絡外賣的消費金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡外賣消費金額不超過元）：消費金額（單位：百元）頻數(shù)由頻數(shù)分布表可以認為，該市大學生網(wǎng)絡外賣消費金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值，）.現(xiàn)從該市任取名大學生，記其中網(wǎng)絡外賣消費金額恰在元至元之間的人數(shù)為，求的數(shù)學期望；市某大學后勤部為鼓勵大學生在食堂消費，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學生每人發(fā)放價值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標有第格、第格、第格、…、第格共個方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從到）.重復多次，若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關(guān)成功”，并贈送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.①設棋子移到第格的概率為，求證：當時，是等比數(shù)列；②若某大學生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】；①證明見解析；②闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率，理由見解析.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)算出，由服從正態(tài)分布，算出概率，即，進而算出的數(shù)學期望；①棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第格，其概率為，即.棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為.所以.即，進而求證當時，是等比數(shù)列；②由①知，，，，，得，所以，算出相應概率判斷出闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.【詳解】解：，因為服從正態(tài)分布，所以.所以，所以的數(shù)學期望為.①棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第格，其概率為，即.棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為，所以，即，且，所以當時，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列.②由①知，，，，，以上各式相加，得，所以.所以闖關(guān)成功的概率為，闖關(guān)失敗的概率為.，所以該大學生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.【點睛】本題考查了根據(jù)已知數(shù)據(jù)求平均數(shù)，正態(tài)分布求概率，等比數(shù)列的證明以及數(shù)學期望的求法，題目較為綜合，屬于難題.20.已知點，直線l：y=4，P為曲線C上的任意一點，且是P到l的距離的.（1）求曲線C的方程；（2）若經(jīng)過點F且斜率為的直線交曲線C于點M?N，線段MN的垂直平分線交y軸于點H，求證：為定值.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）設,根據(jù)題意列出方程整理即得；（2）直線的方程為,與曲線C方程聯(lián)立消去整理得：,檢驗判別式并利用弦長公式求得，利用韋達定理和中點坐標公式及直線垂直時的斜率關(guān)系得到中垂線的方程，進而求得的坐標，得到,從而證得結(jié)論.【小問1詳解】設,由已知得,整理得：,此即為曲線C的方程；【小問2詳解】經(jīng)過點F且斜率為的直線的方程為,與曲線C方程聯(lián)立得：,消去整理得：,恒成立,設,則,，設線段的中點為,則，，線段的中垂線的斜率為，方程為,令,解得，即為點的縱坐標，∴,∴（定值）21.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性及極值，并判斷方程的實根個數(shù)；（2）證明：．【答案】（1）單調(diào)性及極值見解析，原方程有唯一實根（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性，求解極值，結(jié)合單調(diào)性的結(jié)論判斷方程的實根個數(shù)；（2）不等式變形為，換元后即證，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求解函數(shù)最值即可得證.【小問1詳解】，函數(shù)定義域為，，當時，，在上單調(diào)遞增，無極值；當時，時，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有極小值．方程可變形為，即，當時，，有，在上單調(diào)遞增，則有，函數(shù)和的圖像只有一個交點，且交點位于第一象限，所以在上有唯一實根，故原方程有唯一實根．【小問2詳解】證明：由知，所要證的不等式等價于，等價于．（*）令，則不等式（*）等價于（**）．構(gòu)造函數(shù)，求導，得．當時，，函數(shù)是減函數(shù)；當時，，函數(shù)是增函數(shù)．所以．即（**）成立．故原不等式成立．【點睛】1.導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導數(shù)解決含