百分?jǐn)?shù)與配比問題

百分?jǐn)?shù)與配比問題百分?jǐn)?shù)是分母為100的分?jǐn)?shù)，表示某些數(shù)量關(guān)系非常方便.特別是處理一些有比例關(guān)系的問題，在衡量、比較時(shí)有很多優(yōu)點(diǎn).不僅在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等自然科學(xué)方面，而且在工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)方面都有著非常廣泛的應(yīng)用.小學(xué)高年級(jí)的同學(xué)都知道百分?jǐn)?shù)，但不一定能算得很好，用得很活.因此我們專門編寫一講，通過許多例題和習(xí)題，幫助同學(xué)們學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù).第一節(jié)講的是“賣買”，實(shí)質(zhì)上是講（1+百分?jǐn)?shù)）與（1-百分?jǐn)?shù)）的一些計(jì)算.第二節(jié)介紹各種各樣常見的百分?jǐn)?shù).第三節(jié)講的是對小學(xué)同學(xué)說來較為困難的配比問題.不論哪一節(jié)，從計(jì)算技巧來說，都是訓(xùn)練分?jǐn)?shù)、比例的計(jì)算本領(lǐng).一、商品的出售商店出售商品，總是期望獲得利潤.例如某商品買入價(jià)（成本）是50元，以70元賣出，就獲得利潤70-50=20（元）.通常，利潤也可以用百分?jǐn)?shù)來說，20十50=0.4=40%,我們也可以說獲得40％的利潤.因此利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)喊本）專成本X100%?賣價(jià)=成本X（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）?成本=賣價(jià)專（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）?商品的定價(jià)按照期望的利潤來確定.定價(jià)=成本X（1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）.定價(jià)高了，商品可能賣不掉，只能降低利潤（甚至虧本），減價(jià)出售.減價(jià)有時(shí)也按定價(jià)的百分?jǐn)?shù)來算，這就是打折扣.減價(jià)25%，就是按定價(jià)的（1-25%）=75%出售，通常就稱為75折.因此賣價(jià)=定價(jià)x折扣的百分?jǐn)?shù).例1某商品按定價(jià)的80%（八折或80折）出售，仍能獲得20%的利潤，定價(jià)時(shí)期望的利潤百分?jǐn)?shù)是多少？解：設(shè)定價(jià)是“1”，賣價(jià)是定價(jià)的80%，就是0.8.因?yàn)楂@得20%l*X*0.8=l+0.2X=1.51.5-1=0.5定價(jià)的期望利潤的百分?jǐn)?shù)是答：期望利潤的百分?jǐn)?shù)是50%.例2某商店進(jìn)了一批筆記本，按30%的利潤定價(jià).當(dāng)售出這批筆記本的80%后，為了盡早銷完，商店把這批筆記本按定價(jià)的一半出售.問銷完后商店實(shí)際獲得的利潤百分?jǐn)?shù)是多少？解：設(shè)這批筆記本的成本是“1”.因此定價(jià)是1x（1+30%）=1.3.其中80%的賣價(jià)是1.3x80%，20%的賣價(jià)是1.3十2x20%.因此全部賣價(jià)是1.3x80%+1.3十2x20%=1.17.實(shí)際獲得利潤的百分?jǐn)?shù)是1.17－1=0.17=17%.答：這批筆記本商店實(shí)際獲得利潤是17%.例3有一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)（成本）比乙店進(jìn)貨價(jià)便宜10%.甲店按20%的利潤來定價(jià)，乙店按15%的利潤來定價(jià)，甲店的定價(jià)比乙店的定價(jià)便宜11.2元.問甲店的進(jìn)貨價(jià)是多少元？解：設(shè)乙店的進(jìn)貨價(jià)是“1”，甲店的進(jìn)貨價(jià)就是0.9.乙店的定價(jià)是1x（1+15%），甲店的定價(jià)就是0.9x（1+20%）.因此乙店的進(jìn)貨價(jià)是11.2十（1.15-0.9X1.2）=160（元）.甲店的進(jìn)貨價(jià)是160x0.9=144（元）.答：甲店的進(jìn)貨價(jià)是144元.設(shè)乙店進(jìn)貨價(jià)是1，比設(shè)甲店進(jìn)貨價(jià)是1，計(jì)算要方便些.例4開明出版社出版的某種書，今年每冊書的成本比去年增加10%，但是仍保持原售價(jià)，因此每本利潤下降了40%，那么今年這種書的成本在售價(jià)中所占的百分?jǐn)?shù)是多少？解：設(shè)去年的利潤是“1”.利潤下降了40%，轉(zhuǎn)變成去年成本的10%，因此去年成本是40%十10%=4.在售價(jià)中，去年成本占4/（4+1）=80%因此今年占80%x（1+10%）=88%.答：今年書的成本在售價(jià)中占88%.因?yàn)槭抢麧櫟淖兓?，所以設(shè)去年利潤是1，便于衡量，使計(jì)算較簡捷.例5一批商品，按期望獲得50%的利潤來定價(jià).結(jié)果只銷掉70%的商品.為盡早銷掉剩下的商品，商店決定按定價(jià)打折扣銷售.這樣所獲得的全部利潤，是原來的期望利潤的82%，問：打了多少折扣？解:設(shè)商品的成本是“1〃■原來希望獲得利潤0.5.現(xiàn)在出售70%商品已獲得利潤0.5x70%=0.35.剩下的30%商品將要獲得利潤0.5x82%-0.35=0.06.因此這剩下30%商品的售價(jià)是1x30%+0.06=0.36.原來定價(jià)是1x30%x（1+50%）=0.45.因此所打的折扣百分?jǐn)?shù)是0.36^0.45=80%.答：剩下商品打8折出售.從例1至例5，解題開始都設(shè)“1”，這是基本技巧.設(shè)什么是“1”，很有講究.希望讀者從中能有所體會(huì).例6某商品按定價(jià)出售，每個(gè)可以獲得45元錢的利潤.現(xiàn)在按定價(jià)打85折出售8個(gè)，所能獲得的利潤，與按定價(jià)每個(gè)減價(jià)35元出售12個(gè)所能獲得的利潤一樣.問這一商品每個(gè)定價(jià)是多少元？解：按定價(jià)每個(gè)可以獲得利潤45元，現(xiàn)每個(gè)減價(jià)35元出售12個(gè)，共可獲得利潤（45-35）x12=120（元）.出售8個(gè)也能獲得同樣利潤，每個(gè)要獲得利潤120十8=15（元）.不打折扣每個(gè)可以獲得利潤45元，打85折每個(gè)可以獲得利潤15元，因此每個(gè)商品的定價(jià)是（45-15）專（1-85%）=200（元）?答：每個(gè)商品的定價(jià)是200元.例7張先生向商店訂購某一商品，共訂購60件，每件定價(jià)100元.張先生對商店經(jīng)理說：“如果你肯減價(jià)，每件商品每減價(jià)1元，我就多訂購3件.”商店經(jīng)理算了一下，如果減價(jià)4%，由于張先生多訂購，仍可獲得原來一樣多的總利潤.問這種商品的成本是多少？解：減價(jià)4%,按照定價(jià)來說，每件商品售價(jià)下降了100x4%=4（元）.因此張先生要多訂購4x3=12（件）.由于60件每件減價(jià)4元，就少獲得利潤4x60=240（元）.這要由多訂購的12件所獲得的利潤來彌補(bǔ)，因此多訂購的12件，每件要獲得利潤240十12=20（元）.這種商品每件成本是100-4-20=76（元）.答：這種商品每件成本76元.二、各種各樣的問題百分?jǐn)?shù)有著十分廣泛的應(yīng)用.這一節(jié)我們列舉出有關(guān)百分?jǐn)?shù)的各種各樣的問題.例8小明訓(xùn)練3000米賽跑，如果速度提高5%，那么時(shí)間縮短百分之幾？（百分?jǐn)?shù)保留一位小數(shù).）解：設(shè)原來的速度是“1”.時(shí)間縮短的百分?jǐn)?shù)是也就是假設(shè)原來的路程時(shí)間看作1的話后面就好解了 1-1/（1+0?05）假設(shè)原來的速度為20m/s提高后為21m/s時(shí)間則由原來的150變?yōu)?42.857,估算后就得到4.8%了。答：時(shí)間縮短了4.8％.從后一算式可以看出，無論是多少米賽跑，速度提高5%,時(shí)間就縮短了4.8%.換一句話說，考慮這一問題，與距離無關(guān).例9采了10千克蘑菇，它們的含水量為99%，稍經(jīng)晾曬后，含水量下降到98%.晾曬后的蘑菇重多少千克？解：晾曬前后蘑菇里的干物質(zhì)（除了水分以外的其他成分）的重量是不變的.干物質(zhì)的重量是10x（1-99%）=0.1（千克）.晾曬后，干物質(zhì)將占總重量的（1-98%）.此時(shí)蘑菇重0.1F（1-98%）=5（千克）.答：晾曬后蘑菇重5千克.這一例題的答案是否使你感到意外？下一例題可以說是例9的補(bǔ)充.例10有鹽水若干升，加入一定量水后，鹽水濃度降到3%，又加入同樣多的水后，鹽水濃度又降到2%，再加入同樣多的水，此時(shí)鹽水濃度是多少呢？又問未加水時(shí)鹽水濃度是多少？解：關(guān)鍵是先算出每次加多少水.濃度為3%，也就是鹽3份，水97份，共100份.濃度下降為2%，原來3份，就成為2%，加水后總共是3十2%=150（份）.因此加入的水是150-100=50（份）.第三次加水后，濃度是未加入水時(shí)的濃度是答：三次加水后濃度是1.5%，未加水時(shí)濃度是6%.例11把一個(gè)正方形的一邊減少20％，另一邊增加2米，得到一個(gè)長方形.它與原來的正方形面積相等.問正方形的面積是多少？解：設(shè)正方形的邊長是“1”因.為長方形與原來的正方形面積相等，一邊減少了20％，另一邊將增加所以正方形的邊長是2十25%=8（米）.正方形的面積是8x8=64（平方米）.答：正方形面積是64平方米.例12有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占25%■問這堆糖中奶糖有多少塊？解：奶糖占25%，其他糖果就是奶糖的（100-25%）十25%=3（倍）.原來其他糖果只有1-45%=55%.放入16塊水果糖后是45%x3=135%.因此奶糖的塊數(shù)是16十（135%-55%）x45%=9（塊）.答：這堆糖中，奶糖有9塊.例13有兩包糖果,第一包的粒數(shù)與第二包粒數(shù)之比是2:5.在第一包中奶糖占30%，在第二包中其他糖占42%，如果把兩包糖合在一起，奶糖所占的百分?jǐn)?shù)是多少？解：設(shè)第一包為2份，第二包為5份.第一包中奶糖是2x30%=0.6（份）.第二包中奶糖是5x（1-42%）=2.9（份）.合起來后，奶糖占（0.6+2.9）十（2+5）=50%.答：合在一起，奶糖占50%.這是一個(gè)典型問題，與第五講第二節(jié)中求平均數(shù)，做法是一致的.例14早上水缸注滿了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升.問早上注入多少升水？解：白天和傍晚用去水后剩下1-20%=80%少27（升）晚上用去水是80%X10%=8%少27X10%=2?7（升）?白天、傍晚、晚上總共用去水20%+8%再加（27-2?7）升，它應(yīng)該是50%少1升?因此50%-（20%+8%）是（27-2?7）+1升?早上水缸的水是（27-2?7+1）專（50%-20%-8%）=115（升）?答：早上注入水缸中的水是115升?三、濃度和配比一碗糖水中有多少糖，這就要用百分比濃度來衡量.放多少水和放多少糖能配成某一濃度的糖水，這就是配比問題.在考慮濃度和配比時(shí)，百分?jǐn)?shù)的計(jì)算扮演了重要的角色，并產(chǎn)生形形色色的計(jì)算問題，這是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的一個(gè)重要內(nèi)容.從一些基本問題開始討論.例15基本問題一（1） 濃度為10%，重量為80克的糖水中，加入多少克水就能得到濃度為8%的糖水？（2） 濃度為20%的糖水40克，要把它變成濃度為40%的糖水，需加多少克糖？解：（1）濃度10%，含糖80x10%=8（克），有水80-8=72（克）.如果要變成濃度為8%,含糖8克，糖和水的總重量是8十8%=100（克），其中有水100-8=92（克）.還要加入水92-72=20（克）.（2）濃度為20%，含糖40x20%=8（克），有水40-8=32（克）.如果要變成濃度為40%,32克水中，要加糖x克，就有x:32=40%：（1-40%）,例16基本問題二20%的食鹽水與5%的食鹽水