第28練-空間向量解決立體幾何問(wèn)題的兩大策略-“選基底”與“建系”

第28練空間向量解決立體幾何問(wèn)題的兩大策略——“選基底”與“建系”[題型分析·高考展望]向量作為一個(gè)工具，其用途是非常廣泛的，可以解決現(xiàn)高中階段立體幾何中的大部分問(wèn)題，不管是證明位置關(guān)系還是求解問(wèn)題.而向量中最主要的兩個(gè)手段就是選基底與建立空間直角坐標(biāo)系.在高考中，用向量解決立體幾何解答題，幾乎成了必然的選擇.體驗(yàn)高考1.(2016·北京)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝eq\r(5).(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求eq\f(AM,AP)的值；若不存在，說(shuō)明理由.2.(2016·天津)如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB＝BE＝2.(1)求證：EG∥平面ADF；(2)求二面角O—EF—C的正弦值；(3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH＝eq\f(2,3)HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.3.(2016·課標(biāo)全國(guó)乙)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E與二面角C－BE－F都是60°.(1)證明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值.高考必會(huì)題型題型一選好基底解決立體幾何問(wèn)題例1如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的長(zhǎng)；(3)求異面直線AN與CM夾角的余弦值.變式訓(xùn)練1如圖，在四棱錐P－GBCD中，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD＝eq\f(3,4)BC，且BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點(diǎn)，PG＝4.(1)求異面直線GE與PC所成角的余弦值；(2)若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn)，且eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PF,\s\up6(→))＝keq\o(CF,\s\up6(→))，求k的值.題型二建立空間直角坐標(biāo)系解決立體幾何問(wèn)題例2(2016·山東)在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.(1)已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3)，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值.變式訓(xùn)練2在邊長(zhǎng)是2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點(diǎn)，應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題.(1)求EF的長(zhǎng)；(2)證明：EF∥平面AA1D1D；(3)證明：EF⊥平面A1CD.高考題型精練1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若eq\o(BD1,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，則x＋y＋z的值為()A.3B.1C.－1D.－32.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A.－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D.－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c3.在四棱錐P－ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－2，3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－4，1，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－6，2，－8)，則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)等于()A.1B.2C.13D.264.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(\r(2),2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱錐A－BEF的體積為定值D.異面直線AE，BF所成的角為定值5.若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a與b為共線向量，則()A.x＝1，y＝1 B.x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C.x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2) D.x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2)6.已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別是OA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使MG＝2GN，則用向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))是()A.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))7.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ＝________.8.如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E為PB的中點(diǎn)，cos〈eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),3)，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_______.9.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是________.10.已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn).(1)求證：DE⊥C1F；(2)求異面直線A1C與C1F所成角的余弦值.11.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點(diǎn).(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E的余弦值為eq\f(\r(6),3)，求直線