華中師范大學(xué)微分幾何精彩試卷試題問題詳解0609

華中師范大學(xué)2004-2005學(xué)年第二學(xué)期

期末考試試卷（A卷）答案課程名稱微分兒何課程編號42121100任課教師周振榮題型填空計算證明應(yīng)用總分分值題型填空計算證明應(yīng)用總分分值10701010100得分得分評閱人1.曲線的伏雷內(nèi)公式為一、填空題：（共5題，每題2分，共10分）a=kp<B+打a=kp<B+打?=-tP?2.設(shè)曲而的參數(shù)表示為曲面的高斯方程為曲而的科達(dá)齊方程為r=r(u,v),則|ii/aI用第-基本量表示為E0F2-R=LL~LLa mkysj3ccL.4k*ji…八)5.第二類克氏符號只宣匕氣^+書-廣）—：―2 u u u——得分評閱人得分評閱人二、計算題：（共3題，70分）1.圓柱螺線的參數(shù)表示為r=（costsht,t）°計算它在（1,0,0）點的切線、密切平面、法平而方程以及在任意點處的曲率和撓率。 (35分)解：Mo)={1,0,0},Ao)={0,1,1},+'(0)={」,0,0},所以切線：?-1_Y-q=z一o.即Jx_ro0 1 1|Y-Z=0法平面：(x—1)。+a—o)i：+(z—。)?i=o，即Y五eX-1Y密切平而:0 1密切平而:一10r^(t)=r^(t)=fcost,sint,t},={_shtcostl}r"(t)={一cost-snt,0},rF，U)=feht一cost。}°|r1=^/2：r^x1"={sht-cost】}」1iwk=^2.計算拋物面z=x2+y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、臍點。(35分)解：■I 時 4r={x,y,x2+y2},r：={l,0,2x},方='D,l,2y},4壇={0,0,2},Iky=饑0,0}, {0,0,2}_卜2x,-2x,l}』8x2+1所以有E=：2=1+4x2,F=ixiy=4xy,G壬2=f4y24 2 ■彳 2L=^kxn=「 =,M=^xyn=0 ,lyyr^, =Vl^x2+4y2 Vt4x^4y2I=Q+4x2)dx2+8xydxdy+G+4y2)dy2

□= 2dx2+ 2dy2J十4x?+4y2J十4x?+4y2LN： 4K= = * EG-F~ 0.+4x~+4y2)2LG2MF+NE2^x2+4產(chǎn)H==2(EG~F2)Q^x2+4y：)3/2在臍點有H=ZJ，由此得x=y=0,即唯一的臍點是原點。得分評閱人三、證明題：（共1題，10分）交于一定角，則主曲率之比為常數(shù)。證明：取漸進(jìn)網(wǎng)為曲紋坐標(biāo)網(wǎng)，則V曲線與U曲線的夾角為常數(shù)0,且V曲線方向的法曲率為零。根據(jù)歐拉公式有kicos2e+k2Sil20=0ki sh20,?k2 cos20得分評閱人 四、應(yīng)用題：（共1題，10分）極小曲面上不存在簡單閉測地線。若曲面的兩族漸近線用高斯-波涅定理證明解：?ki+k2=0若曲面的兩族漸近線用高斯-波涅定理證明?.?K=kik2旬由于在測地線上kg=0由高斯-波涅公式有JJKda=2冗<0oc矛盾

華中師范大學(xué)2005-2006學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A卷）課程名稱微分兒何課程編號42121100任課教師周振榮題型敘述填空計算證明總分題型敘述填空計算證明總分分值10303030100得分得分評閱人一、敘述題：（共4題，每題5分，共10分）1.高斯定理：高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量，或K=-R1212/g2.高斯-波涅公式：-Wd°+[]Kgds+V仍"WF氣是Q的第i個內(nèi)角的G if角度，一是外角的角度.得分評閱人得分評閱人二、填空題：（共5空，每空6分，共30分）設(shè)有曲線x"e^ost;y tz=普，當(dāng)t=0時的切線方程為x一1=y=z設(shè)曲面的參數(shù)表示為r=r41,v）,則iv用第-基本星表示為EG~F2.5.曲線x=tsnt,y=tcost=z也上在原點的切向量為。奴）t主法向量為 cD1—。也乂4）、副法向量為丫4直,￡一史）。 3 6 6- 3 3 3-

得分評閱人三、計算題:（共2題，每題15分，共30分）6.圓柱螺線的參數(shù)表示為r=（acostasint,bt）。計算它的曲率和撓率。解r得分評閱人三、計算題:（共2題，每題15分，共30分）6.圓柱螺線的參數(shù)表示為r=（acostasint,bt）。計算它的曲率和撓率。解r=(ysint,acost,b),r=(—acost-asnt。)，=(asht;-acost,0),[r|'任+b?'=(absintfbcosta2),|i<r|=Va2b2+a4所以有a bK=E7，T|7.計算正螺面r=Gicosv,usinv,av）的高斯曲率、平均曲率。解4=(cosv,shv,0),i\r=(-ushv,ucosv,a),(0,0,0),iuv=(-sinv,cosv,0),rw=(trcosv,shv,0),? ?aX— ?4人n?一cosv snvsinvucosv0=(ashv,~acosv,u),x“X”rurvcosv,u),x/a2+u2E玉瓦=1，F(xiàn)堯rv=0,G=rvrv=a EGT2 2 V<a EGT2 2 V<a2+u2)7)2L==ruun￡,Mmn?=——/ ,N=5?n=0,<2+u2LNM2a2EG~F2 (a2+u2):.L020L—_)昭2+u2)0EN2FM+GL1 Ja2+u2 八H=- =0

得分評閱人8.求證（1）如果測地線是漸近線，則它必定是直線。（2）如果測地線是曲率線，則它必定是平面曲線。證明（1）由K：=< ,如果曲線是測地線（Kg=0）且是漸近線（Kn=0），則K=0,所以曲線是直線。（2）由伏雷內(nèi)公式有pl=—Ka 由于曲線是測地線，有6=±n°綜合這兩個等式有封=-Ka+TYo因為曲線是曲率線，所以a是wehganen變換W的特征向量，即Wa=^a,其中尢是主曲率。再由Wehgaiten變換的定義Wa*（niul+n?J）=-nud-nv4=、，所以土尢a=-Ka坪x=0oI證明球面= 上曲線的測地曲率為9? r（acouscvoas,ucosvasiuk==dg_shu四，其中a是曲線與球面上經(jīng)線（u-曲線）的夾角。TOC\o"1-5"\h\zds ds證明因為經(jīng)線是U-曲線，所以8是曲線與U-曲線的夾角。直接計算得 E氣2,F=0,G=a2cos2u。因為ru rv?■dxL=_co期+-22j =dsrv__c。■dxL=_co期+-22j =dsrv7T 岳dv另一?方面，由鏈?zhǔn)椒▌t有 好=九&+功,一O比較這兩式得dsdsdsausii0=JudY_,cosQ= ——。ds ds代入劉維爾公式得

代入劉維爾公式得華中師范大學(xué)2006-2007學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A卷）答案課程名稱微分兒何課程編號42121100任課教師郭駝英、周振題型筒述填空計算證明總分分值15題型筒述填空計算證明總分分分得分評閱人一、簡述題:什么叫內(nèi)蘊(yùn)量？請舉兩個內(nèi)蘊(yùn)量的例（共3題，每題5分，共15分）答由第?基本形式?jīng)Q定的呈叫內(nèi)蘊(yùn)量:。如高斯曲率、曲而區(qū)域的而積。2.請敘述曲而的基本定理.答給定兩個二次型I=￡gijduMuj和□=￡LijduMuj,其中I>0。如果驢與用滿足高斯、科達(dá)齊方程，則存在曲而S：r=r（u,v）,使得第一基本形式是I,第二基本形式是H：如果忽略空間的位置差別，這樣的曲面是唯?的。3.第二基本形式口=Frdn嗎？為什么？答HdrUno蔻是因為drn=0，兩邊微分得d2rn為rdn（F.再由第二基本形式的定義即得。得分評閱人得分評閱人二、填空題：（共4空，每空5分，共20分）4.設(shè)有曲線4.設(shè)有曲線x—excosty~exsntzW則當(dāng)t=0時的切線方程為x「l飛=z\5.設(shè)曲面S5.設(shè)曲面S:r=rv）的第-?基本形式為I3u2+snh2udv2，則其上的曲線u=v從決_e主v=vi到v=V2的孤長為IsiihvishhV2I.（這里shht= ） 26.設(shè)曲面S:r=r（u,v）在某點處的第一基本星為E=G=1,F￡,第二基本量為斗4bL=a,M=0,N=b,則曲而在該點沿方向（d）=（1：2）的法曲率為她= °57.設(shè)曲面S:r=r&,v）在某點處的第二基本量為 L夫M=0,N=-1,則曲而在該點的漸近方向為（d）=（1:±）o得分評閱人三、計算題:得分評閱人三、計算題:（共3題，每題15分，共45分）8?求曲線r(t)=<acostha,stina的htilll率和撓率,其中coshtshht= 2，x丫 ，/，分解由-?般參數(shù)的曲率公式 K(t)=L^—和撓率公式e= 」以及Irl I*1r*(t)=feshht,acosht;a)r*(t)=0cosht;ashh《0)r(t)=feshhtacosht;0)有Ir'Xr，r|=>/2a2cosh2t.K(t)=——2acosht1T= (t)2acosh2t9.計算拋物面z=x2+y2的高斯曲率和平均曲率.

解設(shè)拋物面的參數(shù)表示為 r(x,y)=(x,y,y2)＞則=d,0,2x)，x7=(0,1,2y)，TOC\o"1-5"\h\zr= =r= ="(0,0,2),I\yK(0,0,0),ryy(0,0,2),i j krxx功=i 0 2x = (r2x, -2y,l),0 1 2yn= ?x 兮=M x ~2v,l),|i\xryIJ4/+4y2+]E =l+4x2，F(xiàn)玨與=4xy,G=ry?ry=1y2,2L?n=— 一?M為yn=0,V4x2+4y2+1TOC\o"1-5"\h\z=r. 2N77nJ4x?俱y2+1，4 LN412 4x2+4y2+1 0 4K= i= - 2 -= 2 - -，EG一F(1十lx)(1*4y)一(4xy) (4x+4y+1)GL-2FM+EN 4x2+4y2+2H [一E一= J?EGF(4x2+4y^l)2求位于正螺面rGicosv=usnv,av)上的圓柱螺線xuoccxsv,y uo我iv,z卻的測地曲率。解因為F=0,所以是正交網(wǎng)。圓柱螺線是V-曲線，由劉維爾定理有kgv=L&Gf2^Eau直接計算得E=1,G=u2+a2,所以kg、?得分評閱人uoa四、證明題：（共得分評閱人uoa四、證明題：（共2題，每題10分，共20分）求證直紋面的高斯曲率K<0,等號成立的充要條件是直紋而可展。證明直紋面的參數(shù)表示為r=a&）+b&）。由此得ru=aU+vb'&）,iv=b&）,iuu=a'+vb",iuv=b,rVv=0,a%+vb‘Xbn=r=~,Veg-?2L_（b：b：b）v、/「（a‘：b\b《（b；a',b）］v%,"a上）,癥G-F2M也：a\b）,N0□-Jeg苫LNM2 （b；a/b）2八所以K = = <0，EG于2 （EG千2）2等式成立的充要條件是<b:a：b）=0,即曲面是可展曲面。設(shè)有曲而r=r&,v）,其單位法向量是n,高斯曲率是K。證明n”M=^ru%。證明因服，nv是切向量，所以nuxnv/7ruxrv。設(shè)nuxnv=^iuxrvo兩邊與廿4作內(nèi)積得<nuxnv）'（nixrv）=以nixrv）（mxrv）。由拉格朗日公式得>v=Ko華中師范大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A卷）答案課程名稱微分兒何課程編號85820002任課教師周振榮題型簡述填空計算題型簡述填空計算證明總分分分評閱人一、簡述題:得分評閱人一、簡述題:（共3題，每題5分，共15分）得分1.什么叫內(nèi)蘊(yùn)雖？清舉兩個內(nèi)蘊(yùn)雖的例Jj答由第?基本形式?jīng)Q定的呈叫內(nèi)蘊(yùn)呈。如高斯曲率、曲而區(qū)域的而積。2.請敘述曲線的基本定理.答給定兩個函數(shù)k（s）,（s）,其注k0,則碎曲線C:rr（s）,=使得其曲率是k,撓率是T：如果忽略空間的位置差別，這樣的曲線是唯?的。3.敘述第二基本形式的定義。答II=Ldu2+2Mdudv+Ndv2,其中L=iuu.n,M=iuvn,N=*xi。得分評閱人得分評閱人二、填空題：（共4空，每空5分，共20分）4.設(shè)有曲線x=e'costy=ersntzb,則當(dāng)t=0時的切線方程為—x y=z—1。5.設(shè)曲面S:r=r“v）的第一?基本形式為 I=du?+shh2udv?，則其上的曲線u=v從_e&v=vi到v=V2的弧長為|shhvis?hV2|。（這里siiht= ） 26?設(shè)曲面S:r=r（u,v）在某點處的第一基本量為E=G=1,F=0,第二基本雖為L=a,M=0,N=b,則曲面在該點沿方向（d）=Q：2）的法曲率為知=_也比。 5_7.設(shè)曲面S:r=r（u,v）在某點處的第一類基本星為 E=1,G=1,且曲面在該點的切向量lu,&相互平行，則 F在該點等于JL=得分評閱人 三、計算題：（共3題，每題15分，共45分）8.圓柱螺線的參數(shù)表示為r=（acost,asnt;bt）。計算它的曲率和撓率。8.r'=(—asht,acost,b),r"=(—acost—ashtO),r'"=Gsiit-acost,0),|r'幸Ja?+b?,r￥'=(absintfbcosta2),Ir^f=W+a4所以有9.計算拋物面z去2+y2的高斯曲率和平均曲率.解設(shè)拋物面的參數(shù)表示為 r(x,y)=(x,y,x2+y2)，則=(1,0,2x),ry=(0,1,2y),TOC\o"1-5"\h\zr= =^ = ="(0,0,2),I\y"(0,0,0),ryy(0,0,2),i J k=1 0 2x =(~2x,"2y,l),P 1 2yn=40=冒x「2y,l),Mx玲. J.x?+4y?+]E=rxtx=正lx?,f=fx=4xy,G脊ry=1勻y2,2L=3?xx?n=J=,M=ix7*n=€,41x2+4y2+1=r. 2N77n y/lx2+4y2+1,4K_LN2二4x?+4y2+i" =EG-F2 a+4x2)(l*ly2)-(4xy)2(Ax2+4y2+l)2H=L _ =4x2+4y2^23,2EGF2 (4x2+4y2+I)2

10.求位于正螺面rGicos左usnv,av）上的圓柱螺線xuocgv,yuosdnv,z卻的測地曲率。解因為F=0,所以是正交網(wǎng)。圓柱螺線是v-曲線，由劉維爾定理有kg,= 1ghGo2VEau直接計算得E=1,G下2所以kg、?=—uoa得分評閱人四、證明題:得分評閱人四、證明題:（共2題，每題10分，共20分）11.求證直紋面的高斯曲率K<0,等號成立的充要條件是直紋而可展。證明直紋面的參數(shù)占示為r=a^i）tbo由此得ru=a'&)+vb'&),rv=b&),iuu—a+vb,iuv=b,rw=0,+vb：