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安徽省示范高中金榜教育2024屆高三下學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研(一模)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若,,則的值為()A. B. C. D.3.已知傾斜角為的直線與直線垂直,則()A. B. C. D.4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解,其中,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.7.在中,D為的中點(diǎn),E為上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),且,相交于點(diǎn)P,則()A. B.C. D.8.已知實(shí)數(shù),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.9.已知雙曲線(,)的左、右頂點(diǎn)分別為,,虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,,若四邊形的內(nèi)切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.10.給出個(gè)數(shù),,,,,,其規(guī)律是:第個(gè)數(shù)是,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,以此類推,要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和.現(xiàn)已給出了該問題算法的程序框圖如圖,請(qǐng)?jiān)趫D中判斷框中的①處和執(zhí)行框中的②處填上合適的語句,使之能完成該題算法功能()A.; B.;C.; D.;11.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.12.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)P為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則______________.14.已知,若,則________.15.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列,則________.16.若實(shí)數(shù),滿足不等式組,則的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)若不等式在時(shí)恒成立,則的取值范圍是__________.18.(12分)新高考,取消文理科,實(shí)行“”,成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況,隨機(jī)調(diào)查50人(把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年),并把調(diào)查結(jié)果制成下表:年齡(歲)頻數(shù)515101055了解4126521(1)分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率;(2)請(qǐng)根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年中老年總計(jì)附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.19.(12分)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且順次連接四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長為且面積為的菱形.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè),過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.20.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)以及兩個(gè)頂點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且,求直線l的傾斜角.21.(12分)如圖,已知四棱錐,平面,底面為矩形,,為的中點(diǎn),.(1)求線段的長.(2)若為線段上一點(diǎn),且,求二面角的余弦值.22.(10分)在中,,.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:(1)證明:平面平面(2)求平面與平面所成二面角的大小.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】
計(jì)算,得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意,故,表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.2、A【解題分析】
取,得到,取,則,計(jì)算得到答案.【題目詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,取和是解題的關(guān)鍵.3、D【解題分析】
傾斜角為的直線與直線垂直,利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【題目詳解】解:因?yàn)橹本€與直線垂直,所以,.又為直線傾斜角,解得.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】
由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).得結(jié)論.【題目詳解】,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.5、B【解題分析】
畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像知:,,,計(jì)算得到答案.【題目詳解】,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:根據(jù)圖像知:,,故,且.故.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.6、B【解題分析】
列出每一次循環(huán),直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【題目詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.7、B【解題分析】
設(shè),則,,由B,P,D三點(diǎn)共線,C,P,E三點(diǎn)共線,可知,,解得即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè),則,,因?yàn)锽,P,D三點(diǎn)共線,C,P,E三點(diǎn)共線,所以,,所以,.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】
根據(jù),利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【題目詳解】解:∵,∴,,.∴.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】
根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系,由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑,結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【題目詳解】根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系如下圖所示:設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內(nèi)切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故焦距的最小值為.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用,圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用,屬于中檔題.10、A【解題分析】
要計(jì)算這個(gè)數(shù)的和,這就需要循環(huán)50次,這樣可以確定判斷語句①,根據(jù)累加最的變化規(guī)律可以確定語句②.【題目詳解】因?yàn)橛?jì)算這個(gè)數(shù)的和,循環(huán)變量的初值為1,所以步長應(yīng)該為1,故判斷語句①應(yīng)為,第個(gè)數(shù)是,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,第個(gè)數(shù)比第個(gè)數(shù)大,這樣可以確定語句②為,故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu),正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵.11、D【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】
選B.考點(diǎn):圓心坐標(biāo)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得,,即故答案為14、1【解題分析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結(jié)論.【題目詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點(diǎn),通過給二項(xiàng)式的賦值,求展開式的系數(shù)和,可以簡便的求出答案,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
根據(jù)圖像歸納,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【題目詳解】根據(jù)圖像:,,故,故.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16、5【解題分析】
根據(jù)題意,畫出圖像,數(shù)形結(jié)合,將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求動(dòng)直線縱截距的最值,即可求解【題目詳解】畫出不等式組,表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示,令,則.分析知,當(dāng),時(shí),取得最小值,且.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃問題,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】
原不等式等價(jià)于在恒成立,令,,求出在上的最小值后可得的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)樵跁r(shí)恒成立,故在恒成立.令,由可得.令,,則為上的增函數(shù),故.故.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查含參數(shù)的不等式的恒成立,對(duì)于此類問題,優(yōu)先考慮參變分離,把恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最值問題,本題屬于基礎(chǔ)題.18、(1);(2)見解析,有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián);(3)分布列見解析,.【解題分析】
(1)分別求出中青年、中老年對(duì)高考了解的頻數(shù),即可求出概率;(2)根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表,求出的觀測值,對(duì)照表格,即可得出結(jié)論;(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值為0,1,2,分別求出概率,列出隨機(jī)變量分布列,根據(jù)期望公式即可求解.【題目詳解】(1)由題中數(shù)據(jù)可知,中青年對(duì)新高考了解的概率,中老年對(duì)新高考了解的概率.(2)列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年22830老年81220總計(jì)302050,所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡(中青年、中老年)有關(guān)聯(lián).(3)年齡在的被調(diào)查者共5人,其中了解新高考的有2人,則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0,1,2,則;;.所以的分布列為012.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)及隨機(jī)變量分布列和期望,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)【解題分析】
(1)由已知條件列出關(guān)于和的方程,并計(jì)算出和的值,jike得到橢圓的方程.(2)設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出,分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,求解出的最小值.【題目詳解】(1)由己知得:,解得,所以,橢圓的方程(2)設(shè),.當(dāng)直線垂直于軸時(shí),,且此時(shí),,當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值為【題目點(diǎn)撥】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,并運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的表達(dá)式進(jìn)行求解,需要掌握解題方法,并且有一定的計(jì)算量.20、(1);(2)或【解題分析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可求出,然后進(jìn)行檢驗(yàn);當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn),先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理,利用弦長公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【題目詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點(diǎn),所以橢圓焦距等于短軸長,可得,又點(diǎn)在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當(dāng)直線不存在斜率時(shí),解得,不符合題意;當(dāng)直線存在斜率時(shí),設(shè)其方程為,因?yàn)橹本€與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【題目點(diǎn)撥】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決,往往會(huì)更簡單.21、(1)的長為4(2)【解題分析】
(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)向量垂直關(guān)系計(jì)算得到答案.(2)計(jì)算平面的法向量為,為平面的一個(gè)法向量,再計(jì)算向量夾角得到答案.【題目詳解】(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,所以.,因?yàn)?,所以,即,解得,所以的長為4.(2)因?yàn)?,所以,又,?設(shè)為平面的法向量,則即取,解得,所以為平面的一個(gè)法向量.顯然,為平面的一個(gè)法向量,則,據(jù)圖可知,二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了立體幾何中的線段長度,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.22、(1)證明見解析(2)45°【解題分析】
(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導(dǎo)出,從而平面,則,即,進(jìn)而平面,推導(dǎo)四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.(2)以B為原點(diǎn),在平面中過B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的
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