第四章 數(shù)列章末題型歸納總結(jié)（解析版）

第四章數(shù)列章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：等差(比)數(shù)列的基本運算經(jīng)典題型二：等差、等比數(shù)列的判定經(jīng)典題型三：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用經(jīng)典題型四：數(shù)列通項公式經(jīng)典題型五：數(shù)列求和經(jīng)典題型六：數(shù)列的實際應(yīng)用經(jīng)典題型七：數(shù)列中的范圍與最值問題經(jīng)典題型八：數(shù)學(xué)歸納法模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：等差(比)數(shù)列的基本運算例1．（2023·湖北·高三湖北省仙桃中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，，故選：C．例2．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）等差數(shù)列中，，則的前2023項和為（

）A．1011 B．2022 C．4046 D．8092【答案】C【解析】數(shù)列是等差數(shù)列，故，故.故選：C例3．（2023·甘肅甘南·高二?？计谥校┮阎獮榈炔顢?shù)列的前項和，若，則（

）A．64 B．32 C．28 D．22【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得.故選：C例4．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列滿足：，.若將，，都加上同一個數(shù)，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個數(shù)為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【解析】因為，，所以，則，所以，，設(shè)，，都加上同一個數(shù)，得到的三個新數(shù)依次為、、，則，解得.故選：A例5．（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列，前n項和分別為，，若，則等于（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【解析】因為，為等差數(shù)列，則，即.故選：D.例6．（2023·安徽阜陽·高二阜陽市第三中學(xué)校考期中）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.若數(shù)列的連續(xù)四項構(gòu)成集合，則公比為（

）A．16 B．4 C． D．【答案】C【解析】由題意等比數(shù)列的連續(xù)四項構(gòu)成集合，則可知等比數(shù)列的項一定為正負(fù)相間，公比為負(fù)，由于，故后一項絕對值大于前一項的絕對值，故集合中的這四個數(shù)在數(shù)列中排列為，則.故選:C例7．（2023·甘肅酒泉·高二?？计谥校┑缺葦?shù)列中，，則（）A． B． C．2 D．12【答案】A【解析】.故選：A例8．（2023·甘肅甘南·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，則（

）A．3 B．3 C．3或3 D．或【答案】B【解析】令等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得，所以.故選：B.例9．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．11【答案】A【解析】設(shè)，則，所以.故選：A例10．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．3 B．5 C．30 D．45【答案】D【解析】若公比，則，，右邊，等式不成立，故，則，顯然，所以，解得，又因為，代入得，所以，故選：D.經(jīng)典題型二：等差、等比數(shù)列的判定例11．（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列各項均為正數(shù)，且，.(1)證明：為等差數(shù)列，并求出通項公式；(2)設(shè)，求.【解析】（1）因為，所以，，因為數(shù)列各項均為正數(shù)，即，所以，，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項為.所以.（2）由（1）知，其公差為，所以，所以，.例12．（2023·江蘇連云港·高二贛榆一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【解析】（1）由，，又，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，.例13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，，，．證明：為等差數(shù)列；【解析】當(dāng)時，，則，即，，·因為，·所以有①，所以②，則①②得，即，·所以為等差數(shù)列．例14．（2023·江西撫州·高二金溪一中校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足(1)記，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若把滿足的項稱為數(shù)列中的重復(fù)項，求數(shù)列的前100項中所有重復(fù)項的和.【解析】（1）證明：由，得，又.故，得4，故，所以數(shù)列是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列.（2）設(shè)，得，又.故，得，故，所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，由題意，數(shù)列的前100項中的重復(fù)項為數(shù)列的前50項與數(shù)列的前50項中的公共項，設(shè)數(shù)列與數(shù)列的公共項所成數(shù)列為，則數(shù)列是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以，又，當(dāng)時，，所以數(shù)列的前50項與數(shù)列的前50項中有24個公共項，數(shù)列的前24項和為1248，所以數(shù)列的前100項中所有重復(fù)項的和為.例15．（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，______，．從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題．（注：如果兩個條件分別作答，按第一個解答計分）．(1)寫出，；(2)證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(3)求數(shù)列的前2n項和．【解析】（1）數(shù)列滿足，，，，，，選擇①，，；選擇②，，.（2）選擇①，證明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比數(shù)列，首項，公比，∴.選擇②證明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比數(shù)列，首項，公比，∴.（3）選擇①，由（2）可得，∴∴，∴令∴選擇②，由（2）可得，由累加法可得，，∴，∴，∴，令，∴.例16．（2023·天津·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項和為，且（）.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）證明：當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，，

相減得：，則，

由，得，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，所以

所

所以相減

∴.例17．（2023·黑龍江哈爾濱·高二尚志市尚志中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求證數(shù)列的前項和．【解析】（1）因為所以，當(dāng)時，，，兩式相減可得，即，又所以，所以可得，，又因為，所以是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.（2）因為題（1）中是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.所以繼而可得，所以，，所以，所以，又可得，所以，所以例18．（2023·江西贛州·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）令中，得，，所以，，因為，所以．所以，又時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）得，，所以．所以．例19．（2023·天津北辰·高二校考期末）已知數(shù)列的前項和為，且.在數(shù)列中，，.(1)求的通項公式；(2)證明：是等比數(shù)列.【解析】（1）因為數(shù)列的前項和為，且.當(dāng)時，，當(dāng)時，，也滿足，故對任意的，.（2）當(dāng)時，，可得，所以，，且，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，因此，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.經(jīng)典題型三：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例20．（2023·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，則．【答案】5【解析】因為，且，所以，解得.故答案為：例21．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列中，，則的值為.【答案】8【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，可得；所以可得.故答案為：8例22．（2023·上海靜安·高二上海市新中高級中學(xué)?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，，，，則．【答案】10【解析】因為為等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)的：，即：，解得：.故答案為：10例23．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校考期中）設(shè)各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，若，則．【答案】【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，即，可得，且，解得，又由.故答案為：.例24．（2023·上海浦東新·高二上海市洋涇中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列，若，則．【答案】【解析】已知等差數(shù)列，所以則，所以故.故答案為：.例25．（2023·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則=.【答案】【解析】因為數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列且=，所以，故答案為：例26．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則．【答案】【解析】兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，故設(shè)，則，,所以，故答案為：例27．（2023·新疆喀什·高二校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則.【答案】【解析】因為等比數(shù)列中，，所以，解得，故答案為：例28．（2023·北京東城·高二北京市第五中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，若，則的值為．【答案】【解析】因為，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由，，得，所以，所以，所以.綜上，的值為.故答案為：1例29．（2023·山東青島·高二校聯(lián)考期中）正項等比數(shù)列中，，是方程的兩個根，則.【答案】【解析】，是方程的兩個根，由韋達(dá)定理可得，正項等比數(shù)列中，有，所以.故答案為：例30．（2023·上海·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，若，，則．【答案】8【解析】在等比數(shù)列中，，，也成等比數(shù)列，因為，，所以，故答案為：例31．（2023·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，則．【答案】【解析】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，若，則，所以；由，得，即，所以，解得，則．法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，，…成等比數(shù)列，其公比為，設(shè)，顯然，則，，所以，所以．故答案為：例32．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，即等比數(shù)列的前項和要滿足，又因為，所以.故答案為：經(jīng)典題型四：數(shù)列通項公式例33．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是數(shù)列的前項和，，，則.【答案】【解析】對任意的，，則，當(dāng)時，則有，可得；當(dāng)時，，即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為，所以，，則，故當(dāng)時，，也滿足，故對任意的，.故答案為：.例34．（2023·浙江紹興·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【解析】由數(shù)列的前n項和為，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：.例35．（2023·河南周口·高二統(tǒng)考期中）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】當(dāng)時，，又,則數(shù)列從第二項開始，是一個首項為12，公比為3的等比數(shù)列，，所以．又符合，所以．故答案為：.例36．（2023·海南·高二校考期中）已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【解析】當(dāng)時，，所以，即①當(dāng)時，，故不符合①式，所以當(dāng)時，，則數(shù)列的通項公式為.故答案為：.例37．（2023·四川綿陽·高二綿陽中學(xué)校考階段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，則.【答案】10【解析】由得：時，，所以，由于，所以，故，，所以，故答案為：10例38．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且，又?jǐn)?shù)列滿足，且，分別求數(shù)列及的通項公式．【解析】由可得時，，故，即，因此是以2為公比的等比數(shù)列，當(dāng)時，，所以，由可得，所以，，……,,累加可得，故例39．（2023·甘肅天水·統(tǒng)考一模）在數(shù)列中，，且，求數(shù)列的通項公式．【解析】由題設(shè)，所以且，顯然滿足上式，所以例40．（2023·江蘇南通·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)求．【解析】（1）由，得，則當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，上式成立，所以；（2）由（1）知①，②，①②得，，．例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知：，（）求數(shù)列的通項.【解析】在數(shù)列中，，當(dāng)時，，顯然，則，，也滿足上式，所以數(shù)列的通項是.例42．（2023·甘肅·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，，設(shè).(1)求；(2)求的通項公式.【解析】（1）由得，，所以數(shù)列，即數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，，.（2）由（1）可得，所以.例43．（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)，.數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式.【解析】∵，∴，∵.∴，即.∴.∵，∴.例44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項.【解析】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項為，公差為2，，∴.例45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知：，時，，求的通項公式．【解析】設(shè)，所以，∴，解得：，又，∴是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，∴．例46．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【解析】為等差數(shù)列，首項，公差為，.例47．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項公式.【解析】因為，所以.由可得，所以.又，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.例48．（2023·江西南昌·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，且.(1)求，并證明是等比數(shù)列；(2)求的通項公式.【解析】（1）由，，得，，，∴，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）知.例49．（2023·江西南昌·高一南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足.(1)若，求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項公式．【解析】（1）由于，所以，即，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以.例50．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；【解析】由，得：，∴，即數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，得．例51．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）數(shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）當(dāng)時，，，解得：，當(dāng)時，由可知，，兩式作差可得：，即，又，所以,所以.所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，兩邊同除以，得，又，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，∴，整理得，故數(shù)列的通項公式為.例52．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：(1)，，，，……(2)，，，，……【解析】（1）數(shù)列的前幾項可改寫為，，，，……，則（答案不唯一）.（2）數(shù)列的前幾項可改寫為，，，，……，則（答案不唯一）.經(jīng)典題型五：數(shù)列求和例53．（2023·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則．【答案】【解析】，，因為①，所以②，兩式相加得，所以.故答案為：例54．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)關(guān)于點對稱，其中為實數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)若數(shù)列的通項滿足，其前項和為，求.【解析】（1）由題知，即，整理得，解得；（2）由題知，，且，則，又，故，即.例55．（2023·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列和，其中的前項和為，且，.(1)分別求出數(shù)列和的通項公式；(2)記，求證：.【解析】（1）當(dāng)時，，所以，時，①，②，①②得，即，，所以是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以；（2），即③，④，④③，得，因為，，所以.例56．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項和是，且.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）證明：當(dāng)時，，得：；當(dāng)時，得：，將兩式相減得：，得：，所以得：當(dāng)時，是等比數(shù)列，通項公式為：，當(dāng)，也符合，故可證：數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）得：，則得：，則：①②①②得：，化簡得：.所以：數(shù)列的前項和：.例57．（2023·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期中）各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和記為，已知，且對一切都成立．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成等差數(shù)列，將插入的個數(shù)之和記為，其中．求數(shù)列的前項和．【解析】（1）由，得，所以，所以，當(dāng)時，，所以，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由已知在和之間插入個數(shù)，這個數(shù)組成等差數(shù)列，所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，，所以，所以.例58．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）設(shè)為數(shù)列的前項和，(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列的最小項為第項，求；(3)設(shè)數(shù)的前項和為，證明：【解析】（1）由題意知，當(dāng)時，當(dāng)時，符合上式，所以；（2）由（1）知，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.所以數(shù)列的最小項為第一項，故；（3）由（1）知時，記，設(shè)為數(shù)列的前項和，則時，時，，因為所以綜上，例59．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中校考階段練習(xí)）記等差數(shù)列的前項和為，已知，且．(1)求和；(2)設(shè)，求數(shù)列前項和．【解析】（1）設(shè)的公差為，因為，所以，又，所以，解得，所以，．（2），所以．例60．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為，又因為成等比數(shù)列，即，即，解得，所以；（2），所以.例61．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足.(1)求及數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，且滿足，證明：.【解析】（1）因為①所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，②，由①②得，即，又滿足上式，所以.（2）證明：因為，所以.例62．（2023·甘肅甘南·高二校考期中）在數(shù)列中，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，若的前項和為，證明：.【解析】（1）由，兩邊同除以，可得，即，因為，可得，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，可得，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）由，可得，所以數(shù)列的前項和為，因為，可得，即.例63．（2023·甘肅甘南·高二?？计谥校┮阎f增的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足.(1)求和的通項公式；(2)若，求的前項和.【解析】（1）由已知，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意，解得或（舍去），所以，；（2）由（1）．例64．（2023·北京·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，設(shè)，且是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求的通項公式和前項和.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，即，設(shè)等差數(shù)列公差為，因為，，所以，即.（2）因為，所以,由（1）可得，設(shè)前項和為，.例65．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，，所以，即．（2）因為，所以，所以．例66．（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【解析】（1）因為在數(shù)列中，，，所以，，所以，等式兩邊同加上得，因為，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，．（2）因為，即所以，為單調(diào)遞減數(shù)列，因為，，所以，時，，時，，記的前項和為，則，所以，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，①，②所以，①②得：，即，綜上，例67．（2023·高二校考課時練習(xí)）在數(shù)列中，，則…的值是.【答案】1005【解析】由得，所以，所以,相加可得,故答案為：1005經(jīng)典題型六：數(shù)列的實際應(yīng)用例68．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）小蕾2018年1月31日存入銀行若干萬元，年利率為1.75%，到2019年1月31日取款時，銀行按國家規(guī)定給付利息469元，則小蕾存入銀行的本金介于（

）元之間，并說明理由．A．1萬~2萬 B．2萬~3萬 C．3萬~4萬 D．4萬~5萬【答案】B【解析】設(shè)小蕾存入銀行的本金元，依題意，，解得（元），所以小蕾存入銀行的本金介于2萬~3萬元之間.故選：B例69．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）某超市去年的銷售額為a萬元，計劃在今后10年內(nèi)每年比上一年增加10%．從今年起10年內(nèi)這家超市的總銷售額為（

）萬元．A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)今后10年每年的銷售額為，因為超市去年的銷售額為a萬元，計劃在今后10年內(nèi)每年比上一年增加.所以今年的銷售額為，今后第年與第年的關(guān)系為，所以今后10年每年的銷售額構(gòu)成等比數(shù)列，公比為，首項為.所以今年起10年內(nèi)這家超市的總銷售額為故從今年起10年內(nèi)這家超市的總銷售額為萬元.故選：D例70．（2023·河南·高二校聯(lián)考期末）如圖，有一臺搟面機共有10對軋輥，所有軋輥的半徑r都是mm，面帶從一端輸入，經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出，每對軋輥都將面帶的厚度壓縮為輸入該對軋輥時的倍（整個過程中面帶寬度不變，且不考慮損耗）.若第k對軋輥有缺陷，每滾動一周在面帶上壓出一個疵點，則在搟面機最終輸出的面帶上，相鄰疵點的間距（

）A．mm B．mmC．mm D．mm【答案】B【解析】軋輥的周長為，由題意可知，第9對軋輥出口處疵點間距為軋輥周長，因為在此處出口的兩疵點間面帶的體積與最終出口處兩疵點間面帶的體積相等，又因為寬度不變，有，所以，而，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以，即.故選：B例71．（2023·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款元購買一臺筆記本電腦，然后上學(xué)的時通過勤工儉學(xué)來分期還款．小明與銀行約定：每個月還一次款，分10次還清所有的欠款，且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為．則小明每個月所要還款的錢數(shù)為（

）元．A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)小明每個月所要還款的錢數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得，第一個月末所欠銀行貸款為：，第二個月末所欠銀行貸款為：,，……，第10個月末所欠銀行貸款為：由于分10次還清所有的欠款，故，解得，故選：D．例72．（2023·貴州安順·高二統(tǒng)考期末）“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸?！?，隨著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進(jìn)步，人們的環(huán)境保護(hù)意識日益增強，貴州某家化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，貴州省環(huán)保部門為了保護(hù)好貴州優(yōu)越的生態(tài)環(huán)境，要求廢氣中該污染物的含量不能超過，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】設(shè)該污染物排放前需要過濾的次數(shù)為，則由題意得，即，所以，，，所以，因為，，所以，所以，因為，所以的最小值為8，故選：B例73．（2023·湖南長沙·高二長沙一中校考階段練習(xí)）我國新型冠狀病毒感染疫情的高峰過后，關(guān)于藥物浪費的問題引發(fā)了廣泛的社會關(guān)注．過期藥品處置不當(dāng)，將會給環(huán)境造成危害．現(xiàn)某藥廠打算投入一條新的藥品生產(chǎn)線，已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計年產(chǎn)量為（單位：萬件），但如果年產(chǎn)量超過60萬件，將可能出現(xiàn)產(chǎn)量過剩，產(chǎn)生藥物浪費．因此從避免藥物浪費和環(huán)境保護(hù)的角度出發(fā)，這條生產(chǎn)線的最大生產(chǎn)期限應(yīng)擬定為（

）A．7年 B．8年 C．9年 D．10年【答案】B【解析】第一年年產(chǎn)量為，以后各年年產(chǎn)量為，，當(dāng)時也符合上式，∴．令，得．設(shè)，對稱軸為，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，又因為，，則最大生產(chǎn)期限應(yīng)擬定為8年，，故選：B．經(jīng)典題型七：數(shù)列中的范圍與最值問題例74．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且對任意的都有，那么實數(shù)的值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，，要使數(shù)列是遞增數(shù)列，必有解得.故選：C.例75．（2023·安徽阜陽·高一安徽省太和中學(xué)階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列中首項為，公差為d，且從第5項開始是正數(shù)，則公差d的范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，解不等式組可得．故選C．例76．（2023·北京·高二清華附中校考期中）已知數(shù)列的前項和，下列判斷中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列前項的乘積有最大值 D．?dāng)?shù)列前項的乘積有最小值【答案】C【解析】數(shù)列的前項和，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)，代入上式，即，符合上式，所以，故A錯誤；由可知，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，故B錯誤；因為，，，，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以數(shù)列前項的乘積有最大值，最大值為，故C正確，D錯誤.故選：C.例77．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，，的前n項和為，則使得取得最大值的n的值為（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，，兩式相減可得，則．∵，∴，故，當(dāng)取得最大值時有，即解得，又，∴．故選：C例78．（2023·安徽安慶·高二安慶市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則（

）A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最大值6 D．有最小值6【答案】A【解析】因為等比數(shù)列各項都是正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以有最小值12，無最大值.故選：A.例79．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．沒有最大值【答案】B【解析】在等比數(shù)列中，由，，得，即有，，若，則，，此時，與已知條件矛盾，因此，B正確，C錯誤；顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，由，得，則，A錯誤；由于，當(dāng)，，而，則，當(dāng)時，，則，因此當(dāng)時，逐漸增大，當(dāng)時，逐漸減小，所以的最大值為，D錯誤.故選：B例80．（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）設(shè)數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，是其前項和，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最大值為或【答案】D【解析】AB選項，因為，所以，因為數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，所以，故，解得，又，所以，，AB錯誤；C選項，，故C錯誤；D選項，由于，，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最大值為或，D正確.故選：D例81．（2023·江西·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的前項和，則取最大值時的值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】對于函數(shù)對稱軸為，開口向下，所以當(dāng)時函數(shù)取得最大值，所以當(dāng)時取得最大值.故選：B例82．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，若的最大值僅為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，令，即數(shù)列是等差數(shù)列，前項和最大值僅為，則，解得，故選：C．例83．（2023·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和，有最大值，當(dāng)時，的最大值為（

）A．20 B．17 C．19 D．21【答案】C【解析】因為，所以和異號，又等差數(shù)列的前項和有最大值，所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，所以，，所以，，所以當(dāng)時，的最大值為19．故選：C．例84．（2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則當(dāng)取得最小值時，的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，由，得，則.又，由于，所以，所以當(dāng)時，取得最小值.故選：B.例85．（2023·高二校考課時練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（

）A． B．20 C． D．19【答案】B【解析】設(shè)公差為，由，所以，解得，所以，所以，令，則，對于函數(shù)，對稱軸為，開口向上，，，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以當(dāng)時，則的最小值為.故選：B.例86．（2023·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為數(shù)列的前n項積，若，且，當(dāng)取得最小值時，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】由題易知，因為，所以，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由，得，解得，所以，所以，要使取得最小值，則為奇數(shù)，且取最小值，結(jié)合二次函數(shù)知識知時，滿足為奇數(shù)，且取最小值，所以當(dāng)取得最小值時，，故選：B.經(jīng)典題型八：數(shù)學(xué)歸納法例87．（2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明（，）的過程中，當(dāng)時，左端應(yīng)在時的左端上加上【答案】【解析】由題意，當(dāng)時，所得等式左端為；當(dāng)時，所得等式左端為；所以當(dāng)時，左端應(yīng)在時的左端上加上.故答案為：.例88．（2023·上海寶山·高二?？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明時，從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是【答案】【解析】把和代入等式左邊分別可得：①②兩式作差得.故答案為：例89．（2023·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，從到時，不等式左邊需增加的代數(shù)式為.【答案】【解析】當(dāng)時，不等式為，當(dāng)時，不等式為.故答案為：.例90．（2023·高二課時練習(xí)）已知，則．【答案】【解析】由，可得則，即.故答案為：.例91．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【解析】當(dāng)，則成立，若且時，成立，令，則，所以時不等式也成立，綜上，恒成立.例92．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）證明：凸n邊形的內(nèi)角和等于．【解析】設(shè)，當(dāng)時，三角形的內(nèi)角和為，即，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即，假設(shè)凸邊形，如下圖所示：則凸邊形邊形可以在以為邊的與凸邊形拼接而成，所以，，這說明當(dāng)時，結(jié)論成立，故凸邊形的內(nèi)角和.例93．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除（）【解析】當(dāng)時，，故能被整除，假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即能被整除，則當(dāng)時，，由于和均能被整除，故能被整除，綜上：能被整除（）.例94．（2023·陜西西安·高二?？计谥校┰跀?shù)列中，，．(1)寫出，，，，猜想這個數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．【解析】（1）在數(shù)列中，，.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，，，，猜測.（2）①當(dāng)時，，，所以，所以時，等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，則，所以時，等式成立.綜合①和②可知，對于任意的，均成立.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例95．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】因為①，當(dāng)時，，當(dāng)時②，①②得，所以，當(dāng)時也成立，所以，故選：例96．已知數(shù)列的前n項和為，且，則使得成立的n的最大值為（

）A．32 B．33 C．44 D．45【答案】C

【解析】當(dāng)

n

為偶數(shù)時，

，令

，且n為偶數(shù)，故

，故n的最大值為44；當(dāng)

n

為奇數(shù)時，

，令

，且

n

為奇數(shù)，解得

，故n的最大值為43；綜上所述：n的最大值為故選：例97．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，則“有最大值”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B

【解析】若，當(dāng)時，則等差數(shù)列從第二項開始都是負(fù)數(shù)，顯然取到最大值，

當(dāng)，則等差數(shù)列的項必然先正后負(fù)，不妨設(shè)，，則取到最大值，故可以推出有最大值；若有最大值，

當(dāng)時，，若，則取到最大值，充分性不成立．于是“有最大值”是“”的必要不充分條件．故選：B例98．已知為等比數(shù)列，公比，則（

）A．81 B．27 C．32 D．16【答案】A

【解析】根據(jù)

可得

，所以

或

，若

，則

不符合要求，若

，則

符合要求，故

，故選：A例99．在數(shù)列中，，，且，則（

）A．0 B．1300 C．2600 D．2650【答案】D

【解析】

在數(shù)列中，，當(dāng)n為奇數(shù)時，，即，即數(shù)列中的奇數(shù)項為常數(shù)列，且各項均為2；當(dāng)n為偶數(shù)時，，即數(shù)列中的偶數(shù)項為等差數(shù)列，且，公差為因此…故本題選例100．已知數(shù)列的前n項和，則該數(shù)列的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】根據(jù)題意，數(shù)列的前n項和，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，故選：②轉(zhuǎn)化與化歸思想例101．已知等差數(shù)列的公差為2，前n項和為，且，，成等比數(shù)列令，則數(shù)列的前50項和（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】由題意，可知，，，，，成等比數(shù)列，，即，解得，，，………故選：例102．已知數(shù)列的前n項和為，若對任意的N，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】由，得，因為對任意的，不等式恒成立，所以，解得或故選例103．?dāng)?shù)列的通項公式，若前n項的和為10，則項數(shù)為

A．11 B．99 C．120 D．121【答案】C

【解析】數(shù)列的通項公式是，記數(shù)列的前n項和為，其前n項的和為

，令

，

則，即，故選例104．已知數(shù)列滿足，，若存在實數(shù)t，使