生活中的正態(tài)分布

生活中的正態(tài)分布目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要 1\o"CurrentDocument"一、正態(tài)分布的起源和發(fā)展 1\o"CurrentDocument"二、 正態(tài)分布的概念 1（一） 正態(tài)分布定義 1\o"CurrentDocument"（二） 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特點(diǎn) 2\o"CurrentDocument"三、 正太分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用 2\o"CurrentDocument"（一）正態(tài)分布在考試成績的應(yīng)用 2\o"CurrentDocument"（二） 正態(tài)分布在人才招聘的應(yīng)用 3\o"CurrentDocument"（三） 正態(tài)分布在路線上的應(yīng)用 4\o"CurrentDocument"（四） 正太分布在工業(yè)生產(chǎn)的應(yīng)用 4\o"CurrentDocument"（五） 正太分布在測量的應(yīng)用 6\o"CurrentDocument"結(jié)論 7\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn) 8摘要正態(tài)分布是應(yīng)用最為廣泛的一種應(yīng)用型分布。它的出現(xiàn)，在我們?nèi)粘Ｉ钪衅鸬较喈?dāng)大的作用，幫助相關(guān)工作人員更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。本文以正態(tài)分布在生活中的實(shí)際運(yùn)用為例，分別在實(shí)際的考試成績、測量、路線規(guī)劃以及面試工作中，所起到的作用，并加以分析。關(guān)鍵詞:正態(tài)分布；數(shù)據(jù)分析；實(shí)際運(yùn)用一、正態(tài)分布的起源和發(fā)展拉罕棣莫弗在1733年，正式提出了正態(tài)分布這項(xiàng)發(fā)財，棣莫弗運(yùn)用正態(tài)分布計算拋硬幣出現(xiàn)正反面的相關(guān)概率，因此，又被稱之為鐘形曲線，但是這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)直到1809年才被數(shù)學(xué)屆證實(shí)。當(dāng)年，莫弗在推導(dǎo)二項(xiàng)分布漸近公式中，逐步推算出正態(tài)分布定律其后，P.S.拉普斯和高在測量誤差的過程中，逐步分析出它所存在的特性。正態(tài)分布源于現(xiàn)實(shí)生活，因此其定義早在1733年第一次被世人提出所運(yùn)用。但是，由于正態(tài)分布運(yùn)用在基礎(chǔ)學(xué)科第一人所美國科學(xué)家Abuss，所以正態(tài)分布也稱之為高斯分布。二、正態(tài)分布的概念正態(tài)分布定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度/(x)_（x-口）2e_202 ,一8<x<+8,其中，卩(-8＜卩＜+8),O(o＞0)為常數(shù)，則稱X服從以PQ為參數(shù)的正態(tài)分布,記作X?N(PQ2)。當(dāng)卩=0，o=1時，得到一種特別地分布X~N(O,1),此時，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正1 x2態(tài)分布，它的概率密度通常記為申(兀)=-=e_2。72兀

二）正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特點(diǎn)（1） 正態(tài)分布所對稱形式的，關(guān)于直線x=R對稱，其中，中間點(diǎn)位置最高，兩邊呈對稱下降趨勢；（2） 正態(tài)曲線的面積固定為1。正態(tài)分布的主要變量有三個，分別為隨機(jī)變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小以及單位。正態(tài)分布包含了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差固定,標(biāo)準(zhǔn)差為1，平均數(shù)為0。三、正太分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用（一）正態(tài)分布在考試成績的應(yīng)用案例1：沙溪中學(xué)在錄取考生中，語文成績X=70分，b=8分；數(shù)學(xué)成績Y=80分,1b=10分，其中小明語文考了75分，數(shù)學(xué)88分；小紅語文考了72分，數(shù)學(xué)得了90分。2請問哪個學(xué)生的名次靠前？分析思路：在解決這道學(xué)校常見的問題時，首先要將這兩名學(xué)生的兩科成績進(jìn)行歸納。由于該問題中，各科成績的加權(quán)比重不同，所以在解決這道問題的時候，不能想當(dāng)然的把兩門成績相加進(jìn)行簡單比較。因此，要想正確解決這道問題，需要把原始成績轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)成績，然后進(jìn)行對比。解答過程如下：把小明的初始成績轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)成績:所以,Z=1175所以,Z=1175-70=0.625,Z12+Z120.625+0.8二1.425把小紅的初始成績轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)成績:Z= =Z= =0.25,Z21890-80 ,==1由于 ZB=Z21+Z22二1.25兩者相對比，得出小明的1.45大于小紅的1.25，因此，小明分?jǐn)?shù)更高（二）正態(tài)分布在人才招聘的應(yīng)用案例2:廈門銀鷺集團(tuán)準(zhǔn)備通過招聘考試錄用30名技術(shù)崗位的員工，其中正式工25人，臨時工5人。經(jīng)過了解，本次報名人數(shù)達(dá)250人，考試滿分是500分。經(jīng)過招聘考試的信息匯總，參加考試者的成績X近似地服從正態(tài)分布，其參數(shù)為卩=150，b=92。已知某考生得分268分，請問他能否被企業(yè)錄取，又是否能成為銀鷺集團(tuán)的正式員工？解題思路：先預(yù)測最低錄取分?jǐn)?shù)線，然后根據(jù)最低錄取分?jǐn)?shù)線預(yù)測該考生的名次,就能夠準(zhǔn)確的定位出該員工能否順利錄用。解題過程：設(shè)最低錄取分?jǐn)?shù)線為X°,則被錄取考生的分?jǐn)?shù)X應(yīng)該滿足X>X°，即30P(X>X)-300 250換言之，30P(X<X)-1-30-0.880 250所以，①(X0-150)-0.829492通過查表得知，X0-150沁0.95，X-237.4分920因此，該員工的成績?yōu)?68分，大于237.4分，該員工能夠順利被錄用。該考生成績X=268分，那么 P(X<268)"廿)=0.8944因此，在這次考試情況中，有0.8944*250^224人的成績是低于該員工的，那么他所在排名大致為第26名，很不幸排在第25名之后，無法成為銀鷺公司的正式員工，因此，來年還需要繼續(xù)努力才行。正態(tài)分布在路線上的應(yīng)用隨著當(dāng)今社會的不斷發(fā)展，越來越多的交通工具進(jìn)入我們的視野，供我們選擇。可是，我們時常會遇到這么一個問題，就是不知道去往路程不是特別遠(yuǎn)的地點(diǎn)該乘坐什么交通工具出行。那么在同等條件下，我們將采用正太分布的來幫助市民解決這個出行問題。案例3:假設(shè)小剛明天要去北京旅游，但是他必須要去機(jī)場乘機(jī)，而小剛從家里去機(jī)場的過程中可以選擇乘坐公交車和地鐵兩種方式。如果小剛乘坐公交車去機(jī)場，那么所需花費(fèi)的時間(單位：min)X~N(50,82)如果選擇地鐵出行，那么所需花費(fèi)的時O間為Y~N(55?)。如果小剛有65分鐘的出行時間，那么選用哪種方式出行較好？解題思路：很明顯此題的解題思路就在于計算出這兩種出行方式所需要耗費(fèi)的時間，然后進(jìn)行對比，所用時間短者優(yōu)先。解題過程：65_50P(X<65)=0( )=①(1.875)=0.9641865—55P(Y<65)=0( )=①(1.667)=0.94526想對比后，我們發(fā)現(xiàn)，選擇乘坐公交車的方式能夠節(jié)約更多的時間，因此，小剛應(yīng)該選擇乘坐公交車去往機(jī)場更為合適。正太分布在工業(yè)生產(chǎn)的應(yīng)用在我們?nèi)粘Ｉ钪?，常常會發(fā)現(xiàn)即使是同一產(chǎn)家生產(chǎn)的尺子，也會有長短之分。這是因?yàn)樵诠I(yè)化的生產(chǎn)過程中，也是會存在一定的產(chǎn)品誤差。在通過收集大量數(shù)據(jù)樣本之后，我們發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品誤差的分布往往都近似可看作為正態(tài)分布。所以，正態(tài)分布也被稱為誤差分布。案例4：南昌機(jī)械廠現(xiàn)在要生產(chǎn)一批鋼圈，其內(nèi)部直徑我們記作X(單位：mm)，如果X?N(卩,1),其中卩是未定的平均內(nèi)部直徑，依據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定該種鋼圈內(nèi)徑的極值分別為15mm和10mm,也就是說，如果車間生產(chǎn)的鋼圈內(nèi)徑大于15mm抑或是小于10mm，那么該產(chǎn)品都將是不合格的。此外，工廠的任何制造都需要支付一定的成本，如果該產(chǎn)品的質(zhì)量不合格，那么每生產(chǎn)一件小于10mm的鋼圈，工廠就要虧損4元，每生產(chǎn)一件大于15mm的鋼圈，就會虧損6元。如若合格一件產(chǎn)品，那么就能有20元的收益。那么南昌機(jī)械廠應(yīng)該制定多少范圍的內(nèi)徑，才能使工廠的利益最大化？解題過程：我們將銷售利潤函數(shù)設(shè)為M(單位：元)則根據(jù)情況，其中M是X的函數(shù)，平均利潤就是為期望利潤。因?yàn)閮?nèi)徑X?N(r,1)，那么有X-X-r?N(0,1)M20-1-5PiP(10<X<15)P(X<10)P(X>15)那么平均利潤E(M)=20P(10<X<15)-4P(X<10)-6P(X>15)=20P(10-R<X-r<15-r)一4P(X-r<10-r)一6P(X-r>15-r)=20[①(15-R)-①(10-R)]-40(10-R)-6[1-①(15-R)]=160①-112①r-6如果要令E(M)最大，就對E(M)求導(dǎo)，！EM)二0，即1600-112①r-(這里①(x),申(x)dR為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和概率密度函數(shù))。其中，①(x)=Jx申(t)dt=Jx 一e一2dt—g 一g2兀x2申(x)= e2一由此得到，(11R)2 (13R)222 T11L 26 T13 Le2 = e2丫2一 一解得， 一11-2in||?心呦)所以，當(dāng)工廠把產(chǎn)品的平均內(nèi)徑卩控制在11.9mm時，工廠獲得的利潤最大。正太分布在測量的應(yīng)用陽臺拉門最為人民日常生活中常見的居家裝飾之一，其設(shè)計的合理與否直接關(guān)系到廣大住戶的居家滿意程度。為了保障陽臺拉門不會被客戶主人的生活造成如撞頭等影響，我們最后通過正太分布來研究陽臺拉門高度的問題。案例5一般規(guī)定門高碰撞概率按1.11以下來保證不被撞到的可能?，F(xiàn)在，假設(shè)男子身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(177，38)，那么拉門需要如何計算才能最大限度保證一名正常的成年男子不被撞到？解題過程：假設(shè)拉門高度H(單位：cm)，按照設(shè)計要求，P(X>H)<0.01所以， P(X<H)>0.99男子身高X~N(175，36),X—175所以 ~N(0,1),6H—175則有， P(X<H)二①(-^—)>0.996通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知，①(2.33)二0.9901>0.99因而，取日—175二|.33，解得H=188.98?1896所以，將陽臺拉門的高度設(shè)計為189厘米的高度最適合。結(jié)論在我們的日常生活中，有不少社會現(xiàn)象都存在正太分布，正態(tài)分布作為分析概率的科學(xué)方法，在社會生活中作用廣大。因此，正態(tài)分布常常被專家和學(xué)者作為一種科學(xué)工具來解決實(shí)際問題。然而，從宏觀上分析，正態(tài)分布在指導(dǎo)使用者如何更好的進(jìn)行科學(xué)預(yù)判的時候，其自身也存在一定的不足之處，這就要求使用這種方法的人員要結(jié)合實(shí)際來進(jìn)行分析，是否需要運(yùn)用正態(tài)分布這種方法，要尊重科學(xué)，不能盲目迷信經(jīng)驗(yàn)。只要充分利用正態(tài)分布帶來的好處，人類文明才能借此創(chuàng)造出更大的價值。因此，正態(tài)分布是價值觀和方法觀的結(jié)合，承載著人類智慧的結(jié)晶，對社會的發(fā)展有著重要的促進(jìn)作用。本文通過運(yùn)用幾個生活中的實(shí)例，對正態(tài)分布進(jìn)行分析，從而得出結(jié)論，這在計算機(jī)技術(shù)日漸普及的今天，正太分布的運(yùn)用將會逐漸變廣。參考文獻(xiàn)[美]S.威洛比著，劉秀芳，唐守正，陳木法譯?概率和統(tǒng)計[M].文化教育出版社.2008年11月第1版，160—167頁。上海市中學(xué)教師進(jìn)修教材編寫組.概率與數(shù)理統(tǒng)計[M].天津人民出版社.2005年