小升初比和比例應(yīng)用

學(xué)生：科目：數(shù)學(xué)年級六年級教師：閆閃閃時間：2023年月日第一講比和比例一、比和比例一、比和比例1、比和比例的聯(lián)系與區(qū)別：比與比例的區(qū)別1、意義不同比的意義兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。比例的意義表示兩個比相等的式子叫做比例。2、名稱不同比的名稱兩點(diǎn)讀作比，比號前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比例的名稱組成比例的四個數(shù)叫做比例的項(xiàng)，兩端的兩項(xiàng)叫做比例的的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。3、性質(zhì)不同比的性質(zhì)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時乘或者除以相同的數(shù)〔0除外〕，比值不變。比例的性質(zhì)在比例里，兩個外項(xiàng)的積等于兩個內(nèi)項(xiàng)的積。4、應(yīng)用不同應(yīng)用比的意義求比值。應(yīng)用比的性質(zhì)化簡比。應(yīng)用比例的意義判斷兩個不能否組成比例。應(yīng)用比例的性質(zhì)不但可以判斷兩個比能否組成比例，還可以解比例。2、比同分?jǐn)?shù)、除法的聯(lián)系與區(qū)別：比分?jǐn)?shù)除法聯(lián)系前項(xiàng)分子被除數(shù)比號分?jǐn)?shù)線除號后項(xiàng)分母除數(shù)比值分?jǐn)?shù)值商比的根本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)除法的商不變性質(zhì)區(qū)別比表示兩個數(shù)之間的關(guān)系。分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)。除法表示一種運(yùn)算。3、求比值與化簡比的區(qū)別：一般方法結(jié)果求比值根據(jù)比值的意義，用前項(xiàng)除以后項(xiàng)。是一個數(shù)?？梢允钦麛?shù)、小數(shù)或分?jǐn)?shù)?；啽雀鶕?jù)比的根本性質(zhì)，把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘或除以相同的數(shù)〔零除外〕。是一個比。它的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)。4、化簡比：〔1〕整數(shù)比的化簡方法是：用比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時除以它們的最大公約數(shù)?！?〕小數(shù)比的化簡方法是：先把小數(shù)比化成整數(shù)比，再按整數(shù)比化簡方法化簡?！?〕分?jǐn)?shù)比的化簡方法是：用比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時乘以分母的最小公倍數(shù)。5、比例尺：我們把圖上距離和實(shí)際距離的比叫做這幅圖的比例尺。6、比例尺=圖上距離︰實(shí)際距離比例尺=二、正比例、反比例二、正比例、反比例正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，〔即一個量增大另一個量也增大；一個量減小另一個量也減小〕。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值〔也就是商〕一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系就叫做正比例關(guān)系。用字母表示y/x=k(一定〕反比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，〔即一個量增大另一個量減??；一個量減小另一個量增大〕。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系就叫做反比例關(guān)系。用字母表示x×y=k(一定)3、正比例與反比例的區(qū)別：正比例反比例相同點(diǎn)都有兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。不同點(diǎn)商一定=k〔一定〕積一定x×y=k〔一定〕4、比和比例

比的意義和性質(zhì)

〔1〕比的意義

EQ\o\ac(○,1)兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。

EQ\o\ac(○,2)“：〞是比號，讀作“比〞。比號前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。

EQ\o\ac(○,3)同除法比擬，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。

EQ\o\ac(○,4)比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時也可能是整數(shù)。

EQ\o\ac(○,5)比的后項(xiàng)不能是零。

EQ\o\ac(○,6)根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。

〔2〕比的性質(zhì)

比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時乘上或者除以相同的數(shù)〔0除外〕，比值的大小不變，這叫做比的根本性質(zhì)。

〔3〕求比值和化簡比

EQ\o\ac(○,1)求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。

EQ\o\ac(○,2)根據(jù)比的根本性質(zhì)可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個最簡比，即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。

〔4〕比例尺

EQ\o\ac(○,1)〕圖上距離：實(shí)際距離=比例尺

EQ\o\ac(○,2)要求會求比例尺；圖上距離和比例尺求實(shí)際距離；實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。

EQ\o\ac(○,3)線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應(yīng)的實(shí)際距離。

〔5〕按比例分配

EQ\o\ac(○,1)在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。

EQ\o\ac(○,2)方法：首先求出各局部占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。三、比例的意義和性質(zhì)三、比例的意義和性質(zhì)

內(nèi)項(xiàng)〔1〕比例的意義a：b=c：d=EQ\o\ac(○,1)表示兩個比相等的式子叫做比例。外項(xiàng)EQ\o\ac(○,2)組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。a×d=c×b

EQ\o\ac(○,3)兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。比例的性質(zhì)在比例里，兩個外項(xiàng)的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的根本性質(zhì)。a×d=c×b

〔3〕解比例

根據(jù)比例的根本性質(zhì)，如果比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未知項(xiàng)。求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例。典型例題例1、〔把圖形按某個比相應(yīng)放大或縮小，形狀沒有改變，只是大小變了〕ABC〔1〕長方形A的長是1.5厘米，寬是1厘米；長方形B的長是3厘米，寬是2厘米。這兩個長方形的長有什么關(guān)系？寬呢？〔2〕如果要把長方形A按1:2的比縮小，長和寬應(yīng)是原來的幾分之幾？各是多少？分析與解：〔1〕長方形B的長是長方形A的2倍，寬也是長方形A的2倍。或者說長方形B和長方形A長的比是2:1，寬的比也是2:1。把長方形的每條邊放大到原來的2倍，放大后的長方形的長和寬與原來長方形的比是2:1，就是把長方形A的長和寬按2:1的比進(jìn)行放大?！?〕把長方形A按1:2的比縮小后為長方形C，長、寬縮小為原來的，圖C的長是0.75厘米，圖C的寬是0.5厘米。由此可見，放大或縮小前后圖形形狀沒有改變，還是長方形，只是大小變了。例2、〔根據(jù)指定的比，將圖形按要求放大或縮小〕先按3:2的比畫出長方形A放大后的圖形B，再按1:2的比畫出長方形A縮小后的圖形C?！?〕圖B的長、寬各是幾格？〔2〕圖C呢？〔3〕觀察這三幅圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？ABC分析與解：〔1〕按3:2的比將長方形A放大，即將長方形A的長與寬分別擴(kuò)大1.5倍，那么圖B的長為6×1.5=9格，寬為4×1.5=6格?！?〕按1:2的比將長方形A縮小，即將長方形A的長與寬分別縮小到原來的，那么圖C的長為6÷2=3格，寬為4÷2=2格?！?〕從這三幅大小不同的圖形上可以看出，放大或縮小后的圖形與原來的圖形比擬，大小雖變了，但形狀不變，而且各條邊長度的變化都符合指定的比。點(diǎn)評：按比例放大圖形或縮小圖形，關(guān)鍵是要先根據(jù)比確定是放大還是縮小，然后確定好每條邊的長度，畫出圖形就行了。例3、〔將兩個相等比寫成一個等式〕圖B是由圖A放大后得到的，你能分別寫出這兩幅圖中各自的長與寬的比嗎？比擬寫出的兩個比，你有什么發(fā)現(xiàn)？BA3厘米6厘米4厘米8厘米分析與解：〔1〕圖A中長與寬的比是4:3；圖B中長與寬的原始比是8:6，而8:6化簡后就是4:3?！?〕這兩個比化簡后都是4:3，比值相等，說明這兩個比可以寫成一個等式。即4:3=8:6或=，都讀作：4比3等于8比6。例4、〔認(rèn)識比例〕下面哪幾組中的兩個比能組成比例，把組成的比例寫下來?！?〕5：6和15：18〔2〕0.2：0.1和3：1〔3〕：和1.2：0.8〔4〕6：2和：分析與解：分別求出每組中兩個比的比值，如果相等就能組成比例，不相等就不能組成比例。〔1〕因?yàn)?：6=，15：18=，所以5：6=15：18。〔2〕因?yàn)?.2：0.1=2，3：1=3，所以0.2：0.1和3：1不能組成比例?！?〕因?yàn)椋?，1.2：0.8=，所以：=1.2：0.8?！?〕6：2=3，：=3，所以6：2=：。點(diǎn)評：判斷兩個比能不能組成比例，可以像題目中的方法一樣，求出兩個比的比值，比值相等就能組成比例，否那么就不行。這樣解題的依據(jù)是比例的意義。例5、〔比例的各局部名稱和比例的根本性質(zhì)〕一臺織布機(jī)3小時織布3.6米，4小時織布4.8米。你能根據(jù)數(shù)量間的關(guān)系寫出比例嗎？分析與解：〔1〕這臺織布機(jī)織布米數(shù)和織布時間的比相等。3.6：3=4.8：4〔2〕這臺織布機(jī)織布米數(shù)的比和織布時間的比相等。3.6：4.8=3：4〔3〕這臺織布機(jī)織布時間和織布米數(shù)的比相等。3：3.6=4：4.8介紹“項(xiàng)〞：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。例如：3.6：3=4.8：4內(nèi)項(xiàng)外項(xiàng)觀察題中的三個比例，你有什么發(fā)現(xiàn)？3.6：3=4.8：43.6：4.8=3：43：3.6=4：4.8〔1〕3.6和4可以同時做比例的外項(xiàng)，也可以同時做比例的內(nèi)項(xiàng)?！?〕3.6×4=3×4.8，可見在比例中兩個外項(xiàng)的積等于兩個內(nèi)項(xiàng)的積?！?〕如果把3.6：3=4.8：4改寫成分?jǐn)?shù)形式=，等號兩邊的分子、分母分別交叉相乘，結(jié)果也相等?！?〕如果用字母表示比例的四個項(xiàng)，即a:b=c:d，那么這個規(guī)律可表示成ad=bc或bc=ad?！?〕在比例里，兩個外項(xiàng)的積等于兩個內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比例的根本性質(zhì)。例6、〔比例根本性質(zhì)的應(yīng)用〕根據(jù)2×7=1.4×10這個等式寫出幾個比例。分析與解：根據(jù)比例的根本性質(zhì)，可以得出2和7、1.4和10這兩組數(shù)要么同時是比例的外項(xiàng)，要么同時是比例的內(nèi)項(xiàng)。1.4:2=7:101.4:7=2:1010:2=7:1.410:7=2:1.42:1.4=10:72:10=1.4:77:1.4=10:27:10=1.4:2點(diǎn)評：像這樣的比例一共可以寫8個。但它們不變的是