安徽皖江名校聯(lián)盟2021屆高三11月第三次聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理）（含答案）

數(shù)學(xué)(理科)

本試卷共4頁(yè)，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

考生注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={x∣y2=2χ-4,x∈R,y∈R},B={X∣X2-2X<I5},則A∩B=

A.(-3,2]B.[2,5)C.(-5,2]D.[2,3)

2.若兩條直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,B內(nèi)，貝片直線a,b不相交”是“α∕∕β”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)f(x)=4—的圖象大致為

e~-1

4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(xo,yo)到直線Ax+By+C=0的距離d=E?4%i5,類比

√A2+B2

可得在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2,3,4)到平面x+2y+2z—4=0的距離為

1620

A.4B.5C.—D.—

33

5.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是

y

^∣O?3×>>5x

A.f(-l)=f(3)B.f(-l)<f(3)C.f(3)<f(5)D.f(-l)>f(5)

6.某城鎮(zhèn)為改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，2016年初投入資金120萬(wàn)元，以后每年投入資金比上一年增

加10萬(wàn)元，從2020年初開始每年投入資金比上一年增加10%,到2025年底該城鎮(zhèn)生態(tài)環(huán)

境建設(shè)共投資大約為

A.1600萬(wàn)元B.1660萬(wàn)元C.1700萬(wàn)元D.1810萬(wàn)元

7.由曲線y=—L與直線y=χ-l及y=3所圍成的封閉圖形的面積為

X-1

A.2-ln3B.2+ln3C.4-ln3D.4+ln3

8.已知將向量a=(L,9)繞起點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)工得到向量b,則b=

224

?/e—Λ∕2?/e+?∣2?/e+Λ∕2?/e—5/2

A.(--------，--------)B.(--------，------------)

4444

RΛ∕2—?/eλ∕2+?/eV∑+?/eV2—?/e

4444

9.已知實(shí)數(shù)a,b滿足lna+Inb=In(a+b+3),則a+b的最小值為

A.2√3B.4C.2χ∕5D.6

10.已知等差數(shù)列｛a11｝的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sm<Sm+2<Sm+1,若Sn>0,則n的最大值為

A.2mB.2m+1C.2m+2D.2m+3

11.函數(shù)f(x)=A[sin(3χ+θ)+cos(3χ+θ)]部分圖象如圖所示，當(dāng)χS[—兀，2π]時(shí)，f(x)最小值

為

A.-lB.-2C.-2D.-3

12.已知關(guān)于X的方程x—lna=21n∣x∣有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

1e22

A.(-e,+∞)B.(——，+co)C.(e,+∞)D.(e^,+∞)

24

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

兀

13.已知tan(α÷-)=3,則sin%+sin%=__________。

4

>x+2y>2

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<x-y≤2,則z=χ-2y的最大值為。

X-4y+4≥0

15.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研究可知：在室溫25℃

下，某種綠茶用85C的水泡制，經(jīng)過Xmin后茶水的溫度為yC,且y=k><0.9085*+25(x20,

k∈R)o當(dāng)茶水溫度降至55℃時(shí)飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為min(結(jié)

果保留整數(shù))。(參考數(shù)據(jù)：ln2?=0.6931,ln3^1.0986,ln0.9085≈≈—0.0960)

11.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)P滿足3PA+2PB+PC=0,則IPAl=。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.(10分)已知數(shù)列｛a1,｝的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-n(n∈N*)0

⑴求證:數(shù)列｛an+2n+3｝是等比數(shù)列;

(2)求a∣+a3+a5H----Fa2n-Io

18.(12分)在aABC中，AB=6AC,AD為邊BC上的中線，記NCAD=2∕BAD=2α?

(1)求證：4ABC為直角三角形；

(2)若AD=I,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,使得AE=JI5CE,求aABE的面積。

19.(12分)已知函數(shù)f(x)=2x3-3(a2-a+2)x2+12(a2-a)x+l,a∈R,討論f(x)的單調(diào)性。

20.(12分)

TT

已知在扇形OPQ中，半徑OP=I,圓心角ZPOQ=-O從該扇形中截取一個(gè)矩形ABCD,

有以下兩種方案：方案一：(如圖I)C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，記NCOP=α,矩形ABCD內(nèi)接于

扇形；方案二：(如圖2)M是扇形弧的中點(diǎn)，A、B分別是弧PM和MQ上的點(diǎn)，記/AOM

=ZB0M=β,矩形ABCD內(nèi)接于扇形。要使截取的矩形面積最大，應(yīng)選取哪種方案？并求

出矩形的最大面積。

21.(12分)

已知函數(shù)f(x)=ln(x+l),g(x)=W-,若F(x)=f(x)-g(x)最小值為0。

x+1

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)設(shè)nWN*,證明:g(l)÷g(2)H-----卜g(n)+f(n)>n°

22.(12分)

已知函數(shù)f(x)=ln(x+n)(n∈R)o

(1)若曲線y=f(x)與直線y=x相切，求n的值；

(2)若存在xo》O,使f(x°)>e2x。一χ02成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍。

理數(shù)參考答案

2.【解析】由直線%b不相交不能推出α〃萬(wàn)：由a"β,可推出直線出6不相交，故選B.

3.【解析】由/(一X)=-J=-J=-/(x),所以/(x)為奇函數(shù)，/⑴==J>0,故選A.

e—1l—ee"-1

4.【解析】類比可得，點(diǎn)(xo，%,zl))到平面4r+如+Cz+到=0的距離為d」4%+Byo+CZO：回,

?∣A2+B2+C2

故〃=4,所以選A.

5.【解析】由圖可知/(x)在(-8,-1),(3,5)上遞減，在(-1,3),(5,+oo)上遞增，故/(-1)<∕(3).

6.【解析】設(shè)2016年到2025年每年投入資金分別為α∣,%,%，4，々，仇，…，d，由已知為等差

數(shù)列，q=120,%=150,其和為第=6+生+%+。4=540曲也「“也為等比數(shù)列，?1=150x1.1.

150×l.l(l-?.I6),?、

6

公比￠=1.1,其和為S2=b,+b2+--+b6=---------------------?=1650(l.I-I),又

1.16≈l+Ci0.1+C^0.12+C^0.13≈1.77.S?=51270.共投入資金大約為1810萬(wàn)元，故選D.

7.【解析】封閉圖形如圖，計(jì)算得4仁,3),8(2,1),C(3,3)

??,)

S=-×3-L-dx+-×2×2=4-?n3,故選C.

3jyx-l2

8.【解析】由已知得α=(cosq,sin^),

lπ.lπ1π√2-√6.1π√2+√6

故b=cos——,s?n——cos——=----------,sin——=-------故---選-C.

1212124124

9.【解析】由已知得α6=α+b+3,即(α-l)(b-l)=4,

a+6=(o-l)+(?-l)+2≥2λ∕(^-l)(?-l)+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)α=b=3時(shí)取等號(hào)，故選D.

10.【解析】由S<S)vSI得，a.>0,α?<0,a.+α??>0.

又Z=色坐Z=3+鼠＞。

=(2…一))限

=3+3<0,

邑7=(2,-2(+j)=W+])&“+a.,。)>°，故選c.

IL【解析】由已知/(x)=J14sin(0x+。+?),由圖像可知取Z=J5,周期7=4萬(wàn)，所以＜υ=g,

由/仔)=0'及圖像單調(diào)性知,取d+?='∕?(χ)=2sin(gx+??),

-πl(wèi)π

%∈[-Λ?,2Λ].；x+*e=-y/i，故選D.

-7,T

12?【解析】轉(zhuǎn)為直線y=χ-Eα與函數(shù)y=21n∣x∣有三個(gè)交點(diǎn).顯然當(dāng)χ＜o(jì)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)：當(dāng)

x>0時(shí)，只需y=χfn”與y=21nx有兩個(gè)交點(diǎn)即可.由,2,，得x=2?y=χTn”與

y——=1

y=21nκ相切時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(221n2)，此時(shí)J當(dāng)(P2、時(shí)，y≈x-?r?a^y=2lnx

(，Ja~~Γαw-,+∞

414J

有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B.

tairtan

13.【答案】1【解析】由已知得小史衛(wèi)=3,解得tana=1.所以sin2α+sin2ɑ=α:2α=ι.

1-+tacnca~?t+and~0Z+Il1

x+2y≥2

14.【答案】2【解析】滿足jκ-y≤2的可行域?yàn)锳JBC及其內(nèi)部，λ

x-4y+4≥0β

其中Z(4,2),B(0,l),C(2,0),且C點(diǎn)為最優(yōu)解，ZmaX=2.-L7^-----------X

15.【答案】7【解析】由題意可知，當(dāng)x=0時(shí)y=85,即

85=k+25,k=60,故y=60x0.9085,+25.當(dāng)y=55時(shí)得：55=60×0.9085x+25,

16.【答案】√7【解析】6存=2(萬(wàn)+而)+(N+正)=2而+就

^AP=^AB+^AC,左=(；方+:充)=7,故網(wǎng)=√7.

17.【解析】(1)當(dāng)"22時(shí)，S?，,=2a?,,-(n-l)2,又

所以4=2?！ㄒ??！╛]一2〃+1,故(=2%T+2〃-1.....................................................2分

所以+2/:+3=2art,∣+4〃+2=2(?！癬]+2〃+1)........................................................4分

又當(dāng)〃=1時(shí)，2S∣=3q+l,S1=ai?故S∣=q=l,所以q+5=6.

故數(shù)列｛(+2∕z+3｝是以6為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列..............................5分

Λ

(2)由⑴可知：?Λ+2W+3=3×2,故4=3x2〃-2〃-3.......................................6分

α1÷α3÷a5+???+α2rt.1

=(3×2-5)+(3×23-9)+(3×25-13)+???+[3×22"-'-(4n+l)]

=(3×2+3×23+3×25+???+3×22"^')-[5+9+13+???+(4W+1)]................................8分

=?≡^J--Γ5+(4n+l)^∣=22"+'-2n2-3n-210分

1-42

18.【解析】(1)在中，正弦定理得：AB=-^~2分

sinADBSina...........................

在A4CZ)中，由正弦定理得：-AC=-^--

sinADCsin2a

由已知，3。=CD且sin4Q8=Sin4Z)C,λ

UABsin2a

故——=-----

ACSina

由AB=向AC,sin2a=2sinacosa?所以CoSa=

又a∈(O,∕r),故α=三，所以/8力C=3a='.

故ΔJBC為直角三角形.......................................................6分

(2)由已知力0=1,所以CD=BD=AD=AC=1,ZACE=-

3

設(shè)CE=X,則4E=2x,

在A4CE中，由余弦定理得∕E2=∕C2+CE2-2ZC?CECOS至9分

3....................

整理得12/-X-I=0,解得X=1或工=一！(舍去).

34

故CE=LBE=L-ABBEsin-=—.12分

S.4BE=

19.【解析】/(x)=6χ2-6(/-Q+2)X+12(/-〃)=6(x-2)(x-/+〃)............2分

由/(x)=°?得X=/-?；騲=2,由/一。=2，得a=—1或〃=2

當(dāng)α=2或α=-l時(shí)，∕,(X)=6(X-2)2≥0:4分

當(dāng)α<-l或α>2時(shí)，4J4>2,x∈(-∞,2)U(^2-?,+∞)*∕,(x)>0;x∈(2,α2-^),∕,(x)<0o

22r

當(dāng)一IVq<2時(shí)，a-a<2fx∈(-∞,a-α)U(2,+∞)?∕(x)>0：x∈(∕-。,2),/'(x)<0。

..................................................................8分

故當(dāng)〃=2或4=一1時(shí)，/(力在(-00,+8)上單調(diào)遞增：

當(dāng)α<-1或α>2時(shí),/(x)在(YO,2),(/-α,+∞)上單調(diào)遞增，在(2,/-上單調(diào)遞減；

當(dāng)一l<αv2時(shí)，/(x)在(-8,/-〃),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(/一d2)上單調(diào)遞減。.......12分

,O/=*=*=qnα

20.【解析】方案1：由己知得：OB=cosa,BC=sina

tan60°tan60o3

所以45=08-OZ=COSa-------Sina.......................................................................1分

3

設(shè)矩形/8CD的面積為S,則

S=ABBC=[CoSa-3^SinaSina=Lin2α+立cos2a--

3266

v?.,π??/??

=——sin2a+--------3分

3I6)6................................................................................

由0<α<工,得工<2α+^<2,所以當(dāng)2a+2=工，即α=工時(shí)，

3666626

矩形/88的最大面積為Sl=-=.5分

366

方案2：由題意可知：AB=2AE=2s?nβ，OE=CoS夕，

DFAE=√3sing

又OF=y

tan30°tan300

AD=EF=OE-OF=COSβYsin06分

設(shè)矩形/8C。的面積為S,則

S=AB-AD=2sin,(CoS/7-Gsin/)=Sin2∕+6cos2α->∕J

8分

又Q<β<?,得q<2/+與<等,所以當(dāng)2∕7+q=',即夕時(shí)，

矩形48C。面積取最大為5=2-6....................................................................K)分

故逋>2,即立>2-J5,故S∣>S,

66

故應(yīng)選擇方案1,當(dāng)α=2時(shí)，矩形48C。的面積最大為巫

..............................................12分

66

21.【解析】(1)由已知F(X)=In(X+1)一與，定義域?yàn)?-l,+oo).

ax+?-a

F(X)=-----------------2---------?-.............................................................................2分

v7X+1(x+l)^(x+l)^

由尸'(x)=0,得X=Q-L

當(dāng)Q≤0時(shí)，x∈(-l,+∞),F(x)>0,尸(x)在(一1,+∞)單調(diào)遞增無(wú)最小值.

當(dāng)0>0時(shí)，x∈(-l,a-l),F,(x)<O：X∈(a-l,÷oo),F,(x)>O.

故尸(X)min=尸(4-1)=Ina—4+14分

令θ(x)=InX-X+l(x>O),^z(x)=~~~~(x>0).

xe(O,l),√(x)>O;xe(l,-K?),√(x)<O,^(x)max=^(1)=0

所以由lnι-4+l=O,得α=l.6分

(2)由(1)可知L=I,此時(shí)g(l)+g(2)+…+g(〃)+∕(")>〃等價(jià)于:

In(〃+1)>，+，+???+—!—

8分

'/23〃+1.................................................

由(1)可知當(dāng)x>0時(shí)，ln(x+l)>^j.

?

故In(J+1]>=—―,BPIn(77÷1)-In//>---.10分

1〃)l+ι〃+1n+i..................................................

n

111

所以也(〃+1)=(1112-1111)+(1113-1112)+~+[111(〃+1)-111〃]>—+-++------

23/:+1

故g⑴+g(2)+…+g(〃)+/(〃)>〃.......................................................................12分

22.【解析】(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%,%),因?yàn)閞(x)=」一,..........................2分

所以一--=I,又No=In(Xo+〃)，所以%=0,

Xo+“

故XO=No=0，所以〃=1...............................................