北京市西城區(qū)北京第四十三中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,設(shè)全集U=K,集合M=LlX24x},N={X|2X<1},則Mn§N=（）

A.Eo,l]B.（0,11C.[0,l）D.

2.從拋物線y=4x上一點(diǎn)P（P點(diǎn)在x軸上方）引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,且IPM|=5,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為

F,則直線MF的斜率為（）

44

A.-2B.2C.D._

33

3.已知雙曲線'-2=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為E,過(guò)戶的直線/交雙曲線的漸近線于4B兩點(diǎn)，且直線/的傾斜

Q2

角是漸近線。/傾斜角的2倍，若波=2砥，則該雙曲線的離心率為（）

5.已知a〉0,/(x)=ax2-x+l(x>0),A=[xI/(x)Vx},B={xI/(/(%))</(x)<x),若/=Bw6則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是（）

33

A.(0,1]B.(0,JC.L,l]D.[1,+℃)

44

1+z-

"已知復(fù)數(shù)2==，則Z的虛部是，）

8.函數(shù)y=/a）在區(qū)間-，上的大致圖象如圖所示，則/（X）可能是（）

122^

A./(%)=ln|sinx|

B./(x)=ln(cosx)

c./(x)=-sin|tanx|

D./(x)=-tan|cosx|

9.設(shè)a,B是方程x2-x-1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記。=Q"+B"（〃eN*）.下列兩個(gè)命題（）

n

①數(shù)列｛a｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)；

n

②數(shù)列{a}存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).

n

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯(cuò)誤

10.若向量（T=（1,5）萬(wàn)=（一2,1）,則（T?（（T+26）=（）

A.30B.31C.32D.33

已知等差數(shù)列{a}的前"項(xiàng)和為S，且a=-3,S=24,若a+a=0且貝!|i的取

nn412ij

值集合是（）

A.{1,2,3}B.（6,7,8}C.423,4,5}D.{6,7,8,9,10}

12.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,9）,且P（X42）=P（X2a）,則a=（）

A.3B.5C.6D.7

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知“在A4BC中，二=」=1”，類比以上正弦定理，，在三棱錐/-BC。中，側(cè)棱4B與平面4C。所

sinAsinBsinC

Ti5兀S

成的角為一、與平面BCD所成的角為一,

312

14.設(shè)P為有公共焦點(diǎn)F,F的橢圓C與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)，且PF_LPF,橢圓C的離心率為e,雙曲線C的

離心率為e，若e=3e,貝ije=.

2211-----------------------------------

15.已知等差數(shù)列}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a=1,且a+a=a,若p-q=10,則a-a=

n1268Pq

16.設(shè)集合4={-l，a},B=[e",2],甘.e旦臼加“蠅的比物、口4C8?0,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為_(kāi)___

<Ci1（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且

IJ

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

{a}{c}[a,n為奇數(shù)

neN

17.（12分）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足,"

nnnn\b,〃為偶數(shù)

ln

⑴若a=n,b=2",求數(shù)列{c}的前2〃項(xiàng)和r；

Hnn2n

⑵若數(shù)列{a}為等差數(shù)列，且對(duì)任意N*,c>。恒成立.

nn+ln

①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求證：數(shù)列{a},{/）}的公差相等;

nnn

②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請(qǐng)寫出所有滿足條件的數(shù)列.若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國(guó)有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳,

有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來(lái)某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎，該

村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，

質(zhì)量把關(guān)程序如下：(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí)(ii)若僅有1位行家

認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過(guò)關(guān)，則該手工

藝品質(zhì)量為5級(jí)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí)(iii)

若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過(guò)關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為。級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)

1

為質(zhì)量不過(guò)關(guān)的概率為且各手工藝品質(zhì)量是否過(guò)關(guān)相互獨(dú)立.

(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率；

(2)若一件手工藝品質(zhì)量為4,8,C級(jí)均可外銷，且利潤(rùn)分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為O級(jí)不能外銷，利

潤(rùn)記為100元.

①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；

②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元，求X的分布列與期望.

19.(12分)如圖，在矩形A8C。中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E是邊4。上一點(diǎn)，且4E=2EO,點(diǎn)H是BE的中點(diǎn)，

將△4BE沿著B(niǎo)E折起，使點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)S處，且滿足SC=SD.

BC

(1)證明：5”，平面88￡'；

(2)求二面角C—SB—E的余弦值.

20.(12分)為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中

隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人會(huì)闖紅燈，處罰時(shí)，得到如表數(shù)據(jù)：

處罰金額X(單位：元)5101520

會(huì)闖紅燈的人數(shù)y50402010

若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.

(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少？

(2)將選取的200人中會(huì)闖紅燈的市民分為兩類：4類市民在罰金不超過(guò)10元時(shí)就會(huì)改正行為；8類是其他市民.

現(xiàn)對(duì)/類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷，則前兩位均為B類市民的概率是多少？

21.（12分）已知四棱錐P-/BCD中，底面ABCD為等腰梯形，AD||BC,PA=AD=AB=CD=2,BC=4,

PA_L底面ABCD.

(1)證明：平面R4c，平面P4B；

(2)過(guò)P4的平面交BC于點(diǎn)E,若平面PAE把四棱錐P一力BCD分成體積相等的兩部分，求二面角A-PE-B

的余弦值.

22.(10分)在最新公布的湖南新高考方案中，“3+1+2”模式要求學(xué)生在語(yǔ)數(shù)外3門全國(guó)統(tǒng)考科目之外，在歷史和物

理2門科目中必選且只選1門，再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績(jī)按新的規(guī)則轉(zhuǎn)

換后計(jì)入高考總分.相應(yīng)地，高校在招生時(shí)可對(duì)特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求,雙超中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，

現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40人進(jìn)行選科情況調(diào)查，用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學(xué)、生物、地理、政治6科，得到

如下的統(tǒng)計(jì)表：

序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況

1134112362115631235

2235122342223532236

3235131452324533235

4145141352423534135

5156152362525635156

6245162362615636236

7256171562713437156

8235182362823538134

9235191452924639235

10236202353015640245

(1)雙超中學(xué)規(guī)定：每個(gè)選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執(zhí)教2個(gè)選修班(當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選

課班級(jí)總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，允許這門科目的1位老師只教1個(gè)班).已知雙超中學(xué)高一年級(jí)現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各

8人，用樣本估計(jì)總體，則化學(xué)、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整？如果需要調(diào)整，各需增加或減少多少人？

(2)請(qǐng)創(chuàng)建列聯(lián)表，運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)進(jìn)行分析，探究是否有99%的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理

科目”有關(guān).

n(.ad-be)-

附：*\-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2Nk)

0.1000.0500.01()0.001

k2.7063.8416.63510.828

(3)某高校4在其熱門人文專業(yè)B的招生簡(jiǎn)章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選

修了1門的考生報(bào)名.現(xiàn)從雙超中學(xué)高一新生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)具備A高校8專業(yè)報(bào)名資格的人數(shù)為X,用樣本的

頻率估計(jì)概率，求X的分布列與期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、

A

【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

M={X|X2<X}={XI0<X<1},N={X|2Y1}={X|XV0},

qN={xlx?o},

則MCQN={xl0<x<l}=[0d],

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)P坐標(biāo)和焦點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xJ\y＞0

000'

由題意知，焦點(diǎn)產(chǎn)(1,0),準(zhǔn)線方程/"=一1,

所以IPM|=X。+1=5,解得、=4,

把點(diǎn)僅J0)代入拋物線方程可得，

V=±4,因?yàn)椤罚?,所以》=4,

000

所以點(diǎn)M坐標(biāo)為(-14),

代入斜率公式可得，k==-2.

MF-1-1

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

先求出直線/的方程為y=2ab(x_c)＞與y=±±x聯(lián)立，可得A,B的縱坐標(biāo)，利用竹=2尸9,求出a,b的

￡72-b2a

關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率.

【詳解】

雙曲線竺—巴=1(a＞b＞。)的漸近線方程為y=±」X,

a2b2a

?.?直線/的傾斜角是漸近線。4傾斜角的2倍，

2ab

:的=———，

Q2-b2

2ab

二直線/的方程為y=———(x-c),

bC12~b2

與y=±_x聯(lián)立，可得y=-2abc或^=2abe,

a3(72-b2。2+匕2

VAF=2兩,

?2abe22abc

ai+切3a2-In

；.a=。b,

??c——

c

?e__2J3

a3

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔

題.4^A

【解析】

因?yàn)?（-Q=5（一幻+2sin（-x）=5x+2sinx=，所以函數(shù)〃x）是偶函數(shù)，排除B、D,

3-V-3.V3.V-3-

5冗

又〃兀）=丁7>0,排除C,故選A.

Jn-J-n

5、C

【解析】

1-齊7,％=1+爐7,得

演Aw（j）,得到/（X）=QX2-x+l〈x有解，則八=4一4。20,得0<aWl,x=

1a2

匕正工，匕正2],再根據(jù)B={x"(/(x))4/(x)〈x},有/(/(x))〈/(x),

到A={%I/(%)<x}=[x,x]=[

12aa

即aCu2-x+1)-2(/x2-x+l)+l40,可化為Gx2-2x+l)C(2x2+a-])K0,根據(jù)A=Bw<|),則

a2X2+a-l>0的解集包含［匕正2,生正2］求解,

a

【詳解】

因?yàn)锳。。，

所以/（%）=。%2-冗+1有解,

即/(尢)=2x+1<0有解,

1一《一a

所以A=4—4〃20,得x

1aa

所以A={xI/(x)<x]=[x,x]=[匕叵，上二],

12aa

又因?yàn)锽={xlf(f(x))<f(x)<x],

所以/(/(x))?/(x),

即c^ax2-x+l)-2(ZX2-X+1[140,

()()

可化為aX2-2x+la-\<0,

因?yàn)锳=Bw。,

所以GX2+a-li0的解集包含—+

aa

所以1+Vl-av_*a或]_疝_、>疝-a,

aaaa

3

解得二

4

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，

6、C

【解析】

對(duì)x分類討論，去掉絕對(duì)值，即可作出圖象.

【詳解】

f—log(-x)>x<—1,

/(x)=X+-log3=〈[log(-x),-l<x<0，

lX+1l0[logx,x>0.

觸c.

【點(diǎn)睛】

識(shí)圖常用的方法

(1)定性分析法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征分析解決問(wèn)題;

(2)定量計(jì)算法：通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題；

(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)

題.7、C

【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，分子分母同時(shí)乘以1+，，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)z,再求出z,由此得到虛部.

【詳解】

1+/

z=--：=i,z——i,所以z的虛部為—1.

1-z

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查共扼復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.8、

B

【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

【詳解】

解：當(dāng)x=0時(shí)，sinO=O,歷忖出)|無(wú)意義，故排除A；

又cosO=l,則./X0)=—tan|cosO|=-tanlwO,故排除D；

(71A

對(duì)于c,當(dāng)工,0,時(shí)，tan『＞0,所以/(x)=—SiptanX不單調(diào)，故排除c；

II''I

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問(wèn)題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.9、

A

【解析】

利用韋達(dá)定理可得。+9=1,。|3=-1,結(jié)合。=01"+|3"可推出“=。+。，再計(jì)算出。=1,"=3,從而推出①

nw+1n/?-112

正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.

【詳解】

因?yàn)閍,0是方程X2-X-1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

所以a+0=l,ap=_l,

因?yàn)閍=a〃+p〃，

所以a=a〃+i+B“+i

n+l

(a〃+pn)a+(a〃+P〃)p-P〃a一a〃p

=(an4-pn)(a+p)一ap(an-i+9)

=(a〃+P〃)+(a〃-1+Pn-1)=Q+Q,

nn-1

即當(dāng)〃23時(shí)，數(shù)列｛a｝中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,

n

又Q=a+0=1,Q=a2+p2=(a+p)2-2ap=3,

12

所以a=a=4a=a+a=7a=a+Q=11

321‘432’543

以此類推，即可知數(shù)列｛夕｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)，故①正確；

若數(shù)列1a｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù)，則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為。或5,

n

由1=1,%=3,依次計(jì)算可知，

數(shù)列｛0｝中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,347,1,8,9,7,6,3,9,2為周期，

n

故數(shù)列｛a｝中不存在個(gè)位數(shù)字為o或5的項(xiàng)，故②錯(cuò)誤；

n

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo)，考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.

10、C

【解析】

先求出~a+2b，再寫a相乘即可求出答案.

【詳解】

因?yàn)閍+2%=(1,5)+?2)=(-3,7),所以Q?(Q+2而=-3+5x7=32.

故選:c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

11、c

【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足a,+a=0的/的取值集合.

【詳解】

設(shè)公差為d,由題知a=-3na+3d=—3,

41

S=24n12a+12x11rf-24

1212'

筋a=-9,d=2,

1

所以數(shù)列為一9,—7,—5,—3,—1,1,3,5,7,9,11,…，

故ie{1,2,3,4,5}.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

根據(jù)在關(guān)于X=4對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.

【詳解】

?.3=4,a=3,

P(XW2)=P(XW4-2)=P(X24+2)=P(X>6)=P(X>a),a=

6.故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(NQ2),則

P(X<pi-m)=P(X>M+m).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、收*

2

【解析】

類比，三角形邊長(zhǎng)類比三棱錐各面的面積，三角形內(nèi)角類比三棱錐中側(cè)棱與面所成角.

【詳解】

Sin；smS”4nt?+◎，

312n—4—

【點(diǎn)睛】

本題考查類比推理.類比正弦定理可得，類比時(shí)有結(jié)構(gòu)類比,方法類比等.

14、書(shū)

3

【解析】

設(shè)ZFAF=20

12

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得sPFF=&2tanO=62

A1211

cc(])

..e=_,：.Q=_,:.b2=ai-c2=ci_-1|

1a\eii(g2)

iii

bi

根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，SPFF=_^=b2

△12tan?2

C,a_C

?/e=__,??u___

2a2ei

22

(1、

Z.b2=C2—Q2=C2l1-—I

2262)

2

c、rn

飛t-

即—+J_=2,??3e=e:.e=立

e；卷,1^13

故答案為立

3

15、10

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛。｝的公差為〉根據(jù)且

d0,a=1,a+a=a,可得2+6d=l+7d,解得d,進(jìn)而得出結(jié)論.

n1268

【詳解】

設(shè)公差為d,

因?yàn)镼+Q=a,

268

所以Q+d+a+5d=a+7d,

iii

所以d=a=19

i

所以a-a=(p-q)d=10x1=10

pq，

故答案為：10

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

16、1

【解析】

可看出axeR這樣根據(jù)40|8。0即可得出。=2,從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為1.

【詳解】

解：。，

a=2或“一

c<—

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=X與y=4的圖象，

由圖可知y二乂與"二二無(wú)交點(diǎn)，._。無(wú)解，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為1.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

考查列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，以及知道方程x-e，無(wú)解，屬于基礎(chǔ)

題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

4n+14(,)

17.(1)T=一+利一_(2)①見(jiàn)解析②數(shù)列他)不能為等比數(shù)列，見(jiàn)解析

2n33"

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進(jìn)行求解；

(2)①設(shè)數(shù)列｝的公差為d,數(shù)列｛b｝的公差為d,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，得出d>d.當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，得出d<d,

nn111

從而可證數(shù)列心｝,弘｝的公差相等；

nn

②利用反證法，先假設(shè)｛b｝可以為等比數(shù)列，結(jié)合題意得出矛盾，進(jìn)而得出數(shù)列｛b｝不能為等比數(shù)列.

nn

【詳解】

(1)因?yàn)椤?n,b=2j所以Q-a=2,4+2=4且c=a=1,c=b=4

nnn+2nb1122

n

由題意可知，數(shù)列｛c｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

2n-1

數(shù)列｛c｝是首項(xiàng)和公比均為4的等比數(shù)列，

2n

〃(〃一1)4(1一4。)4〃+14

所以丁=〃+-------X2+-------=---+〃2——?

2〃21-433

⑵①證明：設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為d,數(shù)列｛b｝的公差為d,

nn1

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，c=a=a+(n-1)d,c=b=b+nd

nn1n+1n+111

若d<d,則當(dāng)n>ajd—q時(shí)。一c=(d—d)n+d-a<0,

1d—dn+1n11

1

即c<c,與題意不符，所以d>d,

n+1n1

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，c=b=b+(〃-1)d,c=a=a+nd,

nn11n+1n+11

若d>d,則當(dāng)〃〉qd]ai時(shí),c-c=(d-d)n+a+d-b<0,

1d—dn+1n1111

1

即c<c,與題意不符，所以d<d,

n+1n1

綜上，4=d,原命題得證；

②假設(shè)｛0｝可以為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,

n

b

因?yàn)镃>c，所以c>C>c，所以a-a=2d>0,：a=q2>1,

n+1nn+2n+1nn+2nu

因?yàn)楫?dāng)"1+叫可片時(shí)，

P-八=陽(yáng)@-1)="加忖?2-1)>4",

所以當(dāng)"為偶數(shù)，且a<b<a時(shí)，b任(Q,Q),

n-1nn+1n+2n+ln+3

即當(dāng)"為偶數(shù)，且c<C<c時(shí)，c<c<c不成立，與題意矛盾，

n-1nn+1n+1n+2n+3

所以數(shù)列｛b｝不能為等比數(shù)列.

n

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合，數(shù)列求和時(shí)一般是結(jié)合通項(xiàng)公式的特征選取合適的求和方法，數(shù)列綜合題要回

歸基本量，充分挖掘題目已知信息，細(xì)思細(xì)算，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

18、(1)E(2)①2②期望值為

8127

X900600300100

P816207

278127

【解析】

_11116

(1)一件手工藝品質(zhì)量為8級(jí)的概率為。yX(l__)2X(『_)2=_.

333381

1117

(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為C2X4)2X(1--)+C3xJ)3=_,

3333327

7

設(shè)io件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是g件，則，

27

720

720Pg=k+1)湖"田"70-7/c

10

則P?=k)=QO(27>(27)-*，飛=k)=i"一，=20k+20-

720

C&(---)k(------)10-〃

io2727

由70-7〃>1得」<5。,所以當(dāng)k=l時(shí)，P-=2)>],即p(&=2)>p(&=i),

20k+2027P(&=1)

由707k<i得k>5(),所以當(dāng)k22時(shí)，P《=k+D<Pg=k),

20/C+2027

所以當(dāng)k=2時(shí)，P(&=的最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.

I816

②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級(jí)的概率為(1=)3=_,一件手工藝品質(zhì)量為5級(jí)的概率為一,

32781

一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率為。<>(1->X[C1X：x(l-〉+(6]==，

2

33333381

一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為

27

所以X的分布列

為X900600300100

816207

p2727

則期望為E（x）=900X_L+600X-+300X—+100X-=IMQO

2781812727,

19、（1）見(jiàn)解析；（2）立

3

【解析】

（1）取CD的中點(diǎn)M,i^HM,SM,由SE=SB=2,進(jìn)而SH_LBE,由SC=SD,得SMLCD.進(jìn)而CD

_L平面SHM,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過(guò)”點(diǎn)作8的平行線GH交BC于點(diǎn)G,以點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，

HG,HM,HS所在直線分別為x軸、〃軸、弋軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-空"求得平面SBC,平面SBE的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中點(diǎn)N,BC上的點(diǎn)P,使BP=2PC,連接HN,PN,PH,

得

HN1BS,HP1BE,得二面角C—SB-E的平面角為NPNH,再求解即可

【詳解】

（1）證明：取CD的中點(diǎn)用，連接HM,SM,由已知得4石=48=2,所以SE=SB=2,又點(diǎn)H是明的

中點(diǎn)，所以.妲_LBE.

因?yàn)镾C=SD,點(diǎn)是線段CD的中點(diǎn)，

所以SM_LCD.

又因?yàn)镠M1BC,所以HMJ_CD,從而CD1平面SHM,

所以CD_LSH,又CD,BE不平行，

所以SH_L平面BCDE.

（2）（方法一）由（1）知，過(guò)H點(diǎn)作GD的平行線GH交BC于點(diǎn)G,以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線

分別為丫軸、J軸、弋軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-夕々，則點(diǎn)B（1,—1,0）,C（1,2,0）,E（-1,1,0）,

SGO，M),

3,1,㈤.

所以前=(0,3,0),麗=(—220),便=

設(shè)平面SBE的法向量為m=(x,y,z),

111

\m-BE=QIx=y

由廣—，得〈11，令y=1,得切=(1,1,0).

[ffi*BS=0l-x+y+J^=0'1

i111

同理，設(shè)平面SBC的法向量為y(x,_y,z),

222

由卜.哈0,得|%=°

[n-BS=Q+二0

令z=1,得〃=(/^0,1).

2

所以二面角C—SB—E的余弦值為cos〈mm〉=m=[W==2^

|可問(wèn)31

(方法二)取BS的中點(diǎn)N,8c上的點(diǎn)P,使BP=2PC,連接“MPN,P”，易知"N，BS,HP±BE.

由(1)得S”_L"P,所以HP，平面BSE,所以“P_LSB,

又HN工BS,所以BS_L平面PHN,

所以二面角C-SB-E的平面角為NPN”.

又計(jì)算得N”=1,PH=&,PN=B

所以cos/PNH=.1=￡,

事3

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計(jì)算能力，是中檔題

11

20、(1)降低-(2)

56

【解析】

(1)計(jì)算出罰金定為10元時(shí)行人闖紅燈的概率，和不進(jìn)行處罰時(shí)行人闖紅燈的概率，求解即可；

(2)闖紅燈的市民有80人，其中/類市民和B類市民各有40人，根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序，計(jì)算所求

的概率值.

【詳解】

401

解：(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率為一=_;

2005

809

不進(jìn)行處罰，行人闖紅燈的概率為一=_;

2005

211

所以當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低二三；

555

(2)由題可知，闖紅燈的市民有80人，4類市民和B類市民各有40

人故分別從A類市民和8類市民各抽出兩人，4人依次排序

記A類市民中抽取的兩人對(duì)應(yīng)的編號(hào)為1,2,B類市民中抽取的兩人編號(hào)為3,4

則4人依次排序分別為(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,3,2),。,4,2,3),(2,1,3,4),(2,1,4,3),

(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),

(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),共有24種

前兩位均為B類市民排序?yàn)?3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),有4種，所以前兩位均為B類市民的概率是

門41

P==3

246

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了計(jì)算古典概型的概率，屬于中檔題.

4

21、(1)見(jiàn)證明；(2)_

7

【解析】

(1)先證明等腰梯形中然后證明P4_L4C,即可得到/C_L平面P4B,從而可證明平面24c

_L平面P血⑵由晨錐p”=可得到工“列出式子可求出BE,然后建立如圖的空

斤斤I

間坐標(biāo)系，求出平面24E的法向量為rr,平面PBE的法向量為匯，由cos/JTjr\_121可得到答案.

12「'麗

【詳解】

（1）證明：在等腰梯形4BC0,AD||BC,AD=AB=CD=2,

易得乙4BC=60°

在\ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+16-8=12,

則有AB2+AC2=BC2,故ACVAB,

又...P4,平