專題12.4 因式分解【九大題型】（舉一反三）（華東師大版）（原卷版）

專題12.4因式分解【九大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用因式分解求值】 1【題型2因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用】 2【題型3利用因式分解確定整除問題】 2【題型4利用添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 3【題型5利用拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 5【題型6利用因式分解確定三角形的形狀】 6【題型7利用因式分解求最值】 6【題型8因式分解在新定義問題中的運(yùn)用】 6【題型9因式分解在閱讀理解中的運(yùn)用】 8【知識點(diǎn)因式分解】定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。以上公式都可以用來對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步驟：（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止?！绢}型1利用因式分解求值】【例1】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）將2xn-81因式分解后得4x2+92x+32x-3，那么n等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式1-1】（2023春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校┌讯囗?xiàng)式x3+ax分解因式得xx-12【變式1-2】（2023春·八年級單元測試）已知三次四項(xiàng)式2x3-5x2【變式1-3】（2023春·八年級單元測試）若2x2-6y【題型2因式分解在有理數(shù)簡算中的應(yīng)用】【例2】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）利用因式分解計(jì)算：(1)-2101(2)32021(3)121×0.13+12.1×0.9-12×1.21；(4)2022【變式2-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計(jì)算：2020×512－2020×492的結(jié)果是．【變式2-2】（2023春·八年級單元測試）計(jì)算：（1）(1-122)×(1-132（2）2021【變式2-3】（2023春·八年級單元測試）利用因式分解計(jì)算：（1）1（2）1+24（3）2【題型3利用因式分解確定整除問題】【例3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）某興趣小組為探究被3整除的數(shù)的規(guī)律，提出了以下問題：（1）在312，465，522，458中不能被3整除的數(shù)是________；（2）一個(gè)三位數(shù)abc表示百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別是a、b、c（a，b，c為0－9之間的整數(shù)，且a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍數(shù)（設(shè)a+b+c=3t，t為正整數(shù)），那么abc能被3（3）若一個(gè)能被3整除的兩位正整數(shù)ab（a，b為1－9之間的整數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字得到一個(gè)新數(shù)，新數(shù)減去原數(shù)等于54，求這個(gè)正整數(shù)ab．【變式3-1】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）利用因式分解說明：當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，n+72-n-5【變式3-2】（2023春·湖南永州·八年級校聯(lián)考期中）已知432-1可以被10到A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17【變式3-3】（2023·河北衡水·統(tǒng)考三模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究如下等式：38×32=1216，53×57=3021，71×79=5609，84×86=7224．觀察發(fā)現(xiàn)以上等式均是“十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，且積有一定的規(guī)律”．(1)根據(jù)上述的運(yùn)算規(guī)律，直接寫出結(jié)果：58×52=___________；752=(2)設(shè)其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b（a，b>0），①請用含a，b的等式表示這個(gè)運(yùn)算規(guī)律，并用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識證明；②上述等式中，分別將左邊兩個(gè)乘數(shù)的十位和個(gè)位調(diào)換位置，得到新的兩個(gè)兩位數(shù)相乘（如：38×32調(diào)換為83×23）．若分別記新的兩個(gè)兩位數(shù)的乘積為m，①中的運(yùn)算結(jié)果為n，求證：m-n能被99整除．【題型4利用添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】【例4】（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）19世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家蘇菲·熱門給出了一種分解因式x4+4的方法：他抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和x22+22的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2，隨即將此項(xiàng)4根據(jù)以上方法，把下列各式因式分解：(1)4x(2)a2【變式4-1】（2023春·廣東佛山·八年級專題練習(xí)）添項(xiàng)、拆項(xiàng)是因式分解中常用的方法，比如分解多項(xiàng)式a2①a2又比如多項(xiàng)式a3②a3仿照以上方法，分解多項(xiàng)式a5-1的結(jié)果是【變式4-2】（2023春·湖南常德·八年級統(tǒng)考期中）閱讀與思考在因式分解中，有些多項(xiàng)式看似不能分解，如果添加某項(xiàng)，可以達(dá)到因式分解的效果，此類因式分解的方法稱之為“添項(xiàng)法”．例如：a4參照上述方法，我們可以對a3a任務(wù)：(1)請根據(jù)以上閱讀材料補(bǔ)充完整對a3(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3【變式4-3】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？既＃╅喿x理解：添項(xiàng)法是代數(shù)變形中非常重要的一種方法，在整式運(yùn)算和因式分解中使用添項(xiàng)法往往會起到意想不到的作用，例如：例1：計(jì)算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332……＝3例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根據(jù)材料解決下列問題：(1)計(jì)算：(1+1(2)小明在作業(yè)中遇到了這樣一個(gè)問題，計(jì)算(14+4)(54+4)(94+4)……(494①分解因式：x4+4；②計(jì)算：(1【題型5利用拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】【例5】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）閱讀理解，并解答下面的問題：拆項(xiàng)法原理：在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中，常經(jīng)過整理、化簡，通常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或相互抵消為零．反過來，在對某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)（拆項(xiàng)）．例：分解因式：x2＋4x＋解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x＝（x2＋x）＋（3x＋3＝x（x＋1）＋3（x＋1）對每一組分別提取公因式＝（x＋3）（x＋1）繼續(xù)提公因式請類比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋【變式5-1】（2023春·黑龍江雞西·八年級?？计谀├貌痦?xiàng)法，分解因式：x2﹣6x﹣7；【變式5-2】（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）利用拆項(xiàng)法，解決下列問題：(1)分解因式：x2(2)分解因式：a2【變式5-3】（2023春·八年級單元測試）閱讀理解題：拆項(xiàng)法是因式分解中一種技巧較強(qiáng)的方法，它通常是把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，再分組分解，因而有時(shí)需要多次實(shí)驗(yàn)才能成功，例如把x3-3x2+4分解因式，這是一個(gè)三項(xiàng)式，最高次項(xiàng)是三次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應(yīng)用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數(shù)項(xiàng)拆成1原式==公式：a3+根據(jù)上述論法和解法，（1）因式分解：x3（2）因式分解：x3（3）因式分解：x4【題型6利用因式分解確定三角形的形狀】【例6】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，則△ABC為三角形．【變式6-1】（2023春·河南鄭州·八年級校聯(lián)考期中）若△ABC三邊a、b、c滿足a2-ab-ac+bc=0，則△ABC是【變式6-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知：a，b，c是三角形的三邊，且滿足(a+b+c)2【變式6-3】（2023春·八年級統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）已知等腰三角形ABC的三邊長a、b、c均為整數(shù)，且滿足a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形共有個(gè)．【題型7利用因式分解求最值】【例7】（2023春·湖南株洲·八年級株洲二中?？计谀┱麛?shù)a、b、c是△ABC的三條邊（a<b<c），若△ABC的周長為30，那么c2+18a+18b-446的最小值為【變式7-1】（2023春·遼寧阜新·八年級校考階段練習(xí)）利用完全平方公式因式分解在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，請回答下列問題：(1)因式分解：x2-4x+4=(2)填空：當(dāng)x=__________時(shí)，代數(shù)式x2(3)閱讀如下材料，完成下列問題：對于二次三項(xiàng)式求最值問題，有如下示例：x2因?yàn)閤-12≥0，所以x-12+2≥2，所以當(dāng)①代數(shù)式x2+10x+2的最小值是②拓展與應(yīng)用：求代數(shù)式a2【變式7-2】（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知A為多項(xiàng)式，且A=-2x2-y2A．最大值23 B．最小值23 C．最大值-23 D．最小值-23【變式7-3】（2023·安徽亳州·八年級專題練習(xí)）求x2-6xy+10y2【題型8因式分解在新定義問題中的運(yùn)用】【例8】（2023春·全國·八年級期末）整式乘法與多項(xiàng)式因式分解是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩種變形．例如，a(b+c+d)=ab+ac+ad是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則；把這個(gè)法則反過來，得到ab+ac+ad=a(b+c+d)，這是運(yùn)用提取公因式法把多項(xiàng)式因式分解．又如(a±b)2=a2±2ab+b2有時(shí)在進(jìn)行因式分解時(shí)，以上方法不能直接運(yùn)用，觀察甲、乙兩名同學(xué)的進(jìn)行的因式分解．甲：x=(x=x(x-y)+4(x-y)（分別提公因式）=(x-y)(x+4)乙：a=a=a=(a+b-c)(a-b+c)請你在他們解法的啟發(fā)下，完成下面的因式分解問題一：因式分解：（1）m3（2）x2問題二：探究對x、y定義一種新運(yùn)算F，規(guī)定：F(x,y)=(mx+ny)(3x-y)（其中m，n均為非零常數(shù)）．當(dāng)x2≠y2時(shí)，F(xiàn)(x,y)=F(y,x)對任意有理數(shù)x、y都成立，試探究【變式8-1】定義：任意兩個(gè)數(shù)a，b，按規(guī)則c=ab+a+b擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)c，稱所得的新數(shù)c為“如意數(shù)”.（1）若a=2，b=-1，直接寫出a，b的“如意數(shù)”c；（2）如果a=m-4，b=-m，求a，b的“如意數(shù)”c，并證明“如意數(shù)”c≤0；（3）已知a=x2(x≠0)，且a，b的“如意數(shù)”為c=x4【變式8-2】（2023春·河南周口·八年級?？计谀┰O(shè)m、n是實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算：m?n=(m-n)2．下面四個(gè)推斷正確的是（A．m?n=n?m B．(m?n)C．(m?n)?p=m?(n?p) D．m?(n-p)=(m?n)-(m?p)【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級期末）定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成a2＋b2（a，b是正整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如：因?yàn)?3＝32＋22，所以13是“完美數(shù)”；再如：因?yàn)閍2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美數(shù)”．（1）請直接寫出一個(gè)小于10的“完美數(shù)”，這個(gè)“完美數(shù)”是；（2）判斷53（請?zhí)顚憽笆恰被颉胺瘛保椤巴昝罃?shù)”；（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整數(shù)，k是常數(shù)），要使M為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說明理由；（4）如果數(shù)m，n都是“完美數(shù)”，試說明mn也是“完美數(shù)”．【題型9因式分解在閱讀理解中的運(yùn)用】【例9】（2023春·八年級統(tǒng)考期末）（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：將一個(gè)形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足q=mn且p=m+n，則可以把x2例如：（1）x2+4x+3=x+1x+3；（根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．(1)x2(2)x2(3)x-4x+7【變式9-1】（2023春·湖南湘潭·八年級統(tǒng)考期末）材料1：由多項(xiàng)式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，將該式子從右到左使用，即可對形如x材料2：因式分解：x+y2+2x+y+1，將“x+y”看成一個(gè)整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=上述用到整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法．請你根據(jù)以上閱讀材料解答下列問題：(1)根據(jù)材料1將x2(2)根據(jù)材料2將x-y2(3)結(jié)合材料1和材料2，將m2【變式9-2】（2023春·全國·八年級期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如ax2+bx+ca≠0的多項(xiàng)式變形為x即：x2根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)把下列多項(xiàng)式因式分解