偏微分學(xué)習(xí)有感

偏微分學(xué)習(xí)有感Pb06001067鄭澤敏經(jīng)過一學(xué)期的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)雖然偏微學(xué)的是解方程，用的東西是相當(dāng)多的。記得以前一位統(tǒng)計系的室友跟我說很后悔學(xué)微分幾何，覺得那對他們沒什么用。當(dāng)時我就覺得他太狹隘，就算幾何對他們沒用，扎實一下分析底功也好??！但是在這學(xué)期的偏微學(xué)習(xí)中我找到了他們狹隘的確鑿證據(jù)。首先，偏微是統(tǒng)計系的必修課，重要性毋庸置疑，不論在物理還是金融領(lǐng)域都隨處可見它的身影。而且解方程絕不是孤立的，不可能憑空想象一個方程再憑空去解，那種事情即使能辦到也是沒有意義的。它來源于現(xiàn)實生活中的模型，其解決方案更是各有千秋。下面我僅就微分幾何在其中的體現(xiàn)發(fā)表一些感慨。偏微分方程中最簡單的恐怕要數(shù)一階線性方程了，但正是在求解這種方程的過程中我發(fā)現(xiàn)自己實際上是在找一個曲面，一個所謂的“積分曲面”，它就是方程的解?？紤]如下的一階擬線性方程：a(x,y,u)ux+b(x,y,u)uy=c(x,y,u)用幾何的觀點看，就是找一個函數(shù)u使向量(ux,uy,-1)滿足與向量(a,b,c)正交，而向量(uu-1)又可看作是(10u)與(01u)的直積(差x,y, , ,x,,y個方向)，但(10u)，(01u)又恰好是曲面(乂",訊乂"))切平面上的,,x ,,y一組基，它們的直積就是曲面的法向量，于是乎，既然(a,b,c)與它正交，那(a,b,c)也在切平面里了。所以，求解那個方程，說白了就是找一個曲面(x,y,u(x,y)),對于每個(x,y)讓(a,b,c)掉在它的切平面內(nèi)就行了。當(dāng)然嘍，一條在每點都以(a,b,c)為切向量的曲線是很特殊的，它叫那個方程的特征曲線。憑直覺你就會想到這種曲線會掉在曲面內(nèi)(如果它們有交點的話)，畢竟要找的曲面就是要滿足在每點都以(a,b,c)為切向量嘛!當(dāng)然這需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，主要是一些常微的底功(在此主要討論幾何與方程，就不敖述了)。這樣一來，你會發(fā)現(xiàn)要找的曲面正是由這些曲線拼出來的，就是說解方程又被化成找曲線了！這是解一階擬線性方程的核心：在任給的一個初始曲線(非特征曲線)下，在足夠小的范圍內(nèi)過曲線上的每點作特征曲線，這族特征曲線就拼成了一個曲面，它就是積分曲面，或者說是局部狀態(tài)下方程的解。之后所有具體的求解過程都是在這個思想的指導(dǎo)下進行的。呵呵，我想那些沒學(xué)過微分幾何的同學(xué)是不能深刻體會到它的強大指導(dǎo)作用。此外，在高維情形中，如果沒有對積分曲面沒有很好的認(rèn)識，容易被弄得暈頭轉(zhuǎn)向。給你一個n-1維超平面r：TOC\o"1-5"\h\zx=f(s1,s2, s)，z=h(s1,s2, s),i=1,2 ，n;ii n-1 n-1要求積分曲面:x=X(s1,s2, s,t)，z=Z(s1,s2, s,t),i=1,2 ，ii n-1 n-1n;通過這個超平面。用微分幾何中測地平行坐標(biāo)系的概念，可以很輕松的理解它：原來的n-1維超平面r(類比一維)可以看成測地平行坐標(biāo)系中的u線，si看成弧長參數(shù)，那么t視為v線的弧長參數(shù)，給定曲面后，一個測地坐標(biāo)(s1,s2,……sn-1,t)可以唯一確定曲面上的一個點(x1,……,xn,z)，反之亦然。所以在初始曲線上的一個點處沿著v線(特征曲線)走步長t，就能找到相應(yīng)的曲面點。當(dāng)然這只是解

方程時形象上的理解，不是嚴(yán)格的測地坐標(biāo)系。最后還想提得的一點是書上在化二階半線性方程為標(biāo)準(zhǔn)型時太繁，微分幾何中不是有矩陣法可以快速求出參數(shù)變換后的系數(shù)嗎！給定一個二階半線性方程au+2au+au+F(x,y,u,u,u)=0和一個11xx12xy22yy xy參數(shù)變換：E=￡(x,y),T|=T|(x,y)，要是一個個把UxxUxy,Uyy算出來那就太虧了，還很容易算錯，我小測時就是這樣第一題沒算出來還賠進去20多分鐘。矩陣變換就快多了，讓A=%%,由aaI'21 227P、[P、[8'dx(￡T|)_ X 1X,可將原來的dUnJdI?>bn)化為'8 8、(￡￡)x y'aa11 12(￡T|)X 1Xds,這樣中間的二個矩陣相乘〔七nJIaaJ'21 22718njd\ Jbny是非常簡單的，比原來的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)快多了。如果需要一階項的話只需在鏈?zhǔn)角髮?dǎo)中單獨找出一階項即可，省力許多?？上倚y時未悟到導(dǎo)致只有可憐的80出頭，望老師手下留情，讓小測少占些比例，畢競當(dāng)時還不熟練嘛.當(dāng)然嘍，泛函，實變，復(fù)變，傅立葉變換等也都在偏微的學(xué)習(xí)過程中嶄露頭角，不得不承認(rèn)偏微的學(xué)習(xí)是一頓跨學(xué)科的大