高考數(shù)學 8.3 圓 的 方 程練習試題

課時提升作業(yè)(五十)圓的方程(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.已知一圓的圓心為點(2,-3),一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上,則此圓的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52【解析】選A.因為圓心(2,-3)是直徑的中點,所以此直徑的兩個端點坐標分別為(4,0),(0,-6),所以半徑長r=所以所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13.2.(2015·天津模擬)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓有最大的面積,則取最大面積時,該圓的圓心的坐標為()A.(-1,1) B.(-1,0)C.(1,-1) D.(0,-1)【解析】選D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圓的半徑r=當k=0時,rmax==1,此時圓的方程為x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圓心為(0,-1).3.(2015·北京模擬)已知平面上點P∈{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=16},其中x02+A.4π B.16π C.32π D.36π【解析】選C.由題意可得,點P在圓(x-x0)2+(y-y0)2=16上,而且圓心(x0,y0)在以原點為圓心,以2為半徑的圓上.滿足條件的點P在平面內(nèi)所組成的圖形的面積是以6為半徑的圓的面積減去以2為半徑的圓的面積,即36π-4π=32π,故選C.4.若圓x2+y2-2x+6y+5a=0關(guān)于直線y=x+2b成軸對稱圖形,則a-b的取值范圍是()A.(-∞,4) B.(-∞,0)C.(-4,+∞) D.(4,+∞)【解析】選A.將圓的方程變形為(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圓心為(1,-3),且10-5a>0,即a<2.因為圓關(guān)于直線y=x+2b對稱,所以圓心在直線y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b<4.【方法技巧】兩種對稱問題的解決方法(1)點(a,b)關(guān)于直線y=x+m的對稱點坐標為(b-m,a+m).(2)點(a,b)關(guān)于直線y=-x+m的對稱點坐標為(-b+m,-a+m).5.已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A.π B.4π C.8π D.9π【解析】選B.設(shè)P(x,y),由題意有,(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圓的面積為4π.【加固訓練】如圖所示,已知P(4,0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點,A,B是圓上兩動點,且滿足∠APB=90°,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.【解析】設(shè)AB的中點為R,坐標為(x1,y1),連接OR,PR,則在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中點,所以在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x12+又|AR|=|PR|=QUOTEy12,所以有(x1-4)2+y12=36-(x1即x12+因此點R在一個圓上,而當R在此圓上運動時,點Q即在所求的軌跡上運動.設(shè)Q(x,y),因為R是PQ的中點,所以x1=,y1=,代入方程x12+y12得整理得:x2+y2=56,即所求Q點的軌跡方程為x2+y2=56.6.已知點P(2,2),點M是圓O1:x2+(y-1)2=上的動點,點N是圓O2:(x-2)2+y2=上的動點,則|PN|-|PM|的最大值是()A.-1 B.-2C.2- D.3-【解析】選D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+-(|PO1|-)=|PO2|-|PO1|+1=2-+1=3-.7.(2015·長春模擬)已知函數(shù)f(x)=1+x-,設(shè)F(x)=f(x+4),且函數(shù)F(x)的零點均在區(qū)間[a,b],(a<b,a,b∈Z)內(nèi),圓x2+y2=b-a的面積的最小值是()A.π B.2π C.3π D.4π【解析】選A.因為f(x)=1+x-,所以當x<-1或x>-1時,f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2012=>0.而當x=-1時,f′(x)=2013>0,所以f′(x)>0對任意x∈R恒成立,得函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),因為f(-1)=(1-1)+<0,f(0)=1>0,所以函數(shù)f(x)在R上有唯一零點x0∈(-1,0),因為F(x)=f(x+4),得函數(shù)F(x)的零點是x0-4∈(-5,-4),所以a≤-5且b≥-4,得b-a的最小值為-4-(-5)=1,因為圓x2+y2=b-a的圓心為原點,半徑r=,所以圓x2+y2=b-a的面積為πr2=π(b-a)≥π,可得面積的最小值為π,故選A.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2015·泰州模擬)若過點P(a,a)可作圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的兩條切線,則實數(shù)a的取值范圍是.【解析】圓的方程可化為(x-a)2+y2=3-2a,因為過點P(a,a)能作圓的兩條切線,所以點P在圓的外部,即解之得a<-3或1<a<.故a的取值范圍為(-∞,-3)∪(1,).答案:(-∞,-3)∪(1,）9.(2015·長沙模擬)已知圓M的圓心在直線x-y-4=0上并且經(jīng)過圓x2+y2+6x-4=0與圓x2+y2+6y-28=0的交點,則圓M的標準方程為.【解析】設(shè)兩圓交點為A,B,由方程組求得故點A(-1,3),B(-6,-2),因此AB的垂直平分線的方程為x+y+3=0.再由故圓心為所以所求的圓的方程為(x-)2+(y+)2=.答案:(x-)2+(y+)2=【加固訓練】若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標準方程是.【解析】設(shè)圓心C(a,b)(a>0,b>0),由題意可得b=1.又圓心C到直線4x-3y=0的距離d==1,解得a=2或a=-(舍去).所以該圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=110.(2015·聊城模擬)已知x,y滿足x2+y2=1,則的最小值為.【解析】表示圓上的點P(x,y)與點Q(1,2)連線的斜率,所以的最小值是直線PQ與圓相切時的斜率.設(shè)直線PQ的方程為y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由結(jié)合圖形可知,≥,故最小值為.答案:(20分鐘40分)1.(5分)(2015·威海模擬)在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx+2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最小值是()【解析】選A.圓C的方程可化為(x-4)2+y2=1,易知圓C的圓心為(4,0),半徑為1.由題意知,直線y=kx+2上存在一點A,以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則AC≤1+1成立,即AC≤2.因為AC=所以≤2,解得-≤k≤0.所以k的最小值是-,選A.2.(5分)已知圓C關(guān)于y軸對稱,經(jīng)過點(1,0)且被x軸分成兩段弧長比為1∶2,則圓C的方程為()A.(x±)2+y2= B.(x±)2+y2=C.x2+(y±)2= D.x2+(y±)2=【解析】選C.由已知圓心在y軸上,且被x軸所分劣弧所對圓心角為π,設(shè)圓心(0,a),半徑為r,則rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,即a=±,故圓C的方程為x2+(y±)2=.3.(5分)(2014·溫州模擬)已知直線ax+by=1(a,b是實數(shù))與圓O:x2+y2=1(O是坐標原點)相交于A,B兩點,且△AOB是直角三角形,點P(a,b)是以點M(0,1)為圓心的圓M上的任意一點,則圓M的面積的最小值為.【解析】因為直線與圓O相交所得△AOB是直角三角形,可知∠AOB=90°,所以圓心O到直線的距離為所以a2=1-b2≥0,即-≤b≤.設(shè)圓M的半徑為r,則r=|PM|==(2-b),又-≤b≤,所以+1≥|PM|≥-1,所以圓M的面積的最小值為(3-2)π.答案:(3-2)π4.(12分)已知定點A(0,1),B(0,-1),C(1,0),動點P滿足:AP→·BP(1)求動點P的軌跡方程,并說明方程表示的曲線類型.(2)當k=2時,求|2AP→+【解析】(1)設(shè)動點坐標為P(x,y),則AP→=(x,y-1),BP→=(x,y+1),PC→=(1-x,-y).因為(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0.若k=1,則方程為x=1,表示過點(1,0)且平行于y軸的直線.若k≠1,則方程為表示以（,0）為圓心,以為半徑的圓.(2)當k=2時,方程化為(x-2)2+y2=1,因為2AP→+所以|2AP→+B又x2+y2=4x-3,所以|2AP→+=問題歸結(jié)為求6x-y的最值,令t=6x-y,由于點P在圓(x-2)2+y2=1上,故圓心到直線t=6x-y的距離不大于圓的半徑,即≤1,解得12-≤t≤12+,結(jié)合|2AP→+BP→|=,得|2AP最小值為.【一題多解】本題還可以用以下方法求解方法一:問題歸結(jié)為求6x-y的最值,令t=6x-y,則y=6x-t,代入圓的方程,得到一個關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)這個方程的判別式不小于零得到與原解析完全相同的結(jié)果.方法二:因為(x-2)2+y2=1,所以令x=2+cosθ,y=sinθ,則36x-6y-26=6cos(θ+φ)+46∈[46-6,46+6],所以|2AP→+BP→|的最大值為【方法技巧】解決有關(guān)圓的最值問題一般要“數(shù)”與“形”結(jié)合,根據(jù)圓的知識探求最值時的位置關(guān)系.解析幾何中數(shù)形結(jié)合思想主要表現(xiàn)在以下兩方面:(1)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題.(2)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等.5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)如圖,已知圓O的直徑|AB|=4,定直線l到圓心的距離為4,且直線l垂直于直線AB.點P是圓O上異于A,B的任意一點,直線PA,PB分別交l于M,N兩點.(1)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓的方程.(2)當點P變化時,求證:以MN為直徑的圓必過圓O內(nèi)的一定點.【解析】如圖,建立直角坐標系,得☉O的方程為x2+y2=4,直線l的方程為x=4.(1)當點P在x軸上方時,因為∠PAB=30°,所以點P的坐標為(1,),所以lAP:y=(x+2),lBP:y=-(x-2).將x=4分別代入,得M(4,2),N(4,-2),所以線段MN的中點坐標為(4,0),|MN|=4.所以以MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=12.同理,當點P在x軸下方時,所求圓的方程仍是(x-4)2+y2=12.綜上,以MN為直徑的圓的方程為(x-4)