高考數(shù)學(xué) 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性練習(xí)試題

課時提升作業(yè)(六)函數(shù)的奇偶性與周期性(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.定義域?yàn)镽的四個函數(shù)y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函數(shù)的個數(shù)是()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】選C.由奇函數(shù)的概念可知y=x3,y=2sinx是奇函數(shù).2.(2015·廣州模擬)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是()A.y= B.y=e-xC.y=-x2+1 D.y=lg|x|【解析】選C.A中,y=為奇函數(shù),故排除A;B中,y=e-x為非奇非偶函數(shù),故排除B;C中,y=-x2+1的圖象關(guān)于y軸對稱,故為偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減;D中,y=lg|x|為偶函數(shù),在x∈(0,+∞)時單調(diào)遞增,排除D.3.已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)=2x2,則f(2015)等于()A.-2 B.2 C.-98 【解析】選A.因?yàn)閒(x+4)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),所以f(2015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1).又f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即f(2015)=-2.【方法技巧】周期性問題常與奇偶性相結(jié)合,解題時注意以下兩點(diǎn):(1)周期的確定:特別是給出遞推關(guān)系要明確周期如何確定.(2)周期性與奇偶性在解題時,一般情況下周期性起到自變量值轉(zhuǎn)換作用,奇偶性起到調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)化正負(fù)號的作用.【加固訓(xùn)練】(2015·皖北八校模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)時,f(x)=2x+,則f(2013)=()A.-1 B.0 C.1 D.±1【解析】選A.因?yàn)閒(-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).因?yàn)閒(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函數(shù)的周期為4.所以f(2013)=f(4×503+1)=f(1).因?yàn)閒(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2013)=f(1)=-1,故選A.4.(2015·長春模擬)x為實(shí)數(shù),[x]表示不超過x的最大整數(shù),則函數(shù)f(x)=x-[x]在R上為()A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.增函數(shù) D.周期函數(shù)【解析】選D.當(dāng)n為整數(shù)時,必有[n+x]=n+[x]成立.設(shè)k∈Z,且k≠0,則f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必為周期函數(shù),故選D.【一題多解】本題還可以采用如下方法:方法一:(特值法)取x1=1.2,x2=2,則f(x1)=1.2-[1.2]=0.2,f(-x1)=-1.2-[-1.2]=0.8,所以f(-x1)≠±f(x1),所以f(-x)≠±f(x),故A,B錯;又f(x1)=0.2,f(x2)=0,顯然f(x)不是增函數(shù),故C錯,故選D.方法二:(圖象法)依據(jù)已知可以作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,則可知f(x)是有界,且周期為k(k∈Z,k≠0)的非單調(diào)函數(shù),其最小正周期為1,故選D.5.若函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),則a的值為()A.0 B.1 C.2 D.4【解析】選A.由f(-1)=-f(1),得,所以(-1+a)2=(1+a)2,解得a=0.6.(2015·重慶模擬)已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=lgx,則f(f())的值等于()A. B.- C.lg2 D.-lg2【解析】選D.因?yàn)楫?dāng)x>0時,f(x)=lgx,所以f()=lg=-2,則f(f())=f(-2),因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是奇函數(shù),所以f(f())=-f(2)=-lg2.7.(2015·黃岡模擬)能夠把圓O:x2+y2=16的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓O的“和諧函數(shù)”,下列函數(shù)不是圓O的“和諧函數(shù)”的是()A.f(x)=4x3+x B.f(x)=lnC.f(x)=tan D.f(x)=ex+e-x【解析】選D.由“和諧函數(shù)”的定義知,若函數(shù)為“和諧函數(shù)”,則該函數(shù)為過原點(diǎn)的奇函數(shù).A中,f(0)=0,且f(x)為奇函數(shù),所以f(x)=4x3+x為“和諧函數(shù)”;B中,f(0)=ln=ln1=0,且f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),所以f(x)=ln為“和諧函數(shù)”;C中,f(0)=tan0=0,且f(-x)=tan(-)=-tan=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),故f(x)=tan為“和諧函數(shù)”;D中,f(0)=e0+e-0=2,所以f(x)=ex+e-x的圖象不過原點(diǎn),所以f(x)=ex+e-x不是“和諧函數(shù)”.二、填空題(每小題5分,共15分)8.f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=log2(1-x),則f(3)=.【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案:-29.若函數(shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-|x+a|為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0.答案:010.(2015·長沙模擬)設(shè)定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【解析】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等價于f(|1-m|)<f(|m|).又當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)是減函數(shù).所以解得-1≤m<.答案:[-1,)(20分鐘40分)1.(5分)(2014·山東高考)對于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a≠0,使得x取定義域內(nèi)的每一個值,都有f(x)=f(2a-x),則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()A.f(x)= B.f(x)=x2C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)【解題提示】本題為新定義問題,準(zhǔn)確理解準(zhǔn)偶函數(shù)的概念再運(yùn)算.【解析】選D.由f(x)=f(2a-x)可知,f(x)關(guān)于x=a對稱,準(zhǔn)偶函數(shù)即偶函數(shù)左右平移得到的.【加固訓(xùn)練】定義兩種運(yùn)算:a?b=,a⊕b=,則f(x)=是()A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既奇又偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)【解析】選A.因?yàn)??x=,x⊕2=,所以f(x)=該函數(shù)的定義域是[-2,0)∪(0,2],且滿足f(-x)=-f(x).故函數(shù)f(x)是奇函數(shù).2.(5分)(2015·杭州模擬)若偶函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,則y=f(x)的圖象與y=log4|x|的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是()A.3 B.4 C.6 D.8【解析】選C.由于f(x)是滿足f(x+2)=f(x)的偶函數(shù),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,故f(x)是周期為2的周期函數(shù),其圖象如圖所示,根據(jù)函數(shù)y=log4|x|也是偶函數(shù),其圖象也關(guān)于y軸對稱,容易知道它們的交點(diǎn)共有6個.故選C.3.(5分)(2015·西安模擬)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=.【解析】f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,所以f(-x)=-f(x),f(+x)=f(-x)?f(x)=f(1-x),所以f(-x)=f(1+x)=-f(x),f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0,f(0)=f(2)=f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.答案:0【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)滿足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),則f(2015)=.【解析】令x=1,y=0時,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得f(0)=,令x=1,y=1時,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),解得f(2)=-,令x=2,y=1時,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…可知f(x)是以6為周期的函數(shù),所以f(2015)=f(335×6+5)=f(5)=.答案:【一題多解】本題還可以采用如下方法:因?yàn)閒(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),所以構(gòu)造符合題意的函數(shù)f(x)=所以f(2015)=答案:4.(12分)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論.(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閷τ谌我鈞1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)為偶函數(shù).證明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).(3)依題設(shè)有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函數(shù),所以f(x-1)<2,等價于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范圍是{x|-15<x<17且x≠1}.5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性.(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2014,2014]上根的個數(shù),并證明你的結(jié)論.【解析】(1)若y=f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x),所以f(7)=f(3)=0,這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是偶函數(shù).若y=f(x)為奇函數(shù),則f(0)=-f(0),所以f(0)=0,這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因