中小學(xué)數(shù)列中的裂項(xiàng)放縮訓(xùn)練題公開課教案教學(xué)設(shè)計(jì)課件案例測(cè)試練習(xí)卷題

數(shù)列中的裂項(xiàng)放縮訓(xùn)練題一、先求和后放縮1.已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)，數(shù)列的通項(xiàng)公式.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）證明：2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和（I）求首項(xiàng)與通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求證：.3.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的n項(xiàng)和為Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）若bn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的取值范圍．二、先放縮后求和4.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，其中.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.5.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，（I）求的通項(xiàng)公式；（II）求證：對(duì)一切，均有.6.已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列滿足：an+1(b1+b2．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，證明：．三、不求通項(xiàng)放縮7.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列，若是與的等比中項(xiàng),,（I）求;（II）若數(shù)列滿足,，求證:.【參考解析】一、先求和后放縮1.已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)，數(shù)列的通項(xiàng)公式.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）證明：【解析】（Ⅰ）由是，的等差中項(xiàng)得，所以，解得，由，得，解得或，因?yàn)?，所以，所以；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，，∴，2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和（I）求首項(xiàng)與通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求證：.【解析】（Ⅰ）由①得，所以.再由①有②將①和②相減得整理得，因而數(shù)列是首項(xiàng)為a1+2=4，公比為4的等比數(shù)列，即，因而，（Ⅱ）將代入①得所以，3.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的n項(xiàng)和為Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）若bn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的取值范圍．【解析】（I）由題意，當(dāng)n＝1時(shí)，a12+2a1＝4S1﹣1＝4a1﹣1，整理，得a12﹣2a1+1＝0，解得a1＝1．當(dāng)n≥2時(shí)，由an2+2an＝4Sn﹣1，可得，兩式相減，可得，即an2﹣an﹣12＝2an+2an﹣1，∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1），∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝2，∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（II）由（1）知，Sn＝n2＝n2，則bn[]，∴Tn＝b1+b2+…+bn（1）（）[][1][1]，又∵an＞0，n∈N*，∴bn＞0，∴Tn≥T1＝b1（1），∴Tn．∴Tn的取值范圍為[，）．二、先放縮后求和4.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，其中.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【解析】(I)（*），又由，求得，滿足（*）式，所以故時(shí)首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以.(II)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，5.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，（I）求的通項(xiàng)公式；（II）求證：對(duì)一切，均有.【解析】（I）由，所以，又滿足此式，所以，根據(jù)，得，所以.（II）所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然成立，所以.6.已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列滿足：an+1(b1+b2．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，證明：．【解析】由得，兩式相減得，又由，得，進(jìn)一步得.（Ⅱ）由，得，則，那么，故，同理，，故.三、不求通項(xiàng)放縮7.設(shè)公差不為零的等差數(shù)