第17講 數(shù)學(xué)歸納法（人教A版2019選擇性必修第二冊）（原卷版）

第17講數(shù)學(xué)歸納法【人教A版2019】·模塊一數(shù)學(xué)歸納法·模塊二課后作業(yè)模塊一模塊一數(shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：

第一步(歸納莫基)，證明當(dāng)n取第一個值()時命題成立；

第二步(歸納遞推)，以當(dāng)n=k(k≥,k)時命題成立為條件，推出當(dāng)n=k+1時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立.

上述證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論及適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論適用范圍只適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題【考點1數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟】【例1.1】（2023春·陜西西安·高二?？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明“1n+1+1n+2+1n+3A．13k+4 B．C．13k+2+1【例1.2】（2023春·上海·高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn+yA．假設(shè)n=2k+1(k∈N?)B．假設(shè)n=2k?1(k∈N?)C．假設(shè)n=k(k∈N?)D．假設(shè)n=k(k≥1)正確，再推n=k+2正確【變式1.1】（2023·全國·高三對口高考）已知f(n)=1+12+13+?+1nn∈A．2k?1 B．2k C．2【變式1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)知識，知道數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明與正整數(shù)n相關(guān)的命題.下列三個證明方法中，可以證明某個命題pn對一切正整數(shù)n都成立的是（

①p1成立，且對任意正整數(shù)k，“當(dāng)1≤i≤k時，pi均成立”可以推出“②p1，p2均成立，且對任意正整數(shù)k，“pk③p2成立，且對任意正整數(shù)k≥2，“pk成立”可以推出“p2kA．②③ B．①③ C．①② D．①②③【考點2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】【例2.1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)1+3+5+?+2n?1(2)1×4+2×7+3×10+?+n3n+1【例2.2】（2023秋·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1?n+2?n?1+3?n?2【變式2.1】（2023·高二校考課時練習(xí)）觀察下面等式：1=1【變式2.2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）1+3+5+…+2n?1（2）1+2+2（3）13【考點3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】【例3.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）證明∶不等式32【例3.2】（2023春·高二課時練習(xí)）證明：對于一切自然數(shù)n≥1都有2n【變式3.1】（2022·高二課時練習(xí)）試用數(shù)學(xué)歸納法證明12【變式3.2】（2023秋·高二課時練習(xí)）設(shè)an=1+12+13【考點4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題】【例4.1】（2022·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)有n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，試證明這n個圓把平面分成了n2【例4.2】（2023·高二課時練習(xí)）試證明對任何自然數(shù)n?6，每一個正方形都可分成n個正方形.【變式4.1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知n≥2，且平面內(nèi)有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點，證明這些直線的交點的個數(shù)為f(n)=n(n?1)【變式4.2】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，類似于中國結(jié)的一種刺繡圖案，這些圖案由小正方形構(gòu)成，其數(shù)目越多，圖案越美麗，若按照前4個圖中小正方形的擺放規(guī)律，設(shè)第n個圖案所包含的小正方形個數(shù)記為f(n)．（1）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n+1)與f(n)的關(guān)系，并通過你所得到的關(guān)系式，求出f(n)的表達式；（2）計算：1f(1)+1f(2)?1，猜想1f(1)+1【考點5用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題】【例5.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3+n+13+【例5.2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)n∈N?，用數(shù)學(xué)歸納法證明：【變式5.1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求證：對任意正整數(shù)n，x2n?y【變式5.2】（2023·全國·高三對口高考）是否存在正整數(shù)m使得fn=2n+7?3n+9【考點6用歸納法解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題】【例6.1】（2023春·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，(1)計算a1，a2，a3，a(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．【例6.2】（2023春·北京房山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列an的通項公式為an=1n(1)計算S1，S2，S3(2)根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn【變式6.1】（2023春·山西太原·高二?？茧A段練習(xí)）下題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？把錯誤的地方改正確．用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前n項和公式是Sn=證明，①當(dāng)n=1時，左邊=S1=a②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時，等式成立，即SkSk+1Sk+1上面兩式相加并除以2，可得Sk+1即當(dāng)n=k+1時，等式也成立．由①②可知，等差數(shù)列的前n項和公式是S【變式6.2】（2023秋·江蘇南京·高三?？计谀┮阎獢?shù)列an,b(1)求an(2)記數(shù)列anbn的前n項和為S模塊模塊三課后作業(yè)1．（2023春·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的n∈N?，12+2A．12=1×1×3C．12+22．（2023春·四川成都·高二校考階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+1n+3+???+12n>A．12k+1 C．12k+1+13．（2023春·高二課時練習(xí)）如果命題Pn對n=k成立，則它對n=k+1也成立，現(xiàn)已知Pn對n=4不成立，則下列結(jié)論中正確的是（A．Pn對n∈N?成立 B．Pn對C．Pn對n<4且n∈N?成立 D．Pn對4．（2023·高二課時練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=1，Sn表示前n項和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數(shù)列，通過計算S1A．2n+12n?1 B．2n?12n?15．（2023春·上海浦東新·高一?？计谀┈F(xiàn)有命題“1?2+3?4+5?6+?+?1n+1n=14A．不能用數(shù)學(xué)歸納法判斷此命題的真假B．此命題一定為真命題C．此命題加上條件n≤9后才是真命題，否則為假命題D．存在一個很大的常數(shù)m，當(dāng)n>m時，此命題為假命題6．（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明fn=1+12+13+???+12n7．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任何2條不平行，任何3條不過同一點，求證：它們交點的個數(shù)f(n)=n(n?1)8．（2023·高二校考課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+29．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二?？计谀┯^察下面三個等式：第1個：11×3第2個：11×3第3個：1(1)按照以上各式的規(guī)律，寫出第4個等式；(2)按照以上各式的規(guī)律，猜想第n個等式（n為正整數(shù)）；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想成立．10．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明以下恒等式n∈N(1)?1+3?5+?+?1(2)n+1n+211．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將凸2n+1（n≥2）邊形的頂點染色，使得任意兩個相鄰頂點染不同的顏色．證明；對上述的任意一種染色方法，此2n+1邊形都可用不相交的對角線分為若干個三角形，使得三角形中每條對角線的端點不同色．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某次體育比賽，每兩名選手都進行一場比賽，每一場比賽一定決出勝負，通過比賽確定優(yōu)秀選手，選手A被確定為優(yōu)秀選手的條件是對任何其他選B，或者A勝B，或者存在選手C，C勝B，A勝C，如果按上述規(guī)則確定的優(yōu)秀選手只有一名，求證：這名選手勝所有其他選手．13．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）下列各題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？（1）求證：當(dāng)n∈N?時，n=n+1．證明：假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時，等式成立，即k=k+1．則當(dāng)n=k+1時，左邊=k+1=(k+1)+1=右邊．所以當(dāng)n=k+1時，等式也成立．由此得出，對任何n∈N?，等式n=n+1都成立．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前n項和公式是Sn證明，①當(dāng)n=1時，左邊=S1=a②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N?)時，等式成立，即Sk=k(Sk+1Sk+1上面兩式相加并除以2，可得Sk+1即當(dāng)n=k+