山東省棗莊市2022-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

山東省棗莊市2022-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)診斷試題高二數(shù)學(xué)2023.02一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標(biāo)為0，橫、縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D2.已知，且，則的值是（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】由直接列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，故選：A3.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】依題意，.故選：B4.已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：D5.在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，，利用結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】設(shè)，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C6.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【詳解】由，得，，，，，，.故選：B7.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一條平行于y軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則經(jīng)點(diǎn)B反射后的反射光線必過點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出、坐標(biāo)可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出，根據(jù)選項(xiàng)可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯(lián)立解得，所以，因?yàn)榉瓷涔饩€平行于y軸，根據(jù)選項(xiàng)可得D正確,故選：D.8.已如雙曲線（，）的左?右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作輔助線，設(shè)出邊長(zhǎng)，結(jié)合題干條件得到，，利用勾股定理得到關(guān)于的等量關(guān)系，求出離心率.【詳解】連接，設(shè)，則根據(jù)可知，，因?yàn)?，由勾股定理得：，由雙曲線定義可知：，，解得：，，從而，解得：，所以，，由勾股定理得：，從而，即該雙曲線的離心率為.故選：A二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.圓與圓的位置關(guān)系可能是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】ABC【解析】【分析】由圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】整理為：，從而圓心為，半徑為2，而的圓心為，半徑為2，從而兩圓的圓心距為，當(dāng)，即或時(shí)，此時(shí)兩圓外離；當(dāng)，此時(shí)，此時(shí)兩圓外切；由于恒成立，故當(dāng)，即時(shí)，兩圓相交；且，故兩圓不會(huì)內(nèi)含或內(nèi)切，綜上：兩圓得位置關(guān)系可能是外離，外切或相交.故選：ABC10.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.為遞減數(shù)列C.是和的等比中項(xiàng) D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】先由題干中條件得到公差，從而求出通項(xiàng)公式，判斷出AB選項(xiàng)；計(jì)算出，，發(fā)現(xiàn)，故判斷C選項(xiàng)的正誤；D選項(xiàng)為遞增數(shù)列，且，，從而得到最小，計(jì)算出結(jié)果即可判斷.【詳解】由題意得：，因?yàn)椋?，所以通?xiàng)公式為：，A選項(xiàng)正確；由于，所以為遞增數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；通過計(jì)算可得：，，，其中，所以不是和的等比中項(xiàng)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)闉檫f增數(shù)列，且，，故在時(shí)取得最小值，，D選項(xiàng)正確故選：AD11.已知直線，其中，下列說法正確的是（）A.若直線與直線平行，則B.當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直C.直線過定點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線方程的相關(guān)性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若直線與直線平行，則或1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線為，斜率為1，而直線斜率為－1，∴兩條直線垂直，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，恒成立時(shí)，令y＝0，得x＝1，即直線過定點(diǎn)(1，0)，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線為，令，令，所以橫截距和縱截距互為相反數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），下列選項(xiàng)正確的有（）A.B.C.直線與平面所成角的最小值是D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】證明平面得到A正確；取特殊點(diǎn)排除B；根據(jù)距離的最值得到C正確；確定得到D正確，得到答案.【詳解】如圖所示：連接，，，平面，平面，故，，，故，又因?yàn)椋势矫妫忠驗(yàn)槠矫?，故，A正確；當(dāng)與重合時(shí)，即，由于，不垂直，故B錯(cuò)誤；到平面的距離為，當(dāng)最大時(shí)，直線與平面所成角度最小，的最大值為，故此處線面所成角的最小值θ的正弦值為，，故，C正確；，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選：ACD三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.若，，為共面向量，則的值為_________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可求解.【詳解】若為共面向量,則存在一組唯一的實(shí)數(shù)，使得，即，即，解得，故答案為：214.已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等差數(shù)列，則_____________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意得:考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)15.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為平面的中心，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】##【解析】【分析】建立空間坐標(biāo)系，求解直線的單位方向向量，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，，，所?所以點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.16.已知點(diǎn)，，，直線，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的最大值為________；若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________.【答案】①.②.【解析】【分析】直線l表示過點(diǎn)的直線，在平面直角坐標(biāo)系中作出線段，當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí)，直線l與線段相交且斜率最大，求出斜率；作出線段，直線l分別過點(diǎn)B和點(diǎn)C時(shí)，為斜率的臨界值，得到斜率的取值范圍.【詳解】直線l表示過點(diǎn)的直線，在平面直角坐標(biāo)系中作出線段如圖，當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí)，直線l與線段相交且斜率最大，此時(shí)斜率；在平面直角坐標(biāo)系中作出線段如圖，直線l過點(diǎn)B時(shí)，斜率，直線l過點(diǎn)C時(shí)，斜率，所以k的取值范圍為.故答案為：2；四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（1）在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，求.（2）在等比數(shù)列中，求和公比.【答案】（1）72；（2）或【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算首項(xiàng)和公差，再代入計(jì)算；（2）利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求，并結(jié)合確定的具體值，再代入等式計(jì)算可求出，.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意，得解得.所以.（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，又，所以，所以，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.18.給出下列條件：①焦點(diǎn)在軸上；②焦點(diǎn)在軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于；④拋物線的準(zhǔn)線方程是.（1）對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線：從以上四個(gè)條件中選出兩個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使得拋物線的方程是，并說明理由；（2）過點(diǎn)的任意一條直線與交于，不同兩點(diǎn)，試探究是否總有？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）選擇條件①③;詳見解析（2）總有，證明見解析【解析】【分析】（1）通過焦點(diǎn)位置可判斷條件①適合，條件②不適合，通過準(zhǔn)線方程，可判斷條件④不適合，利用焦半徑公式可判斷條件③適合；（2）假設(shè)總有，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在軸上，所以條件①適合，條件②不適合.又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為：，所以條件④不適合題意，當(dāng)選擇條件③時(shí)，，此時(shí)適合題意，故選擇條件①③時(shí)，可得拋物線的方程是；（2）假設(shè)總有，由題意得直線的斜率不為，設(shè)直線方程為，由得設(shè)，所以恒成立，，，則，所以，所以，綜上所述，無論如何變化，總有.【點(diǎn)睛】本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.19.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，直線垂直于平面分別為的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn).（1）證明：與不垂直；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算得出，即可證得結(jié)論成立；或利用反證法；（2）利用空間向量法即求.【小問1詳解】方法一：如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、、．設(shè)，因?yàn)?，，因?yàn)?，所以，得，即點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，故與不垂直．方法二：假設(shè)與垂直，又直線平面平面，所以.而與相交，所以平面又平面，從而又已知是正方形，所以與不垂直，這產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立，即與不垂直得證.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，又，因?yàn)?，所以，令，?設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，令，得因?yàn)?顯然二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值是.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用及已知即可得到證明，從而求得通項(xiàng)公式；（2）先求出通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.小問1詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，又，解得，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故【小問2詳解】因?yàn)?，所以，，，，所以，所?1.某公園有一形狀可抽象為圓柱的標(biāo)志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側(cè)有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離10米．在建筑物底面中心O的東北方向米的點(diǎn)A處，有一全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物的高度．（1）在西輔道上距離建筑物1米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)？（2）求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長(zhǎng)度．【答案】（1）不在（2）17.5米【解析】【分析】（1）以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示直角坐標(biāo)系，求出直線AB方程，判斷直線AB與圓O的位置關(guān)系即可；（2）攝像頭監(jiān)控不會(huì)被建筑物遮擋，只需求出過點(diǎn)A的直線l與圓O相切時(shí)的直線方程即可.【小問1詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則，觀景直道所在直線的方程為依題意得：游客所在點(diǎn)為則直線AB的方程為，化簡(jiǎn)得，所以圓心O到直線AB的距離，故直線AB與圓O相交，所以游客不在該攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi).【小問2詳解】由圖易知：過點(diǎn)A的直線l與圓O相切或相離時(shí)，攝像頭監(jiān)控不會(huì)被建筑物遮擋，所以設(shè)直線l過A且恰與圓O相切，①若直線l垂直于x軸，則l不可能與圓O相切；②若直線l不垂直于x軸，設(shè)，整理得所以圓心O到直線l的距離為，解得或，所以直線l的方程為或，即或，設(shè)這兩條直線與交于D，E由，解得，由，解得，所以，觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長(zhǎng)度為17.5米.22.已知橢圓的離心率是，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方