高二新數(shù)學同步練習合情推理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1.1HYPERLINK”file:///D：\\TDDOWNLOAD\\各科教材\\數(shù)學（人教A版）\\人教A數(shù)學選修1—1，1-2\\2、2—1—1。ppt"\t"_parent”合情推理一、選擇題1．把1，3，6，10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如下圖），則第七個三角形數(shù)是（）A．27 B．28C．29 D．30［答案]B［解析］后面的三角形數(shù)依次在前面的基礎(chǔ)上順次加上2，3，4，5,……，故第七個三角形數(shù)為21＋7＝28。2．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456×9＋7等于（）1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111……A．1111110B．1111111C．1111112 D．1111113［答案]B[解析]可利用歸納推理，由已知可猜測123456×9＋7＝1111111.3．(2009·湖北文,10）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如：他們研究過圖1中的1，3，6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似的，稱圖2中的1，4,9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(）A．289B．1024C．1225D．1378[答案］C[解析]本題主要考查數(shù)形的有關(guān)知識．圖1中滿足a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，以上累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，an＝1＋2＋3＋…＋nan＝eq\f（n·（n＋1），2)，圖2中滿足bn＝n2，一個數(shù)若滿足三角形數(shù)，其必能分解成兩個相鄰自然數(shù)乘積的一半；一個數(shù)若滿足正方形數(shù)，其必為某個自然數(shù)的平方．∵1225＝352＝eq\f(49×50,2），∴選C。4．下面類比推理中恰當?shù)氖?）A．“若a·3＝b·3，則a＝b"類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b"B．“（a＋b）c＝ac＋bc”類比推出“（a·b）c＝ac·bc”C．“(a＋b）c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b，c）＝eq\f(a,c）＋eq\f(b，c)(c≠0）”D．“（ab)n＝anbn"類比推出“（a＋b）n＝an＋bn"［答案］C[解析］結(jié)合實數(shù)的運算律知C是正確的．5．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f（底×高,2），可推知扇形面積公式S扇等于（）A.eq\f(r2,2)B.eq\f（l2,2）C.eq\f(lr，2)D．不可類比[答案］C6．下列哪個平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對象較合適（)A．三角形B．梯形C．平行四邊形D．矩形[答案]C[解析]從構(gòu)成幾何圖形的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面考慮,用平行四邊形作為平行六面體的類比對象較為合適．7．觀察右圖圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()A。B．△C．?D．○［答案］A［解析］圖形涉及○、△、?三種符號;其中△與○各有3個，且各自有兩黑一白，所以缺一個黑色?符號，即應(yīng)畫上?才合適．8．下列推理正確的是（）A．把a（b＋c）與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y）＝logax＋logayB．把a（b＋c)與sin（x＋y）類比，則有sin（x＋y）＝sinx＋sinyC．把a(b＋c)與ax＋y類比，則有ax＋y＝ax＋ayD．把a(b＋c)與a·(b＋c）類比，則有a·(b＋c)＝a·b＋a·c［答案］D[解析]a·（b＋c）＝ab＋ac，故類比a·(b＋c）＝a·b＋a·c.9．我們把1，4,9，16，25，…這些數(shù)稱作正方形數(shù),這是因為這些數(shù)目的點子可以排成一個正方形(如下圖)，則第n個正方形數(shù)是（)A．n（n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案]C［解析］第n個正方形數(shù)的數(shù)目點子可排成每邊有n個點子的正方形，故為n2。10．下面幾種推理是合情推理的是(）①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°③某次考試張軍成績是100分,由此推出全班同學成績都是100分④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°，歸納出n邊形內(nèi)角和是（n－3）·180°A．①②B．①③④C．①②④D．②④［答案］C［解析]由合情推理概念，知①②④符合題意．二、填空題11．對于平面幾何中的命題:“夾在兩平行線之間的平行線段的長度相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到的命題是：________________________________________。［答案］夾在兩個平行平面間的平行線段的長度相等12．（2010·陜西文,11)觀察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…,根據(jù)上述規(guī)律，第四個等式為__________________．[答案］13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5）2(或152）[解析］本題考查歸納推理．根據(jù)已知條件，第四個等式應(yīng)用13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．13．經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列正確不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)〈2eq\r（10)，eq\r（4.5）＋eq\r(15。5）〈2eq\r(10），eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r（2))<2eq\r（10），…，根據(jù)以上不等式的規(guī)律,試寫出一個對正實數(shù)a、b成立的條件不等式:________。［答案］eq\r(a）＋eq\r（b)<2eq\r（10）(其中a、b為不相等的正實數(shù)，且a＋b＝20）14．如圖，已知命題：若矩形ABCD的對角線BD與邊AB和BC所成的角分別為α，β,則cos2α＋cos2β＝1，則在長方體ABCD－A1B1C1D1________________________________________________________________________________________________________________________________________________[解析］長方體ABCD－A1B1C1D1中，若對角線BD1與棱AB，BB1,BC所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1或sin2α＋sin2β＋sin2γ(或：長方體ABCD－A1B1C1D1中，若對角線BD1與平面ABCD,ABB1A1，BCC1B1所成的角分別為α，β,γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2或sin2α＋sin2β＋sin2三、解答題15．已知：1＋2＝3,1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10,…,1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f（n(n＋1),2)，觀察下列立方和13,13＋23，13＋23＋33,13＋23＋33＋43＋…，試歸納出上述求和的一般公式．［解析]解：13＝eq\f（12×22，4）13＋23＝eq\f（22×32,4)13＋23＋33＝eq\f（32×42,4）13＋23＋33＋43＝eq\f(42×52，4）………………13＋23＋33＋…＋n3＝eq\f(n2(n＋1）2，4）因而求和的一般公式為13＋23＋33＋43＋…＋n3＝eq\f(n2（n＋1）2,4）16．設(shè)｛an｝是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al（2,n＋1)－naeq\o\al（2,n)＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N),試歸納出這個數(shù)列的通項公式．［解析]由a1＝1，2aeq\o\al（2，2）－aeq\o\al（2，1)＋a2·a1＝0，得a2＝eq\f（1,2)。又3aeq\o\al(2,3）－2aeq\o\al(2，2）＋a3·a2＝0，∴a3＝eq\f（1,3）。又4aeq\o\al(2，4)－3aeq\o\al（2,3）＋a4·a3＝0，∴a4＝eq\f（1,4）。歸納猜想an＝eq\f（1，n).17．平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都不相交于同一點,若f（n）表示這n個圓把平面分割成的區(qū)域數(shù)，試求f(n）．[解析]因為f（n)表示n個圓把平面分割成的區(qū)域數(shù)，如果再有一個圓和這n個圓相交,則增加2n個交點，這些交點將增加的這個圓分成2n段弧，且每一段弧又將原來的平面區(qū)域一分為二，因此增加一個圓后，平面被分割成的區(qū)域數(shù)增加2n個，即f(n＋1）＝f（n)＋2n，亦即f(n＋1)－f(n）＝2n.又f(1）＝2，由遞推公式得f(2）－f(1)＝2×1，f（3)－f(2)＝2×2，f(4）－f（3）＝2×3，……f(n）－f（n－1)＝2×(n－1)，將以上（n－1)個等式累加得f(n)＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n＋2（n∈N*)．[點評]這類問題直接求解較復雜,先轉(zhuǎn)化為推測任何相鄰兩項的關(guān)系，再用數(shù)列知識求解．18．若a1、a2∈R＋，則有不等式eq\f（a\o\al(2，1）＋a\o\al(2，2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a1＋a2，2)))2成立,此不等式能推廣嗎？請你至少寫出兩個不同類型的推廣．［解析]本例可以從a1，a2的個數(shù)以及指數(shù)上進行推廣．第一類型：eq\f(a\o\al（2,1）＋a\o\al(2，2)＋a\o\al(2,3），3）≥(eq\f(a1＋a2＋a3,3)）2，eq\f(a\o\al（2，1）＋a\o\al(2,2)＋a\o\al（2，3)＋a\o\al（2,4），4)≥（eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,4））2，…,eq\f（a\o\al（2,1)＋a\o\al（2,2）＋…＋a\o\al（2，n），n)≥(eq\f(a1＋a2＋…＋an,n））2；第二類型：eq\f(a\o\al(3,1）＋a\o\al（3,2）,2)≥（eq\f（a1＋a2,2))3，eq\f(a\o\al(4,1）＋a\o\al(4，2),2）≥(eq\f(a