2023高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)專題2函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講綜合大題部分真題押題精練文

2024高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)專題2函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講綜合大題部分真題押題精練文第2講綜合大題部分

1.(2024·高考全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2

＋(2a＋1)x.

(1)爭論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a0，

故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

若a0；當(dāng)x∈(－12a

，＋∞)時(shí)，f′(x)0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)0時(shí)，g(x)≤0.

從而當(dāng)a0)，所以g(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞增．而g(0)＝0，故ex

≥x＋1.

當(dāng)0(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)＝－x(x2＋x＋a－1)，取x0＝5－4a－12

，則x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)－ax0－1>0，即f(x0)>ax0＋1.

當(dāng)a≤0時(shí)，取x0＝5－12

，則x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.

綜上，a的取值范圍是[1，＋∞)．

3．(2024·高考全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x－1ex

.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，－1)處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)＋e≥0.

解析：(1)f′(x)＝－ax2＋－

＋2ex，f′(0)＝2.

因此曲線y＝f(x)在(0，－1)處的切線方程是

2x－y－1＝0.

(2)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋e

x＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，則g′(x)＝2x＋1＋ex＋1

.當(dāng)x＜－1時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞－1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增．

所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.

1.已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax＋a－1x

(a∈R)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)a≤12

時(shí)，爭論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．解析：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝lnx＋x，x∈(0，＋∞)，

所以f′(x)＝1x＋1，f′(1)＝11

＋1＝2，f(1)＝ln1＋1＝1，故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為2，切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

(2)由于f(x)＝lnx＋ax＋a－1x

，所以f′(x)＝1x＋a－a－1x2＝ax2＋x－a＋1x2

(x∈(0，＋∞))．(不行忽視函數(shù)的定義域)令g(x)＝ax2

＋x－a＋1(x∈(0，＋∞))，

①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝x＋1，而x>0，

所以g(x)>0，f′(x)>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

②當(dāng)a≠0時(shí)，g(x)＝(ax＋1－a)(x＋1)＝a(x－a－1a

)(x＋1)．(i)當(dāng)a0，當(dāng)x∈(0，a－1a

)時(shí)，g(x)>0，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在(0，a－1a

)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(a－1a

，＋∞)時(shí)，g(x)0，所以f′(x)>0，

即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

(iii)當(dāng)a＝1時(shí)，a－1a

＝0，故當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g(x)>0，所以f′(x)>0，

即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

(iv)當(dāng)a>1時(shí)，a－1a

>0，當(dāng)x∈(0，a－1a)時(shí)，g(x)0，f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在(a－1a

，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，a－1a

)上單調(diào)遞減，在(a－1a

，＋∞)上單調(diào)遞增．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2x2

＋x＋c.

(1)當(dāng)a＝1，且函數(shù)圖象過(0,1)時(shí)，求函數(shù)的微小值；

(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上無極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

解析：f′(x)＝3ax2－4x＋1.

(1)函數(shù)圖象過(0,1)時(shí)，有f(0)＝c＝1.

又a＝1，則f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，

令f′(x)>0，則x1.令f′(x)0，則x>1或x0，

當(dāng)x∈(－13，1)時(shí)，f′(x)0，

所以當(dāng)x＝－13時(shí)，f(x)取得極大值，為527＋m，

當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得微小值，為m－1.

(2)畫出f(x)和y＝1的大致圖象如圖．

由圖象可以看出，要使曲線y＝f(x)與直線y

＝

1有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

則527＋m>1，m－12(x－lnx)．

解析：(1)由于f(x)＝exx，

所以f′(x)＝ex·x－exx2＝－x2，f′(2)＝e24，

又切點(diǎn)為(2，e22)，所以切線方程為

y－e22＝e24(x－2)，即e2x－4y＝0.

(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－2(x－lnx)＝exx

－2x＋2lnx，x∈(0，＋∞)，則g′(x)＝－x2－2＋2x＝－－x2，x∈(0，＋∞)．設(shè)h(x)＝ex－2x，x∈(0，＋∞)，

則h′(x)＝ex

－2，令h′(x)＝0，則x＝ln2.

當(dāng)x∈(0，ln2)時(shí)，h′(x)0.

所以h(x)min＝h(ln2)＝2－2ln2>0，

故h(x)＝ex－2x>0.

令g′(